關于二重積分的計算第1頁，課件共22頁，創作于2023年2月設任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的機動目錄上頁下頁返回結束一、利用直角坐標計算二重積分第2頁，課件共22頁，創作于2023年2月同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算機動目錄上頁下頁返回結束第3頁，課件共22頁，創作于2023年2月說明:(1)若積分區域既是X–型區域又是Y–型區域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機動目錄上頁下頁返回結束第4頁，課件共22頁，創作于2023年2月例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區域.解法1.

將D看作X–型區域,則解法2.

將D看作Y–型區域,

則機動目錄上頁下頁返回結束第5頁，課件共22頁，創作于2023年2月例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結束第6頁，課件共22頁，創作于2023年2月例3.計算其中D是直線所圍成的閉區域.解:

由被積函數可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機動目錄上頁下頁返回結束第7頁，課件共22頁，創作于2023年2月例4.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區域,則機動目錄上頁下頁返回結束第8頁，課件共22頁，創作于2023年2月性質：設函數D位于x軸上方的部分為D1,當區域關于y軸對稱,函數關于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區域上連續,域D關于x軸對稱,則則有類似結果.在第一象限部分,則有機動目錄上頁下頁返回結束第9頁，課件共22頁，創作于2023年2月例5.

計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,機動目錄上頁下頁返回結束第10頁，課件共22頁，創作于2023年2月對應有二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓ρ=常數則除包含邊界點的小區域外,小區域的面積在內取點及射線

=常數,分劃區域D為機動目錄上頁下頁返回結束第11頁，課件共22頁，創作于2023年2月即機動目錄上頁下頁返回結束第12頁，課件共22頁，創作于2023年2月設則特別,對機動目錄上頁下頁返回結束第13頁，課件共22頁，創作于2023年2月思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點,試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結束第14頁，課件共22頁，創作于2023年2月例6.計算其中解:

在極坐標系下原式的原函數不是初等函數,故本題無法用直角由于故坐標計算.機動目錄上頁下頁返回結束第15頁，課件共22頁，創作于2023年2月例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內的)立體的體積.解:

設由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結束第16頁，課件共22頁，創作于2023年2月內容小結(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區域為則

若積分區域為則機動目錄上頁下頁返回結束第17頁，課件共22頁，創作于2023年2月則極坐標系情形:若積分區域為機動目錄上頁下頁返回結束第18頁，課件共22頁，創作于2023年2月(3)計算步驟及注意事項?

畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便：積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性及其他性質機動目錄上頁下頁返回結束第19頁，課件共22頁，創作于2023年2月思考與練習1.設且求提示:交換積分順序后,x,y互換機動目錄上頁下頁返回結束第20頁，課件共22頁，創作