高等數學實驗(shíyàn)matlab第一頁，共126頁。數學(shùxué)實驗第1章函數(hánshù)與極限第二頁，共126頁。第1章函數(hánshù)與極限驗證性試驗(shìyàn)實驗一函數圖形實驗二函數的極限實驗三復合函數與反函數第三頁，共126頁。

第1章函數(hánshù)與極限--驗證性實驗實驗一函數圖形【實驗目的(mùdì)】1.了解根本初等函數及圖形特征，會用Matlab圖形命令畫圖2.會畫復合函數、參量函數及分段函數的圖形【實驗要求】熟悉Matlab圖形命令plot第四頁，共126頁。

第1章函數與極限--驗證(yànzhèng)性實驗【實驗內容】1.利用(lìyòng)圖形命令分別在同一坐標系下畫出以下根本初等函數的圖形，并觀察圖形特征〔1〕【實驗過程】1.〔1〕>>x=-1:0.01:1;y1=x;y2=x.^2;y3=x.^3;y4=x.^4;plot(x,y1,'-',x,y2,':',x,y3,'*',x,y4,'--');gtext('y=x'),gtext('y=x^2'),gtext(‘y=x^3’),gtext(‘y=x^4’)第五頁，共126頁。

第1章函數(hánshù)與極限--驗證性實驗運行(yùnxíng)結果：

圖1-1冪函數圖第六頁，共126頁。

第1章函數與極限(jíxiàn)--驗證性實驗〔2〕>>x=linspace(-1,1,60);>>y1=2.^x;y2=10.^x;y3=(1/3).^x;y4=exp(x);>>plot(x,y1,‘-’,x,y2,‘:’,x,y3,'*',x,y4,'--');第七頁，共126頁。

第1章函數(hánshù)與極限--驗證性實驗運行(yùnxíng)結果：

圖1-2指數函數圖第八頁，共126頁。

第1章函數(hánshù)與極限--驗證性實驗2.利用圖形命令畫出以下(yǐxià)函數的圖形〔1〕;>>x=-5:0.01:5;>>y=3*x.^2-x.^3;>>plot(x,y);第九頁，共126頁。

第1章函數與極限(jíxiàn)--驗證性實驗運行結果(jiēguǒ)：

圖1-3函數的圖形第十頁，共126頁。

第1章函數與極限--驗證(yànzhèng)性實驗〔2〕;>>x=-pi:0.01:pi;>>y=cos(4*x);>>plot(x,y);第十一頁，共126頁。

第1章函數與極限--驗證(yànzhèng)性實驗運行結果(jiēguǒ)：

圖1-4函數的圖形第十二頁，共126頁。

第1章函數與極限(jíxiàn)--驗證性實驗實驗(shíyàn)二函數的極限【實驗(shíyàn)目的】1.熟悉函數極限的概念2.掌握求各種類型函數的極限的方法3.會用Matlab命令求函數極限【實驗(shíyàn)要求】熟悉Matlab中求極限的命令limit第十三頁，共126頁。

第1章函數與極限(jíxiàn)--驗證性實驗【實驗內容】1.計算以下(yǐxià)極限(1)(2)【實驗過程】〔1〕>>symsxab>>limit(sin(a*x)/sin(b*x),x,0)運行結果：ans=a/b第十四頁，共126頁。

第1章函數(hánshù)與極限--驗證性實驗〔2〕>>symsx>>limit((1-cos(x))/(x*sin(x)),x,0)運行(yùnxíng)結果：ans=1/2第十五頁，共126頁。

第1章函數與極限(jíxiàn)--驗證性實驗實驗三復合函數與反函數【實驗目的】1.了解簡單函數與復合函數的關系，理解能構成復合函數的條件，掌握如何求幾個函數的復合函數2.掌握函數的反函數概念，會求函數的反函數【實驗要求】熟悉(shúxī)Matlab中求復合函數的命令compose,以及求反函數的命令finverse第十六頁，共126頁。

第1章函數與極限(jíxiàn)--驗證性實驗【實驗(shíyàn)內容】1．求以下函數的復合函數(1)，求【實驗(shíyàn)過程】1.〔1〕>>symsxy>>f=1/(1+x^2);>>g=sin(y);>>compose(f,g)運行結果：ans=1/(sin(y)^2+1)由上述結果可知：第十七頁，共126頁。

第1章函數與極限(jíxiàn)--驗證性實驗2．求以下函數(hánshù)的反函數(hánshù)〔1〕(1)>>symsx>>y=1/tan(x);>>g=finverse(y)運行結果：g=atan(1/x)由上述結果可知：的反函數(hánshù)為第十八頁，共126頁。第1章函數(hánshù)與極限設計性實驗實驗一數據擬合(nǐhé)問題實驗二復利問題第十九頁，共126頁。

第1章函數與極限—設計(shèjì)性實驗實驗一數據擬合問題【實驗目的】1.加深對函數根本(gēnběn)概念的理解2.討論了函數的實際應用問題3.掌握Matlab軟件中有關函數、畫圖等命令【實驗要求】掌握函數根本(gēnběn)知識，Matlab軟件第二十頁，共126頁。

第1章函數與極限—設計(shèjì)性實驗【實驗內容(nèiróng)】某研究所為了研究氮肥(N)的施肥量與土豆產量的影響，做了十次實驗，實驗數據見表1，其中ha表示公頃，t表示噸，kg表示千克。試分析氮肥的施肥量與土豆產量之間的關系。第二十一頁，共126頁。

第1章函數與極限—設計(shèjì)性實驗表1氮肥施肥量與土豆產量關系的實驗數據【實驗方案】設y代表土豆產量，x代表氮肥的施肥量。顯然，y和x之間應該有某種關系，假設y與x之間的關系為函數關系，那么問題就轉化為數據點(xi,yi)位置關系，尋找函數y=y(x)。這就是數據擬合問題。所謂數據擬合，就是從一組實驗數據點(xi,yi)出發，尋找函數y=y(x)的一個近似(jìnsì)表達式y=f(x)(稱為經驗公式)。從幾何上看，就是希望根據給定的這些數據點(xi,yi)，求曲線y=y(x)的一條近似(jìnsì)曲線y=f(x)。近似(jìnsì)曲線y=f(x)不必過每一個數據點，但如果近似(jìnsì)曲線的效果要好的話，那么數據點(xi,yi)離近似(jìnsì)曲線的距離應該盡量小。用偏差平方和函數W=施肥量x(kg/ha)03467101135202259336404471產量y(t/ha)15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75第二十二頁，共126頁。

第1章函數(hánshù)與極限—設計性實驗來刻畫近似曲線的效果，偏差平方和函數越小那么近似曲線的擬合效果越好，因此最好的近似曲線應該滿足。多項式函數由于性質良好，計算方便，常常用來進行數據擬合。可以考慮采用1，x，x2作為基函數來擬合這組數據(即用二次多項式函數a0+a1x+a2x2作為經驗(jīngyàn)公式)，此時偏差平方和函數為W=其中n為數據點的數目。要使偏差平方和函數W最小，需要第二十三頁，共126頁。

第1章函數(hánshù)與極限—設計性實驗(該方程組稱為法方程組)，將實驗數據(xi,yi)代入上式，解得a0=14.7391,a1=0.1973139,a2即擬合(nǐhé)函數為2從圖1-10可以看出擬合(nǐhé)效果比較好，但是是否還可以更好呢？一般而言，擬合(nǐhé)次數的提高可以使得擬合(nǐhé)效果變好，但是并不是次數越高越好。現在提高擬合(nǐhé)次數，將基函數由1，x，x2修改為{1，x，x2，x3}(三次擬合(nǐhé))，{1，x，x2，x3，x4}(四次擬合(nǐhé))……，得到擬合(nǐhé)圖1-5至圖1-9。從圖形可以看出擬合(nǐhé)曲線的次數在二、三、四、五次擬合(nǐhé)的效果都相差不大，但是高次擬合(nǐhé)效果反而不理想，例如本例中的八次擬合(nǐhé)，所以在本例中使用二次擬合(nǐhé)效果就比較好了，擬合(nǐhé)函數為2第二十四頁，共126頁。

第1章函數與極限—設計(shèjì)性實驗【實驗(shíyàn)過程】>>clearx=[03467101135202259336404471];y=[15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75];p=polyfit(x,y,2);disp([num2str(p(1)),'*x^2+',num2str(p(2)),'*x+',num2str(p(3))]);xx=linspace(0,471,100);yy=polyval(p,xx);plot(x,y,'r*',xx,yy)第二十五頁，共126頁。

第1章函數與極限(jíxiàn)—設計性實驗運行結果(jiēguǒ)：圖1-5二次擬合圖1-6三次擬合圖1-7四次擬合圖1-8五次擬合第二十六頁，共126頁。

第1章函數與極限(jíxiàn)—設計性實驗圖1-8八次(bācì)擬合第二十七頁，共126頁。

第1章函數與極限—設計(shèjì)性實驗實驗二復利問題【實驗目的】1.加深對函數極限(jíxiàn)概念的理解2.討論極限(jíxiàn)在實際問題中的應用3.會用Matlab命令求函數極限(jíxiàn)【實驗要求】掌握極限(jíxiàn)概念，Matlab軟件求函數極限(jíxiàn)的命令limit第二十八頁，共126頁。

第1章函數(hánshù)與極限—設計性實驗【實驗內容】

復利，即利滾利。不僅是一個經濟問題，而且是一個古老又現代的經濟社會問題。隨著商品經濟的開展，復利計算將日益(rìyì)普遍，同時復利的期限將日益(rìyì)變短，即不僅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。現在我們已進入電子商務時代，允許儲戶隨時存款或取款，如果一個儲戶連續不斷存款和取款，結算本息的頻率趨于無窮大，每次結算后將本息全部存入銀行，這意味著銀行不斷地向儲戶支付利息，稱為連續復利問題。假設銀行一年活期年利率為，那么儲戶存10萬元的人民幣，如果銀行允許儲戶在一年內可任意次結算，在不計利息稅的情況下，由于復利，顯然這比一年結算一次要多，因為屢次結算增加了復利。結算越頻繁，獲利越大。連續復利會造成總結算額無限增大嗎？隨著結算次數的無限增加，一年后該儲戶是否會成為百萬富翁？第二十九頁，共126頁。

第1章函數(hánshù)與極限—設計性實驗【實驗方案】設本金為p，年利率為r，假設一年分為n期(即儲戶結算(jiésuàn)頻率為n)，每期利率為r/n,存期為t年，依題意，第一期到期后利息為本金*利率=p*r/n第一期到期后的本利和是本金+利息=p+p*r/n=p(1+r/n)第三十頁，共126頁。

第1章函數與極限—設計(shèjì)性實驗因規定按復利計息，故第二期開始時的本金為p(1+r/n)，第二期到期后的利息應為本金*利率=p(1+r/n)*r/n第二期到期后的本利和是本金+利息=p(1+r/n)+p(1+r/n)*r/n=p(1+r/n)2……，第n期到期后的本利和是p(1+r/n)n存期為t年(事實上是有tn期)，到期后的本利和為p(1+r/n)tn隨著結算次數的無限增加，即在上式中n→∞,t=1年后本息共計≈10.6184(萬元)隨著結算次數的無限增加，一年后本息總和將穩定于萬元，儲戶并不能通過該方法成為百萬富翁(bǎiwànfùwēnɡ)。實際上，假設第三十一頁，共126頁。

第1章函數與極限—設計(shèjì)性實驗年利率為r，一年結算(jiésuàn)無限次，總結算(jiésuàn)額有一個上限，即100000*exp(r)元。它說明在n→∞時，結果將穩定于這個值。而且用復利計息時，只要年利率不大，按季、月、天連續計算所得結果相差不大。第三十二頁，共126頁。

第1章函數與極限—設計(shèjì)性實驗【實驗過程】>>symsn>>a=limit(100000*(1+0.06/n)^n,n,inf)a=100000*exp(3/50)一年結算無限次，總結(zǒngjié)算額有上限為>>symsnr>>a=limit(100000*(1+r/n)^n,n,inf)a=100000*exp(r)第三十三頁，共126頁。

第1章函數與極限—設計(shèjì)性實驗思考與提高(tígāo)1.本世紀初，瘟疫還常在某些地區流行。現假設有這樣一種傳染病，任何人得病后，在傳染期內不會死亡，且最初設有A人患病，每個人年平均傳染率為k,治愈率為i，假設一年內等時間間隔檢測n次，那么一年后患病人數為多少？假設檢測次數無限增加，一年后傳染病人數會無限增加嗎？2.一條長凳被牢牢固定在地上，凳面水平。考慮假設干塊磚在長凳一端疊成階梯狀而盡量向外延伸。一塊磚放在長凳右端極端位置是磚的一半在外，但第二塊磚假設任放一半必會倒下。應如何放置這兩塊磚？n塊磚呢？第三十四頁，共126頁。理工(lǐɡōnɡ)數學實驗第2章一元函數微分(wēifēn)法

第三十五頁，共126頁。第2章一元函數微分(wēifēn)法驗證性實驗實驗一初等函數的導數(dǎoshù)實驗二隱函數與參量函數的導數(dǎoshù)實驗三函數的微分實驗四導數(dǎoshù)的應用第三十六頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗實驗一初等函數的導數【實驗目的】1.熟悉根本求導公式(gōngshì)，掌握初等函數的求導方法2.會求函數在給定點處的導數值【實驗要求】熟悉，Matlab中的求導命令diff第三十七頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗【實驗內容】1.求以下(yǐxià)函數的導數(1)(2)【實驗過程】1.〔1〕>>symsx>>y=exp(x)*(sin(x)+cos(x));>>diff(y)運行結果：ans=exp(x)*(sin(x)+cos(x))+exp(x)*(cos(x)-sin(x))即函數的導數為

第三十八頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗〔2〕>>symsx>>y=log((x^3+1)/(x^2+1));>>diff(y)運行結果(jiēguǒ)：ans=(3*x^2/(x^2+1)-2*(x^3+1)/(x^2+1)^2*x)/(x^3+1)*(x^2+1)即函數的導數化簡得第三十九頁，共126頁。2.求以下(yǐxià)函數在給定點處的導數值〔1〕函數，求；2.〔1〕>>symsx;>>f=1/x;>>f1=diff(f,x);>>ff=inline(f1);>>x=1;>>ff(1)運行結果：ans=-1>>x=-2;>>ff(-2)運行結果：ans=

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗第四十頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗

實驗二隱函數與參量函數的導數【實驗目的】1．掌握(zhǎngwò)隱函數求導的方法和步驟2．掌握(zhǎngwò)參量函數求一階導數和二階導數的方法和公式【實驗要求】熟悉Matlab中解方程的命令solve和求導命令diff第四十一頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗【實驗內容】1.求以下隱函數的導數(1)設，求【實驗過程】1.〔1〕解法(jiěfǎ)一：>>symsxy;>>f=solve('x^2+y^2-R^2=0',y);>>diff(f,x)運行結果：ans=-1/(-x^2+R^2)^(1/2)*x1/(-x^2+R^2)^(1/2)*x

第四十二頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗即或說明：對于能從方程中求出函數顯示形式的題可以采用這種做法。解法二：>>symsxyR;>>f=x^2+y^2-R^2;>>f1=diff(f,x);>>f2=diff(f,y);>>-f1/f2運行(yùnxíng)結果：ans=-x/y即說明：對于不能從方程中解出函數顯示形式的題要采用這種做法。第四十三頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗2.求以下參量函數的導數(dǎoshù)〔1〕，求2.(1)>>symst;>>x=t^2;>>y=4*t;>>f=diff(y,t);f1=diff(x,t);>>f2=f/f1運行結果：f2=2/t即第四十四頁，共126頁。

第2章一元函數微分(wēifēn)法—驗證性實驗實驗(shíyàn)三函數的微分【實驗(shíyàn)目的】1.懂得函數的求導與微分的關系2.會求函數的導數和微分【實驗(shíyàn)要求】熟悉Matlab中的求導命令diff，賦值命令inline.第四十五頁，共126頁。

第2章一元函數微分(wēifēn)法—驗證性實驗【實驗內容】1.求以下(yǐxià)函數的微分〔1〕;【實驗過程】1.〔1〕>>symsx;>>f=log(sin(x));>>f1=diff(f,x)運行結果：f1=cos(x)/sin(x)即：第四十六頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗

實驗四導數(dǎoshù)的應用【實驗目的】1.會寫函數的Taylor公式和Maclaurin公式2.掌握求函數的極值和最值的方法3.懂得一點處導數(dǎoshù)的幾何意義【實驗要求】熟悉Matlab中求Taylor展開式的命令taylor，以及求極值的方法第四十七頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗【實驗內容】1.求函數的Taylor展開(zhǎnkāi)式，并在同一坐標系下畫出函數及函數展開(zhǎnkāi)式的圖形〔1〕將函數在處展開(zhǎnkāi)到第5項；【實驗過程】1.〔1〕>>symsx;>>f=sin(x);>>y=taylor(f,pi/2,6)運行結果：y=1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^4第四十八頁，共126頁。再畫出函數(hánshù)與展開式的圖形：>>x=linspace(-2,2,60);>>f=sin(x);>>y=1-1/2*(x-1/2*pi).^2+1/24*(x-1/2*pi).^4;>>plot(x,f,x,y)運行結果：圖2-1函數(hánshù)與其Taylor展開式比照圖

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗第四十九頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗2.求函數的極值(jízhí);2.>>symsx;>>y=2*x^3-3*x^2;>>f1=diff(y,x);>>f1=diff(y)運行結果：f1=6*x^2-6*x>>[x0]=solve(f1)第五十頁，共126頁。

第2章一元函數微分(wēifēn)法—驗證性實驗運行(yùnxíng)結果：x0=01>>f2=diff(f1,x)運行(yùnxíng)結果：f2=12*x-6>>ff=inline(f2)>>ff(x0)運行(yùnxíng)結果：ans=-66由此可知：函數在點處二階導數為-6，所以0為極大值；函數在點處二階導數為6，所以-1為極小值。第五十一頁，共126頁。3.求圓過點〔2，1〕的切線方程。>>symsxy;>>f=(x-1)^2+(y+3)^2-17;>>f1=diff(f,x);>>f1=diff(f,x);f2=diff(f,y);>>ff=-f1/f2運行結果(jiēguǒ)：ff=(-2*x+2)/(2*y+6)>>f3=inline(ff)；>>f3(2,1)運行結果(jiēguǒ)：ans=所以切線方程為

第2章一元函數微分法—驗證(yànzhèng)性實驗第五十二頁，共126頁。第2章一元函數微分(wēifēn)法設計性實驗實驗一最優價格問題實驗二效果(xiàoguǒ)最正確問題實驗三相關變化率第五十三頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—設計(shèjì)性實驗實驗一最優價格問題【實驗目的】1.加深對微分求導，函數極值等根本概念的理解2.討論微分學中的實際應用問題3.會用Matlab命令(mìnglìng)求函數極值【實驗要求】掌握函數極值概念，Matlab軟件中有關求導命令(mìnglìng)diff第五十四頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—設計(shèjì)性實驗【實驗內容】某房地產公司擁有100套公寓當每套公寓的月租金為1000元時，公寓全部租出。當月租金每增加25元時，公寓就會少租出一套。1.請你為公司的月租金定價，使得公司的收益(shōuyì)最大，并檢驗結論2.假設租出去的公寓每月每套平均花費20元維護費，又應該如何定價出租，才能使公司收益(shōuyì)最大【實驗方案】1.方法一：設每套公寓月租金在1000元根底上再提高x元，每套租出公寓實際月收入為()元，共租出()套。第五十五頁，共126頁。

第2章一元函數微分(wēifēn)法—設計性實驗收益R(X)=()()(0≤≤2500)R′(x)=令R′(x)=0，解得駐點=750。R″(x)=<0，故R(x)在=750處取得極大值。在[0,2500]上只有一個駐點，故R〔x〕在=750處取最大值。即每套公寓的月租金為1750元時，才能使公司收益最大。檢驗(jiǎnyàn)：x=1750元，少租出=30套，實際租出70套，公司有租金收入1750*70=122500元。比100套全部租出時公司租金收入1000*100=100000元多22500元。方法二：設每套公寓月租金為x元，少租出套，實際租出第五十六頁，共126頁。

第2章一元函數微分(wēifēn)法—設計性實驗套收益R(x)=x()(1000≤≤3500)

R′(x)=令R′(x)=0，解得駐點=1750(每套公寓租金)檢驗(jiǎnyàn)討論如方法一。2.設每套公寓月租金在1000元再提高元，每套租出公寓實際月租金收入是(1000+x-20)元，共租出套收益R(x)=()()(0≤x≤2500)

R′(x)=+(980+x)()第五十七頁，共126頁。令R′(x)=0，解得駐點x=760。R″(x)=<0，故R(x)在=760處取得極大值。在[0,2500]上只有一個駐點，故R〔x〕在=760處取最大值。即每套公寓的月租金為1760元時，才能使公司收益(shōuyì)最大。【實驗過程】(1)方法一>>f=inline('-(1000+x)*(100-x/25)')>>x=-f(a)f=Inlinefunction:f(x)=-(1000+x)*(100-x/25)a=750x=122500

第2章一元函數微分(wēifēn)法—設計性實驗第五十八頁，共126頁。方法(fāngfǎ)二>>f=inline('-x*(100-(x-1000)/25)')>>a=fminbnd(f,1000,3500)>>x=-f(a)f=Inlinefunction:f(x)=-x*(100-(x-1000)/25)a=1750x=122500(2)>>f=inline('-(980+x)*(100-x/25)')>>a=fminbnd(f,0,2500)f=Inlinefunction:f(x)=-(980+x)*(100-x/25)a=760

第2章一元函數微分(wēifēn)法—設計性實驗第五十九頁，共126頁。

第2章一元函數微分(wēifēn)法—設計性實驗實驗二效果最正確問題【實驗目的】1.利用積分概念、函數最大值(最小值)理論，解決實際最優化問題2.掌握符號求導的實際應用3.熟悉Matlab命令求函數積分，解代數方程(dàishùfāngchéng)【實驗要求】掌握函數最大值(最小值)理論，Matlab軟件求導命令、解方程的命令第六十頁，共126頁。

第2章一元函數微分(wēifēn)法—設計性實驗【實驗內容(nèiróng)】洗過的衣服含有洗衣粉殘液，現用總量為Am3的清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有am3的洗衣粉殘液。假設規定漂洗兩遍，問如何分配水兩次的用水量，才能使漂洗效果最正確？【實驗方案】設第一次用水量為xm3，那么第二次用水量為(A-x)m3。并設漂洗前衣服上含有的m3的洗衣粉殘液中洗衣粉占bm3.第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比為，將水放掉甩干后，殘液中洗衣粉含量為第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比為第六十一頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—設計(shèjì)性實驗將水放掉甩干后，殘液中洗衣粉含量為兩次漂洗后效果最正確(zhèngquè)就是漂洗后殘液中洗衣粉含量最小，為此只要求g(x)=(a+x)(a+A-x)(0<x<A)的最大值。g′(x)=(a+A-x)-(a+x)=A-2x令g′(x)=0解得因g″(x)=-2<0，故g()=(a+)2為最大。因此，將Am3的清水平分為兩次使用可使漂洗效果最正確(zhèngquè)。第六十二頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—設計(shèjì)性實驗【實驗(shíyàn)過程】>>symsxaA>>f=(a+x)*(a+A-x);>>b=diff(f,x);>>solve(b)ans=1/2*A第六十三頁，共126頁。

第2章一元函數微分(wēifēn)法—設計性實驗實驗三相關變化率【實驗目的】1.加深對復合函數、相關變化率的理解2.通過實例學習(xuéxí)用微分知識解決實際問題3.熟悉Matlab命令求復合函數，符號函數求微分【實驗要求】掌握復合函數求微分、相關變化率應用，熟練應用Matlab軟件中求復合函數，符號函數求微分命令第六十四頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—設計(shèjì)性實驗【實驗內容】有一個(yīɡè)長度為5m的梯子貼靠在垂直的墻上，假設其下端沿地板以3m/s的速率離開墻腳而滑動，求1.當其下端離開墻腳時，梯子的上端下滑之速率為多少？2.何時梯子的上下端能以相同的速率移動？3.何時其上端下滑之速率為4m/s？【實驗方案】設t=0時，梯子貼靠在墻上，在時刻t〔秒〕時，梯子上端離t=0時位置的距離為S米，梯子下端離開墻腳的距離為x米，那么有x=3t，S=5-(見圖2-2)第六十五頁，共126頁。

第2章一元函數微分(wēifēn)法—設計性實驗圖2-3位置(wèizhi)示意圖1.梯子的上端下滑之速率當時，2.梯子上、下端相同速率處，即解得x2=，〔舍去〕，即當梯子下第六十六頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—設計(shèjì)性實驗下端離開墻腳的距離是時，梯子的上、下端的相同的速率移動.3.解得x=4，-4〔舍去〕.即當梯子下端離墻腳4m時,其上端(shànɡduān)下滑之速度為4m/s.第六十七頁，共126頁。【實驗(shíyàn)過程】(1)>>symsxt>>f=5-sqrt(5^2-x^2);>>x=3*t;>>a=compose(f,x);>>c=diff(a,t);>>b=subs(c,'t','x/3');>>d=subs(b,'x','1.4');>>numeric(d)ans=(2)>>symsx>>a=solve('((3*x)/sqrt(25-x^2))-3','x')a=5/2*2^(1/2)(3)>>symsx>>a=solve('((3*x)/sqrt(25-x^2))-4','x')a=4

第2章一元函數微分法—設計(shèjì)性實驗第六十八頁，共126頁。

第2章一元函數微分法—設計(shèjì)性實驗思考與提高1.工廠A到鐵路的垂直距離為3公里，垂足B到火車站C為5公里，汽車運費20元/噸公里，鐵路運費15元/噸公里，為使運費最省，在M點建一轉運站，且M在鐵路BC間，問M應建在何處?2.一幢樓房的后面是一個很大的花園，在花園中緊靠著樓房有一個溫室，溫室伸入花園寬2m，高3m，溫室正上方是樓房的窗臺．清潔工清掃窗臺周圍，他得用梯子越過溫室，一頭放在花園中，一頭靠在樓房的墻上．因為溫室是不能承受梯子壓力的，所以梯子太短不行，現有一架7m長的梯子，問：它能到達要求(yāoqiú)嗎?3.某商店每年銷售某種商品a件，每次購進的手續費b元，而每件的庫存費為c元。在該商品均勻銷售情況下，商店應分幾批購進商品才能使所花手續費及庫存費之和為最小？第六十九頁，共126頁。理工數學(shùxué)實驗第3章一元函數積分法第七十頁，共126頁。

第3章一元函數積分法驗證性實驗實驗一不定積分(jīfēn)實驗二定積分(jīfēn)實驗三定積分(jīfēn)的應用第七十一頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗實驗一不定積分(jīfēn)【實驗目的】1.掌握求函數的原函數的方法2.熟悉根本積分(jīfēn)公式和積分(jīfēn)方法【實驗要求】掌握Matlab中積分(jīfēn)命令int第七十二頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗【實驗內容】求以下函數的一個原函數(1)(2)【實驗過程(guòchéng)】1.〔1〕>>symsx;>>f=1/x^4;>>int(f,x)運行結果：ans=-1/3/x^3即函數的一個原函數為.第七十三頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗〔2〕>>symsx;>>f=exp(x)/(1+exp(x));>>int(f,x)運行結果：ans=log(1+exp(x))

即函數(hánshù)的一個原函數(hánshù)為.第七十四頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗

實驗二定積分(jīfēn)【實驗目的】1.掌握求函數定積分(jīfēn)的方法2.會求變上限函數的導數和帶有變上限函數的極限【實驗要求】熟悉Matlab中求定積分(jīfēn)的命令第七十五頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗【實驗內容(nèiróng)】1.求以下定積分〔1〕;【實驗過程】1.〔1〕>>symsx;>>f=sqrt(1-x^2);>>int(f,x,0,1)運行結果：ans=1/4*pi第七十六頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗2.求變上限函數的導數〔1〕;2.〔1〕>>symstx;>>y=sin(t)/t;>>diff(int(y,t,0,x),x)運行(yùnxíng)結果：ans=sin(x)/x即第七十七頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗3.求以下極限〔1〕;3.〔1〕>>symsxt;>>f=cos(t^2);>>int(f,t,sin(x),0);>>f1=diff(int(f,t,sin(x),0),x)>>f2=f1/1>>limit(f2)運行(yùnxíng)結果：ans=-1第七十八頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗實驗三定積分的應用【實驗目的】1.熟悉不定積分、定積分的求解過程2.會求變上限函數的導數3.掌握用定積分求平面圖形面積、立體體積、曲線弧長以及(yǐjí)立體側面積等應用【實驗要求】掌握Matlab中求定積分的命令第七十九頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗1.求由拋物線與所圍圖形的面積A；【實驗(shíyàn)過程】1.第一步：畫出積分區域的圖形：>>y=linspace(-1,1,60);>>x1=5*y.^2;x2=1+y.^2;>>plot(x1,y,x2,y)運行結果：圖3-1拋物線與所圍圖形第八十頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗第二步：先觀察(guānchá)曲線，再計算面積>>symsy>>f=(1+y^2)-5*y^2;>>A=int(f,y,-0.5,0.5)運行結果：A=2/3即所求平面圖形的面積為2/3。第八十一頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗2.求與所圍圖形繞軸旋轉所成的旋轉體的體積(tǐjī)；2.第一步：畫出兩曲線所圍圖形>>x=linspace(-0.5,1.5,60);>>y1=x.^2;y2=x.^3;>>plot(x,y1,x,y2)運行結果：圖3-2函數與所圍圖形第八十二頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—驗證(yànzhèng)性實驗第二步：觀察圖形，求旋轉體體積(tǐjī)>>symsx;>>f=x^4-x^6;>>V=int(f,x,0,1)運行結果：V=2/35*pi即所求旋轉體的體積(tǐjī)為.第八十三頁，共126頁。

第3章一元函數積分法設計(shèjì)性實驗實驗一樹的高度問題實驗二還款問題實驗三生日蛋糕問題第八十四頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗實驗一樹的高度問題【實驗目的】1.加深對積分概念的理解2.使用積分理論解決實際問題3.熟悉Matlab命令求不定積分，解數值方程【實驗要求】掌握(zhǎngwò)積分概念，Matlab軟件中求不定積分命令第八十五頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗【實驗內容】有一種快速生長的樹，為了衡量它是否有種植的經濟價值〔如作為木柴〕，人們要求該樹在5年內〔t=6，在種植時已生長一年〕至少生長6m，如果樹的生長速度為1.2+5t-4(m/年)，其中t為年數(niánshù).假設種植時〔t=1〕，樹已有1m高，試問種植此樹是否有經濟價值。第八十六頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗【實驗方案】樹的高度，由題意可得將t1代入，得得即種植樹5年后，樹高，比種植時的1m長高了，超過至少(zhìshǎo)生長6m的要求，種植此樹有經濟價值。第八十七頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗【實驗(shíyàn)過程】>>symst>>f=int(1.2+5*t^(-4))f=6/5*t-5/3/t^3>>clear>>symsc>>c=solve('1.2-5/3+c-1','c')c=第八十八頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗實驗二還款問題【實驗目的】1.加深了解一元函數積分法2.定積分在經濟數學中的實際應用3.熟悉Matlab命令求定積分，解一元數值方程(fāngchéng)【實驗要求】掌握定積分概念，Matlab軟件求定積分第八十九頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗【實驗內容】現購置(gòuzhì)一棟別墅價值300萬元，假設首付50萬元，以后分期付款，每年付款數目相同。10年付清，年利率為6%，按連續復利計算，問每年應付款多少？第九十頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗【實驗方案】每年付款數目相同，共10年，這是均勻現金流，付款總值的現在值等于現價扣去首付。這類問題屬于貼現問題，假設第t年還款為萬元，那么(nàme)第t年還款的貼現值為，n年的貼現值為依題意：設每年付款A萬元，那么(nàme)第t年付款的現在值，由連續貼現公式應為A，因付款流總值為250萬元，即有得〔萬元〕，故每年應付款萬元。第九十一頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗【實驗(shíyàn)過程】>>clear>>symstA>>a=int(A*exp(-0.06*t),0,10)a=-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A>>b=solve('-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250','A')b=-15/(exp(-3/5)-1)第九十二頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗實驗三生日蛋糕問題【實驗目的】1.應用(yìngyòng)數值積分方法，加深對積分概念的理解2.通過實例學習用數值積分知識解決面積、體積計算等實際應用問題3.學習使用Matlab軟件中有關積分計算的命令【實驗要求】掌握積分概念，Matlab軟件中有關積分計算的命令第九十三頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗【實驗內容】一個數學家即將要迎來他九十歲生日，有很多的學生要來為他祝壽，所以要定做一個特大蛋糕。為了紀念他提出的一項重要成果——口腔醫學的懸鏈線模型，他的弟子要求蛋糕店的老板將蛋糕邊緣(biānyuán)圓盤半徑做成以下懸鏈線函：r=2-(exp(2h)+exp(-2h))/5，0<h<1(單位m)第九十四頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗由于蛋糕店從來沒有做過這么大的蛋糕，蛋糕店的老板必須要計算一下本錢。這主要涉及兩個問題的計算：一個是蛋糕的質量，由此可以確定(quèdìng)需要多少雞蛋和面粉；另一個是蛋糕外表積(底面除外)，由此確定(quèdìng)需要多少奶油。【實驗方案】首先分析一個圓盤形的單層蛋糕，如下圖，

圖3-4單層蛋糕繞水平中心軸旋轉而成，假設高為(m)，半徑為r(m)，密度為(kg/m3)，那么蛋糕的質量(kg)和外表積(m2)為

第九十五頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗如果蛋糕是雙層圓盤的，如下圖：

圖3-5雙層蛋糕繞水平中心軸旋轉而成，每層高為H/2，下層蛋糕半徑為r1，上層蛋糕半徑為r2，此時蛋糕的質量和外表(wàibiǎo)積為以此類推，如果蛋糕是n層的，圖3-6多層蛋糕第九十六頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗每層高為H/n，半徑分別為r1，r2，……，rn，那么(nàme)蛋糕的質量和外表積為事實上，蛋糕邊緣圓盤半徑(0<h<1)那么(nàme)當n→∞，H=1時→→此時，數學家的生日蛋糕問題就轉化為求上面兩個數值積分。第九十七頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗【實驗過程】>>symsh>>r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5;>>quadl('pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5).^2',0,1)ans=>>r0=subs(r,h,0)r0=>>quadl('2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5)',0,1)+pi*r0^2ans=求得該數學家的生日大蛋糕的質量(zhìliàng)和外表積為W=5.4171(kg)，S=16.0512(m2)第九十八頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗思考與提高1.某游樂場新建一個魚塘，在釣魚(diàoyú)季節來臨之際前將魚放入魚塘，魚塘的平均深度為6m，開始方案時每3m3有一條魚，并在釣魚(diàoyú)季節結束時所剩的魚是開始的25％，如果一張釣魚(diàoyú)證可以釣魚(diàoyú)20條，試問：最多可以賣出多少釣魚(diàoyú)證？魚塘的平面圖如圖：

圖3-7魚塘平面示意圖第九十九頁，共126頁。

第3章一元函數積分法—設計(shèjì)性實驗2.某旅游景點準備在兩個山頂間設置一纜車索道，兩山頂間相距200m。為施工方便，在兩山頂中間依山勢建有一個塔，塔頂與兩山頂等高等距離。現在塔頂與山頂間懸掛索道，允許索道在中間下垂10m，且兩局部下垂局部一致。請計算在這兩個山頂間所用索道長度。3.在鋼線碳含量對于電阻的效應的研究中，得到以下數據：試求其線性擬合曲線(qūxiàn)，并估計在碳含量的這一改變過程中對電阻產生的總效應．碳含量x0.100.300.400.550.700.800.95電阻效應y1518192122.623.826第一百頁，共126頁。理工(lǐɡōnɡ)數學實驗第4章空間(kōngjiān)解析幾何第一百零一頁，共126頁。

第4章空間(kōngjiān)解析幾何驗證性實驗實驗一空間(kōngjiān)曲線實驗二二次曲面第一百零二頁，共126頁。

第4章空間(kōngjiān)解析幾何—驗證性實驗實驗一空間曲線(qūxiàn)【實驗目的】1．進一步理解空間解析幾何的應用2．學習用Matlab繪制的空間的曲線(qūxiàn)【實驗要求】熟悉Matlab圖形命令plot3第一百零三頁，共126頁。

第4章空間(kōngjiān)解析幾何—驗證性實驗【實驗內容】1．畫出螺旋線與空間曲線【實驗過程(guòchéng)】>>t=0:pi/50:10*pi;>>x=sin(t);>>y=cos(t);>>z=t;>>subplot(1,2,1);>>plot3(x,y,z,)運行結果：第一百零四頁，共126頁。

第4章空間解析幾何(jiěxījǐhé)—驗證性實驗圖4-1螺旋線>>>>x=cos(t);>>y=sin(t);>>z=1/t;>>subplot(1,2,2);>>plot3(x,y,z,)運行(yùnxíng)結果：第一百零五頁，共126頁。

第4章空間(kōngjiān)解析幾何—驗證性實驗圖4-2空間(kōngjiān)曲線第一百零六頁，共126頁。

第4章空間解析幾何(jiěxījǐhé)—驗證性實驗2．繪制曲線2.首先我們把方程組變化成以下(yǐxià)形式：于是輸入：>>t=0:0.01:1>>x=t;>>y=sqrt(t.*(1-t));>>z=sqrt(1-x.^2-y.^2);>>plot3(x,y,z)第一百零七頁，共126頁。

第4章空間解析幾何(jiěxījǐhé)—驗證性實驗運行結果(jiēguǒ)：圖4-3空間曲線第一百零八頁，共126頁。

第4章空間解析幾何—驗證(yànzhèng)性實驗實驗二二次曲面【實驗目的】1．進一步理解空間解析幾何的應用(yìngyòng)2．學習用Matlab繪制的空間的曲面【實驗要求】熟悉Matlab中圖形命令mesh，meshc，meshz等第一百零九頁，共126頁。

第4章空間解析幾何—驗證(yànzhèng)性實驗【實驗內容(nèiróng)】1．繪制的圖像。【實驗過程】1．>>x=-4:4;>>y=x;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>z=(1+X+Y).^2;>>mesh(X,Y,z)運行結果：第一百一十頁，共126頁。

第4章空間(kōngjiān)解析幾何—驗證性實驗圖4-3空間(kōngjiān)曲面第一百一十一頁，共126頁。

第4章空間解析幾何—驗證(yànzhèng)性實驗2．畫旋轉拋物面.>>x=-3:3;>>y=x;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>z=X.^2+Y.^2;>>mesh(X,Y,z)運行(yùnxíng)結果：