2023屆河南省高三3月聯考數學（理）試題一、單選題1．若的展開式中的系數為40，則k＝（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】先求得的展開式的通項公式，再根據的系數為40求解.【詳解】因為的展開式的通項公式為，且的系數為40，所以，即，解得.故選：C2．已知非空集合，集合，則的取值集合與集合的交集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由一元二次方程有解和對數型函數的定義域，分別求解的取值集合與集合，取交集即可．【詳解】若集合是非空集合，則一元二次方程有解，即，解得或，所以的取值集合為，集合即函數的定義域：，解得，所以的取值集合與集合的交集是，故選：C．3．已知向量和，在上的投影為正數，p：，q：或，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由和在上的投影是正數，求得x的值，再利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：若，則，即，得或，又因為在上的投影是正數，所以，所以，即成立，但不成立，所以p是q的充分不必要條件，故選：A．4．作為惠民政策之一，新農合是國家推出的一項新型農村合作醫療保險政策，極大地解決了農村人看病難的問題．為了檢測此項政策的落實情況，現對某地鄉鎮醫院隨機抽取100份住院記錄，作出頻率分布直方圖如下：已知該醫院報銷政策為：花費400元及以下的不予報銷；花費超過400元不超過6000元的，超過400元的部分報銷65%；花費在6000元以上的報銷所花費費用的80%．則下列說法中，正確的是（

）A．B．若某病人住院花費了4300元，則報銷后實際花費為2235元C．根據頻率分布直方圖可估計一個病人在該醫院報銷所花費費用為80%的概率為D．這100份花費費用的中位數是4205元【答案】C【分析】由頻率和為1列方程判斷A；求出該病人在醫院住院報銷金額判斷B；根據樣本中可報銷80%的占比為0.15判斷C；根據樣本中消費費用小于4000的直方圖的面積判斷D．【詳解】由頻率分布直方圖得，解得，故A錯誤；該病人在醫院住院消費了4300元，報銷金額為元，所以此人實際花費為元，故B錯誤；樣本中可報銷80%的占比為0.15，所以該醫院可報銷為80%的概率為，故C正確；樣本中消費費用小于4000的直方圖的面積為，所以中位數在內，所以消費費用的中位數的估計值為元，故D錯誤．故選：C．5．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據正切函數的單調性得到，結合正弦函數和余弦函數的值域得到最大，再利用誘導公式得到，結合余弦函數的單調性即可比較和，從而求解.【詳解】因為在單調遞增，且，所以，又因為，，則，，因為在單調遞減，，所以，則，所以．故選：B．6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得出，再根據誘導公式及二倍角公式得出，代入計算即可．【詳解】由得，則，故選：A．7．已知數列的前n項和為，且，則（

）A． B．2n C． D．【答案】D【分析】首先令求出數列首項，再根據得，兩式相減得，然后構造等差數列，通過等差數列通項公式求解數列的通項公式，進而求出的通項公式.【詳解】令，由可得：，兩式作差可得：，化簡整理可得：，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，所以，進而可得：．故選：D．8．已知實數a，b滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．16【答案】A【分析】將已知表示成一個以為圓心，1為半徑的圓，將問題轉化為圓上一點到直線距離最小值問題，從而找到解題關鍵.【詳解】依題意可知曲線表示一個以為圓心，1為半徑的圓，求的最小值相當于先求的最小值，即求圓上一點到直線的距離d的最小值，所以，即的最小值為1．故選：A．9．已知拋物線C：，直線l經過定點，且與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點，滿足，則p＝（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】聯立直線與拋物線方程，根據根與系數的關系，結合向量數量積的坐標運算即可代入求值.【詳解】易知直線l的斜率不為0，設直線l的方程為，，．聯立，消去x，得，則，．∵，∴，∴．故選：C．10．在四邊形ABCD中，，，則的最大值為（

）A．25 B． C． D．【答案】B【分析】設（），在中，根據正弦定理得到，在中，根據余弦定理和三角函數值得到，從而得到，再在中，由余弦定理得到，結合正弦函數的圖像與性質，即可求解.【詳解】設（），則，在中，由正弦定理可得，又，在中，，，則，則，在中，由余弦定理可得，即，又，則，所以當，即時，取得最大值為．故選：B．11．已知正三棱柱的底面邊長，其外接球的表面積為，D是的中點，點P是線段上的動點，過BC且與AP垂直的截面與AP交于點E，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據外接球的表面積求解球半徑，利用正三棱柱的外接球球心位置結合勾股定理可得棱柱的高，進而根據點的軌跡在以AF為直徑的圓上,即可確定點到底面ABC距離的最大值,最后利用體積公式求解即可.【詳解】外接球的表面積為，可得外接球半徑為.因為正三棱柱的底面邊長，所以,所以的外接圓半徑為，設三棱柱的側棱長為h，則有，即側棱，設BC的中點為F，作出截面如圖所示，因為，,所以，所以點E在以AF為直徑的圓上，當點E在的中點時，此時點到底面ABC距離的最大，且最大值為，因為，所以此時點P在線段上，符合條件，所以三棱錐的體積的最大值為．故選：A．12．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P為第一象限內一點，且點P在雙曲線C的一條漸近線上，，線段與雙曲線C相交于點M，直線與y軸相交于點N，軸，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意求出點P坐標，繼而表示出直線和的方程，根據點N位置求出求出點N坐標，根據，求出點M坐標，將M坐標代入曲線方程即可求出離心率.【詳解】設雙曲線C的焦距為2c，由可得點P在圓上，聯立方程，可解得點P的坐標為，直線的方程為，令，可得點N的坐標為，直線的方程為，令，解得，可得點M的坐標為，將點M的坐標代入雙曲線C的方程有，有，化解得，解得．故選:D．二、填空題13．已知a為實數，為純虛數，則______．【答案】2【分析】根據復數的除法運算化簡復數，即可根據純虛數的定義列方程求解a的值.【詳解】為純虛數，所以且，解得.故答案為：2.14．為了慶祝新年的到來,某校“皮影戲”社團的6名男同學,2名女同學計劃組成4人代表隊代表本校參加市級“皮影戲”比賽,該代表隊中有隊長,副隊長各一名,剩余兩名為隊員.若現要求代表隊中至少有一名女同學,一共有______種可能.【答案】【分析】先分類:代表隊中有1名女同學和有2名女同學,再選出隊長,副隊長各一名即可得到結果.【詳解】若代表隊中有1名女同學,此時共有種可能;若有2名女同學,則共有種可能,所以一共有種可能.故答案為:.15．已知等腰的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，成等差數列，點D為外接圓劣弧上一點（不含端點），若，則______．【答案】5【分析】利用等差中項及余弦定理求出角B，設，利用圓周角定理求出，，從而利用正弦定理求出，進一步求出.【詳解】因為，，成等差數列，所以，即，即，因為，所以，因為是等腰三角形，所以是正三角形，設的邊長為x，，易得，根據圓周角定理，有，所以，，在中，根據正弦定理有，同理在中，，，所以．故答案為：516．若，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據給定條件，求導并構造函數，分和討論，結合導函數與函數單調性、最值的關系即可.【詳解】令，則，，令，，則，則函數在上單調遞減，有，當時，，即，則在上為減函數，，不等式恒成立時，，解得，若，，則存在，使得，于是在上單調遞增，在上單調遞減，此時，有，不符合題意，綜上所述，不等式恒成立時，實數a的取值范圍是．故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵在于合理地進行分類討論，首先對于較為簡單的進行討論，對時，需要再次找到函數單調的分界點，即，對于時，需采用隱零點法結合不等式放縮即可.三、解答題17．已知正項數列滿足，．(1)求數列的通項公式；(2)設為數列的前n項和，且．求數列的通項公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用換底公式和累乘法求出數列的通項公式；（2）由作差法求出數列的通項公式．【詳解】（1）已知（且），設，則，所以，當時，．即，所以，當時，符合上式，所以；（2），當時，，當時，，則．18．某社區對是否愿意參與2023年元旦文藝與體育活動進行調查，隨機抽查男性居民，女性居民各35人，參與調查的結果如下表：愿意參與不愿參與男性居民15人20人女性居民25人10人(1)從已知數據判斷能否有95%的把握認為是否愿意參與文藝和體育活動與性別有關；(2)用分層抽樣方法，在愿意參與的居民中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記抽到的男性居民人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．附：，其中.【答案】(1)有95%的把握認為是否愿意參與文藝和體育活動與性別有關(2)分布列見解析，【分析】（1）根據給定的數表，結合的計算公式，求出的觀測值并與臨界值表比對作答；（2）根據分層抽樣原則可確定8人中，男性居民和女性居民應抽取的人數，則可確定所有可能的取值，根據超幾何分布概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；根據數學期望公式可求得期望值.【詳解】（1）由已知得列聯表：愿意參與不愿參與總計男性居民152035女性居民251035總計403070因為．所以有95%的把握認為是否愿意參與文藝和體育活動與性別有關；（2）用分層抽樣方法，在愿意參與的居民中抽取8人，男性居民應抽取3人，女性居民應抽取5人，再從這8人中隨機抽取3人，記抽到的男性居民為X，則X的可能取值為0，1，2，3．，，，，所以X的分布列為：X0123P所以．19．已知圓柱的底面圓心為O，底面直徑，圓柱的高為4，C為圓弧的中點，為圓柱的一條母線，D為AC的中點，E為CD的中點．(1)證明：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由平面證明，然后再結合證明平面，從而證明；（2）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，求出各點坐標，從而計算出平面和平面的法向量，最后計算出二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，又因為，，所以平面，因為平面，所以；（2）解：由題意分別以CA，CB，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，所以，，，則，，則，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，即二面角的余弦值為．20．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)相互垂直且斜率存在的直線，都過點，直線與橢圓相交于、兩點，直線與橢圓相交于、兩點，點為線段的中點，點為線段的中點，證明：直線過定點．【答案】(1).(2)直線過定點，證明見解析.【分析】(1)根據橢圓過點及離心率為，列方程組求解；(2)將直線方程與橢圓方程聯立得到二次方程，用韋達定理表示出中點、的坐標，由對稱性可知直線所過x軸上的定點，由三點共線列出方程可解出為定值.【詳解】（1）設點，的坐標分別為、，由題意有解得故橢圓的標準方程為；（2）證明：設直線的斜率為，可得直線的斜率為，設點的坐標為，點的坐標為，直線的方程為，聯立方程消除后有，有，可得，，同理，，由對稱性可知直線所過的定點必定在軸上，設點的坐標為，有，有，化簡得，解得，故直線過定點．21．已知函數．(1)若，求在點處的切線方程；(2)若（）是的兩個極值點，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導，得切點處的導數值，根據點斜式即可求解切線方程；（2）根據極值點的定義，可得方程的兩個根，根據韋達定理代入化簡，將問題轉化成，構造函數，結合導數證明即可.【詳解】（1）當時，，則，，，所以在處的切線方程為,即；（2）證明：由，可知，因為（）是的極值點,所以方程的兩個不等的正實數根，所以，，則．要證成立，只需證，即證，即證，即證，即證，設，則，即證，令，則，所以在上單調遞減，則，所以，故．【點睛】本題考查了導數的綜合運用，求某點處的切線方程較為簡單，利用導數求單調性時，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數的一部分抽離出來，構造新的函數，利用導數研究其單調性，進而可判斷原函數的單調性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉化.無論是那種方式，都要敢于構造函數，構造有效的函數往往是解題的關鍵.22．在平面直角標系xOy中，曲M的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．(1)求曲線M的普通方程；(2)若D為曲線M上一動點，求D到l距離的取值范圍