2023屆山東省高三第三次學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)本試卷4頁．總分150分．考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解為，則在復(fù)數(shù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．實軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限3．已知a，b均為不等于0的實數(shù)，則“”是“，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則是中的（）A．第30項 B．第36項 C．第48項 D．第60項5．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽所使用的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．如圖①，是一個“勾股圓方圖”，設(shè)，，；在正方形EFGH中再作四個全等的直角三角形和一個小正方形IJKL，且，如圖②．若，且，則（）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，A為C上位于第一象限的一點，與y軸交于點B．若，則C的離心率為（）A． B． C． D．7．已知是上的偶函數(shù)，且當時，．若，則（）A． B． C． D．8．在三棱錐P-ABC中，，，，二面角P-AB-C的大小為．若三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，則當三棱錐P-ABC的體積最大時，球O的體積為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知a，b，c是兩兩異面的三條直線，，，直線d滿足，，，，則c與d的位置關(guān)系可以是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直10．某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)M=“該家庭中有男孩、又有女孩”，N=“該家庭中最多有一個女孩”，則下列結(jié)論正確的是（）A．若該家庭中有兩個小孩，則M與N互斥B．若該家庭中有兩個小孩，則M與N不相互獨立 C．若該家庭中有三個小孩，則M與N不互斥D．若該家庭中有三個小孩，則M與N相互獨立11．已知函數(shù)在區(qū)間上有四個零點，分別為，，，，且，則（）A． B． C． D．12．對于兩個均不等于1的正數(shù)m和n，定義：，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，且，則B．若，且，則C．若，則D．若，，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若是函數(shù)圖象上的一點，則是函數(shù)（，，）圖象上的相應(yīng)的點，那么______．14．某市統(tǒng)計高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標值不小于60就認為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標值，經(jīng)計算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標值服從正態(tài)分布，則估計該市高中生身體素質(zhì)的合格率為______．（用百分數(shù)作答，精確到0.1%）參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．15．若曲線上恰有四個不同的點到直線及點的距離都相等，則實數(shù)a的一個值可以是______．16．已知函數(shù)，則的最小值是______；若關(guān)于x的方程有3個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟．17．（10分）已知在數(shù)列中，，，且對任意的，，，成公比為的等比數(shù)列．（1）在中是否存在連續(xù)的三項成等差數(shù)列？若存在，請找出來；若不存在，請說明理由；（2）令，求數(shù)列的前n項和．18．（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．（1）求A；（2）設(shè)，D為邊BC上一點，且，求AD．參考數(shù)據(jù)：，．19．（12分）如圖，在三棱柱中，D是的中點，E是CD的中點，點F在上，且．（1）證明：平面；（2）若平面ABC，，，求平面DEF與平面夾角的余弦值．20．（12分）某藥廠研制了治療某種疾病的新藥，該藥的治愈率為p，現(xiàn)用該藥給10位病人治療，記被治愈的人數(shù)為X．（1）若，從這10人中隨機選2人進行用藥訪談，求被選中的治愈人數(shù)Y的分布列；（2）已知，集合{概率最大}，且A中僅有兩個元素，求．21．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，且，是C上一點．（1）求C的方程；（2）不垂直于坐標軸的直線l交C于M，N兩點，交x軸于點A，線段MN的垂直平分線交x軸于點D，若，證明：直線l過四個定點（-3，0），（-1，0），（1，0），（3，0）中的一個．22．（12分）已知函數(shù)．（1）證明：當時，；當時，；（2）若關(guān)于x的方程有兩解，，證明：（i）；（ii）．參考答案及解析一、選擇題1．C解析：由題意得，，所以，故選C．2．B解析：由，得．當，時，，，所以；同理，當，時，，故選B．3．B解析：由，得，于是，則，或，，所以充分性不成立；反之，當，時，（當且僅當時，取等號），則必要性成立．故選B．4．A解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，得①；由，得，即②．由①②解得，，所以，于是，是中的第30項，故選A．5．B解析：因為，，所以，所以，故選B．6．A解析：如圖，由，得為等邊三角形，再結(jié)合對稱性及橢圓的定義，得，則B為的中點，從而OB為的中位線，，所以，所以，即，則，故選A．7．C解析：由是上的偶函數(shù)，得，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱．當時，由，得在區(qū)間上為減函數(shù)．根據(jù)圖象的對稱性，得，則C正確、D錯誤．又顯然A，B均錯誤，故選C．8．D解析：設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為H，考慮到二面角P-AB-C的大小為，則點H與點C在直線AB的兩側(cè)．如圖，連接AH，因為，所以，又，所以，從而三棱錐P-ABC的高為1．要使三棱錐P-ABC的體積最大，必須使的面積最大，此時只需AB⊥BC．因此點C和點P在圖中兩全等長方體構(gòu)成的大長方體的體對角線的頂點上．以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz．易知球O的球心O在底面ABC內(nèi)的射影為線段AC的中點，于是設(shè)．又，，由，得，解得，則球O的半徑，所以球O的體積．故選D．二、選擇題9．BC解析：如圖，在正方體中，E是上一點（異于），AB，，所在直線分別為a，b，d．當所在直線為c時，c與d平行；當所在直線為c時，c與d異面；若c與d相交，則a垂直于c，d確定的平面，又a垂直于b，d確定的平面，易推出b與c共面，與已知矛盾；若c與d垂直，則c垂直于a，d確定的平面，而b垂直于a，d確定的平面，推出b與c平行或重合，與已知矛盾，故選BC．10．BCD解析：若該家庭中有兩個小孩，樣本空間為{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，M=（男，女），（女，男）}，N={（男，男），（男，女），（女，男）}，MN={（男，女），（女，男）}，則M與N不互斥，，，，于是，所以M與N不相互獨立，則A錯誤、B正確；若該家庭中有三個小孩，樣本空間為{（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，M={（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男）}，N=（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）}，MN={（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）}，則M與N不互斥，，，，于是，所以M與N相互獨立，則C和D均正確．綜上，故選BCD．11．AC解析：由，得．由題意知，當時，直線與函數(shù)的圖象有四個交點，且交點的橫坐標分別為，，，，如圖．設(shè)直線與曲線相切時k的值為a，于是斜率k的取值范圍為（0，a）．根據(jù)的圖象知，，得，又，，所以，從而，則A正確；由，得，又，，所以，從而，則B錯誤；由，得，又，，所以，從而，則C正確；因為，，當k接近0時，離比離近，所以；當k接近a時，離比離近，所以，所以與的大小關(guān)系是不確定的，則D錯誤．綜上，故選AC．12．BC解析：當時，，即，亦即；當時，，即，亦即．綜上，當時，或，則A錯誤；由及，得，即，即，即或，即或．由，得，從而可得，則B正確；若，則，而由，得，所以成立，則C正確；由指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，且，可得；由冪函數(shù)是增函數(shù)，且，可得，于是，所以，同理，，所以，則D錯誤．綜上，故選BC．三、填空題13．0解析：實際上，是將圖象上的所有點向左平移個單位長度，再把所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象，即，于是．14．97.7%解析：因為100個數(shù)據(jù)，，，…，的平均值，方差，所以的估計值為，的估計值為．設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標值為X，由，得，所以．15．（填寫區(qū)間內(nèi)的任一實數(shù)均得5分）解析：易知到直線及點的距離都相等的點的軌跡為．由，得或．當射線與拋物線相切時，由得，則由，解得；當射線過原點O時，，所以當時，射線與拋物線有兩個公共點（異于原點）．此時，根據(jù)對稱性，射線與拋物線也有兩個公共點．故滿足題意的實數(shù)a的取值范圍是．16．解析：，由，得．設(shè)，注意到曲線與曲線恰好交于點，顯然，（比較與大小的推理見后附），作出的大致圖象如圖，可得的最小值是1，從而的最小值是2．設(shè)直線與曲線切于點，則，解得，從而．由圖象可知，若關(guān)于x的方程有3個實數(shù)解，則，即所求實數(shù)a的取值范圍是．附：（1）當時，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，此時；（2）當時，設(shè)，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，，即；當時，，即；當時，，即．四、解答題17．解：（1）存在，，成等差數(shù)列．下面說明：當時，，，成公比為2的等比數(shù)列，則，，從而；當時，，，成公比為的等比數(shù)列，則，從而，于是，故，，成等差數(shù)列．注意：連續(xù)三項，成等差數(shù)列，故只需要找出這樣的三項均符合題意．（2）由題意，對任意的，得，即．當時，得；當時，，適合上式，所以，則，所以．18．解：（1）因為，所以．由正弦定理，得．又，所以．因為，所以，所以，即．又，所以．（2）法一：由題意，得，結(jié)合，，解得．在中，由正弦定理，得，則，．從而．法二：由題意，得．又，所以．在中，由正弦定理，得，則．在中，由正弦定理，得，則．由，得，解得．19．（1）證明：法一：如圖，取AD的中點G，連接GE，GF，由D是的中點，得．因為，所以，從而．又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．因為G，E分別為AD，CD的中點，所以．又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．又，GE，平面GEF，所以平面平面ABC．因為平面GEF，所以平面ABC．法二：由D是的中點，E是CD的中點，得；由點F在上，且，得，所以，所以向量，，共面．又平面ABC，AB，平面ABC，所以平面ABC．注意：若以A為坐標原點，分別以AC、所在直線為y軸、z軸建立空間直角坐標系，不給分．（2）解：如圖，以A為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，從而，，．設(shè)平面DEF的法向量為，則即取，則，，得平面DEF的一個法向量為；設(shè)平面的法向量為，則即取，則，，得平面的一個法向量為，則，故平面DEF與平面夾角的余弦值為．20．解：（1）由題意知，Y的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以Y的分布列為Y012P（2）由題意，．由得解得．因為A為雙元素集合，且，所以．因為，所以．因為為正整數(shù)，所以，即．由題意，，因此．21．（1）解：設(shè)C的焦距為2c，則，即，，．由雙曲線的定義，得，即，所以．故C的方程為．（2）證明：設(shè)，，，直線l的方程為．聯(lián)立整理得，由題意，得即則，，．設(shè)MN的中點為，則，所以線段MN的垂直平分線的方程為，令，得，即，所以．由題意，得，即，從而．當，即時，解得或；當，即時，解得或，所以直線l的方程為，或，或，或．故直線l過四個定點（-3，0），（-1，0），（1，0），（3，0）中的一個．證明：（1）設(shè)