-.z.高等數學（本科少學時類型）函數與極限函數○函數基礎（高中函數部分相關知識）（***）○鄰域（去心鄰域）（*）數列的極限○數列極限的證明（*）【題型示例】已知數列，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，。當時，始終有不等式成立，∴函數的極限○時函數極限的證明（*）【題型示例】已知函數，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，∴○時函數極限的證明（*）【題型示例】已知函數，證明【證明示例】語言1．由化簡得，∴2．即對，，當時，始終有不等式成立，∴無窮小與無窮大○無窮小與無窮大的本質（*）函數無窮小函數無窮大○無窮小與無窮大的相關定理與推論（**）（定理三）假設為有界函數，為無窮小，則（定理四）在自變量的*個變化過程中，若為無窮大，則為無窮小；反之，若為無窮小，且，則為無窮大【題型示例】計算：（或）1．∵≤∴函數在的任一去心鄰域內是有界的；（∵≤，∴函數在上有界；）2．即函數是時的無窮小；（即函數是時的無窮小；）3．由定理可知（）極限運算法則○極限的四則運算法則（**）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關于多項式、商式的極限運算設：則有（特別地，當（不定型）時，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）【題型示例】求值【求解示例】解：因為，從而可得，所以原式其中為函數的可去間斷點倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節）：解：○連續函數穿越定理（復合函數的極限求解）（**）（定理五）若函數是定義域上的連續函數，則，【題型示例】求值：【求解示例】極限存在準則及兩個重要極限○夾迫準則（P53）（***）第一個重要極限：∵，∴（特別地，）○單調有界收斂準則（P57）（***）第二個重要極限：（一般地，，其中）【題型示例】求值：【求解示例】無窮小量的階（無窮小的比較）○等價無窮小（**）1．2．（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：【求解示例】函數的連續性○函數連續的定義（*）○間斷點的分類（P67）（*）（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）【題型示例】設函數，應該怎樣選擇數，使得成為在上的連續函數？【求解示例】1．∵2．由連續函數定義∴閉區間上連續函數的性質○零點定理（*）【題型示例】證明：方程至少有一個根介于與之間【證明示例】1．（建立輔助函數）函數在閉區間上連續；2．∵（端點異號）3．∴由零點定理，在開區間內至少有一點，使得，即（）4．這等式說明方程在開區間內至少有一個根導數與微分導數概念○高等數學中導數的定義及幾何意義（P83）（**）【題型示例】已知函數，在處可導，求，【求解示例】1．∵，2．由函數可導定義∴【題型示例】求在處的切線與法線方程（或：過圖像上點處的切線與法線方程）【求解示例】1．，2．切線方程：法線方程：函數的和（差）、積與商的求導法則○函數和（差）、積與商的求導法則（***）1．線性組合（定理一）：特別地，當時，有2．函數積的求導法則（定理二）：3．函數商的求導法則（定理三）：反函數和復合函數的求導法則○反函數的求導法則（*）【題型示例】求函數的導數【求解示例】由題可得為直接函數，其在定于域上單調、可導，且；∴○復合函數的求導法則（***）【題型示例】設，求【求解示例】高階導數○（或）（*）【題型示例】求函數的階導數【求解示例】，，……隱函數及參數方程型函數的導數○隱函數的求導（等式兩邊對求導）（***）【題型示例】試求：方程所給定的曲線：在點的切線方程與法線方程【求解示例】由兩邊對求導即化簡得∴∴切線方程：法線方程：○參數方程型函數的求導【題型示例】設參數方程，求【求解示例】1.2.變化率問題舉例及相關變化率（不作要求）函數的微分○基本初等函數微分公式與微分運算法則（***）中值定理與導數的應用中值定理○引理（費馬引理）（*）○羅爾定理（***）【題型示例】現假設函數在上連續，在上可導，試證明：，使得成立【證明示例】1．（建立輔助函數）令顯然函數在閉區間上連續，在開區間上可導；2．又∵即3．∴由羅爾定理知，使得成立○拉格朗日中值定理（*）【題型示例】證明不等式：當時，【證明示例】1．（建立輔助函數）令函數，則對，顯然函數在閉區間上連續，在開區間上可導，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又∵，∴，化簡得，即證得：當時，【題型示例】證明不等式：當時，【證明示例】1．（建立輔助函數）令函數，則對，函數在閉區間上連續，在開區間上可導，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，化簡得，又∵，∴，∴，即證得：當時，羅比達法則○運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（**）1．等價無窮小的替換（以簡化運算）2．判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比達法則的三個前提條件A．屬于兩大基本不定型（）且滿足條件，則進行運算：（再進行1、2步驟，反復直到結果得出）B．不屬于兩大基本不定型（轉化為基本不定型）⑴型（轉乘為除，構造分式）【題型示例】求值：【求解示例】（一般地，，其中）⑵型（通分構造分式，觀察分母）【題型示例】求值：【求解示例】⑶型（對數求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】⑷型（對數求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】⑸型（對數求極限法）【題型示例】求值：【求解示例】○運用羅比達法則進行極限運算的基本思路（**）⑴通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）⑵取倒數獲得分式（將乘積形式轉化為分式形式）⑶取對數獲得乘積式（通過對數運算將指數提前）泰勒中值定理（不作要求）函數的單調性和曲線的凹凸性○連續函數單調性（單調區間）（***）【題型示例】試確定函數的單調區間【求解示例】1．∵函數在其定義域上連續，且可導∴2．令，解得：3．（三行表）極大值極小值4．∴函數的單調遞增區間為；單調遞減區間為【題型示例】證明：當時，【證明示例】1．（構建輔助函數）設，（）2．，（）∴3．既證：當時，【題型示例】證明：當時，【證明示例】1．（構建輔助函數）設，（）2．，（）∴3．既證：當時，○連續函數凹凸性（***）【題型示例】試討論函數的單調性、極值、凹凸性及拐點【證明示例】1．2．令解得：3．（四行表）SHAPE4．⑴函數單調遞增區間為,單調遞增區間為,；⑵函數的極小值在時取到，為，極大值在時取到，為；⑶函數在區間,上凹，在區間,上凸；⑷函數的拐點坐標為函數的極值和最大、最小值○函數的極值與最值的關系（***）⑴設函數的定義域為，如果的*個鄰域，使得對，都適合不等式，我們則稱函數在點處有極大值；令則函數在閉區間上的最大值滿足：；⑵設函數的定義域為，如果的*個鄰域，使得對，都適合不等式，我們則稱函數在點處有極小值；令則函數在閉區間上的最小值滿足：；【題型示例】求函數在上的最值【求解示例】1．∵函數在其定義域上連續，且可導∴2．令，解得：3．（三行表）極小值極大值4．又∵∴函數圖形的描繪（不作要求）曲率（不作要求）方程的近似解（不作要求）不定積分不定積分的概念與性質○原函數與不定積分的概念（**）⑴原函數的概念：假設在定義區間上，可導函數的導函數為，即當自變量時，有或成立，則稱為的一個原函數⑵原函數存在定理：（**）如果函數在定義區間上連續，則在上必存在可導函數使得，也就是說：連續函數一定存在原函數（可導必連續）⑶不定積分的概念（**）在定義區間上，函數的帶有任意常數項的原函數稱為在定義區間上的不定積分，即表示為：（稱為積分號，稱為被積函數，稱為積分表達式，則稱為積分變量）○基本積分表（***）○不定積分的線性性質（分項積分公式）（***）換元積分法○第一類換元法（湊微分）（***）（的逆向應用）【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】○第二類換元法（去根式）（**）（的正向應用）⑴對于一次根式（）：：令，于是，則原式可化為⑵對于根號下平方和的形式（）：：令（），于是，則原式可化為；⑶對于根號下平方差的形式（）：a．：令（），于是，則原式可化為；b．：令（），于是，則原式可化為；【題型示例】求（一次根式）【求解示例】【題型示例】求（三角換元）【求解示例】分部積分法○分部積分法（**）⑴設函數，具有連續導數，則其分部積分公式可表示為：⑵分部積分法函數排序次序：“反、對、冪、三、指”○運用分部積分法計算不定積分的基本步驟：⑴遵照分部積分法函數排序次序對被積函數排序；⑵就近湊微分：（）⑶使用分部積分公式：⑷展開尾項，判斷a．若是容易求解的不定積分，則直接計算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數積分可以輕易求解出結果）；b．若依舊是相當復雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重復⑵、⑶，直至出現容易求解的不定積分；若重復過程中出現循環，則聯立方程求解，但是最后要注意添上常數【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】∴有理函數的不定積分○有理函數（*）設：對于有理函數，當的次數小于的次數時，有理函數是真分式；當的次數大于的次數時，有理函數是假分式○有理函數（真分式）不定積分的求解思路（*）⑴將有理函數的分母分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘積：其中一個多項式可以表示為一次因式；而另一個多項式可以表示為二次質因式，（）；即：一般地：，則參數則參數⑵則設有理函數的分拆和式為：其中參數由待定系數法（比較法）求出⑶得到分拆式后分項積分即可求解【題型示例】求（構造法）【求解示例】積分表的使用（不作要求）定積分極其應用定積分的概念與性質○定積分的定義（*）（稱為被積函數，稱為被積表達式，則稱為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區間）○定積分的性質（***）⑴⑵⑶⑷（線性性質）⑸（積分區間的可加性）⑹若函數在積分區間上滿足，則；（推論一）若函數、函數在積分區間上滿足，則；（推論二）○積分中值定理（不作要求）微積分基本公式○牛頓-萊布尼茲公式（***）（定理三）若果函數是連續函數在區間上的一個原函數，則○變限積分的導數公式（***）（上上導―下下導）【題型示例】求【求解示例】定積分的換元法及分部積分法○定積分的換元法（***）⑴（第一換元法）【題型示例】求【求解示例】⑵（第二換元法）設函數，函數滿足：a．，使得；b．在區間或上