遼寧省錦州市-2019學年高一數學下學期期末考試試題（含解析）

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.在區間S上隨機選取一個數日，則國的概率為（）

A.@B.[c.gD.g

【答案】C

【解析】

【分析】

根據幾何概型概率公式直接求解可得結果.

【詳解】由幾何概型概率公式可知，所求概率[x]

本題正確選項：0

【點睛】本題考查幾何概型中的長度型概率問題的求解，屬于基礎題.

2.為了從甲、乙兩組中選一組參加“喜迎國慶共建小康”知識競賽活動.班主任老師將兩組最

近的目次測試的成績進行統計，得到如圖所示的莖葉圖.若甲、乙兩組的平均成績分別是a

則下列說法正確的是（）

A.國，乙組比甲組成績穩定，應選乙組參加比賽

B.回，甲組比乙組成績穩定.應選甲組參加比賽

C.國，甲組比乙組成績穩定.應選甲組參加比賽

D.可，乙組比甲組成績穩定，應選乙組參加比賽

【答案】D

【解析】

【分析】

由莖葉圖數據分別計算兩組的平均數；根據數據分布特點可知乙組成績更穩定；由平均數和

穩定性可知應選乙組參賽.

r^i

a乙組的數據集中在平均數附近兇乙組成績更穩定

日應選乙組參加比賽

本題正確選項：a

【點睛】本題考查莖葉圖的相關知識，涉及到平均數的計算、數據穩定性的估計等知識，屬

于基礎題.

3.已知隨機事件日和日互斥，且1x1.則匹?()

A.□B.SC.SD.S

【答案】D

【解析】

【分析】

根據互斥事件的概率公式可求得a,利用對立事件概率公式求得結果.

【詳解】國與日互斥■—■

本題正確選項：3

【點睛】本題考查概率中的互斥事件、對立事件概率公式的應用，屬于基礎題.

4.等差數列□的首項為工公差不為可，若目成等比數列，則數列□的前日項和為

()

A.aB.sc.aD.a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據等比中項定義可得目;利用國和日表示出等式，可構造方程求得日；利用等差

數列求和公式求得結果.

【詳解】由題意得：目

設等差數列s公差為目，則■—■

即：I=■，解得：EBJ

本題正確選項：日

【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，涉及到等比中項、等差數列前目項和公式的應用;

關鍵是能夠構造方程求出公差，屬于常考題型.

5.在日中，內角目所對的邊分別為臼.若1—?，則角日的

值為（）

A.B.3C.3D.0

【答案】C

【解析】

【分析】

根據正弦定理將邊化角，可得IX■,由IX?可求得回，根

據目的范圍求得結果.

【詳解】由正弦定理得：I—=■

I■I■

「工一］r^~ix

本題正確選項：a

【點睛】本題考查正弦定理邊角互化的應用，涉及到兩角和差正弦公式、三角形內角和、誘

導公式的應用，屬于基礎題.

6.已知等差數列0的前回項和為因.且目，則IX|()

A.aB.0c.aD.g

【答案】c

【解析】

【分析】

根據等差數列性質可知日，求得目，代入可求得結果.

日詳解][■日

[X■

本題正確選項：a

【點睛】本題考查三角函數值的求解，關鍵是能夠靈活應用等差數列下標和的性質，屬于基

礎題.

7.已知日區]，則㈢()

A.目B.岡C.QD.因

【答案】C

【解析】

【分析】

根據同角三角函數關系可求得口；由二倍角的正切公式可求得結果.

【詳解】，叵]|x]

本題正確選項：a

【點睛】本題考查二倍角的正切公式、同角三角函數關系的應用，屬于基礎題.

8.袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球，分別寫有和、“諧”、“校”“園”四個字，

有放回地從中任意摸出一個小球，直到“和”、“諧”兩個字都摸到就停止摸球，用隨機模

擬的方法估計恰好在第三次停止摸球的概率。利用電腦隨機產生m到日之間取整數值的隨機

數，分別用上日，3,日代表“和”、“諧”、“校”、“園”這四個字，以每三個隨機數

為一組，表示摸球三次的結果，經隨機模擬產生了以下回組隨機數：

由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率為()

A.§B.0C.0D.日

【答案】C

【解析】

【分析】

由題隨機數的前兩位1,2只能出現一個，第三位出現另外一個.依次判斷每個隨機數即可.

【詳解】由題隨機數的前兩位1,2只能出現一個，第三位出現另外一個，.?.滿足條件的隨機數

為142,112,241,142,故恰好第三次就停止摸球的概率為區|.

故選：C

【點睛】本題考查古典概型，熟記古典概型運算公式日關鍵，是中檔題，也是易錯題.

9.等差數列叵］的前日項和為岡.若，則國()

A.aB.aC.3D.s

【答案】D

【解析】

【分析】

根據等差數列片段和成等差數列，可得到1X■，代入求得結果.

【詳解】由等差數列性質知：□,國，國，國成等差數列

I=~~=■,即：IX|

本題正確選項：a

【點睛】本題考查等差數列片段和性質的應用，關鍵是根據片段和成等差數列得到項之間的

關系，屬于基礎題.

10.趙爽是三國時期吳國的數學家，他創制了一幅“勾股圓方圖”，也稱“趙爽弦圖”，如圖,

若在大正方形內隨機取-點，這一點落在小正方形內的概率為三，則勾與股的比為（）

A.0B.C0以0

【答案】B

【解析】

【分析】

分別求解出小正方形和大正方形的面積，可知面積比為日，從而構造方程可求得結果.

【詳解】由圖形可知，小正方形邊長為a

四小正方形面積為：目，又大正方形面積為：3

,即：

解得：

本題正確選項：R

【點睛】本題考查兒何概型中的面積型的應用，關鍵是能夠利用概率構造出關于所求量的方

程.

11.已知函數[■的最小正周期為回，若\X■

則叵]的最小值為（）

A.3B.gC.0D.日

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦型函數的最小正周期可求得回，得到函數解析式，從而確定函數的最大值和最小值；

根據「二1可知田和日必須為最大值點和最小值點才能夠滿足等式；利

用整體對應的方式可構造方程組求得[x],Ix|；從而可知

1X1時取最小值.

【詳解】由a最小正周期為日可得：S閆IX|

IX1,IX■

I?LEJ和目分別為3的最大值點和最小值點

設a為最大值點，a為最小值點

EH3「T

當W3時，IXI

本題正確選項：日

【點睛】本題考查正弦型函數性質的綜合應用，涉及到正弦型函數最小正周期和函數值域的

求解；關鍵是能夠根據函數的最值確定日和可為最值點，從而利用整體對應的方式求得結果.

12.在日中，Ix?,日是邊叵）的中點.因為國所在平面內一點且滿

足則目的值為（）

A.B.3C.0D.

【答案】D

【解析】

【分

根據平面向量基本定理可知,將所求數量積化為

IX|;由模長的等量關系可知皿和閆為等腰三角形，根據三線合

一的特點可將日和日化為叵I和叵I,代入可求得結果.

【詳解】臼為叵］中點

IXI日和1為等腰三角形

,同理可得:

本題正確選項：回

【點睛】本題考查向量數量積的求解問題，關鍵是能夠利用模長的等量關系得到等腰三角形,

從而將含夾角的運算轉化為己知模長的向量的運算.

二、填空題（將答案填在答題紙上）

13.長時間的低頭，對人的身體如頸椎、眼睛等會造成定的損害，為了了解某群體中“低頭族”

的比例，現從該群體包含老、中、青三個年齡段的a人中采用分層抽樣的方法抽取a人

進行調查，已知這a人里老、中、青三個年齡段的分配比例如圖所示，則這個群體里青年人

人數為

【答案】3

【解析】

【分析】

根據餅狀圖得到青年人的分配比例；利用總數乘以比例即可得到青年人的人數.

【詳解】由餅狀圖可知青年人的分配比例為：1一■

臼這個群體里青年人的人數為：I=1人

本題正確結果：3

【點睛】本題考查分層抽樣知識的應用，屬于基礎題.

14.若向量」一■,則EEJ與日夾角的余弦值等于—

【答案】3

【解析】

【分析】

利用坐標運算求得目；根據平面向量夾角公式可求得結果.

［詳解］

本題正確結果：田

【點睛】本題考查向量夾角的求解，明確向量夾角的余弦值等于向量的數量積除以兩向量模

長的乘積.

15.I■

【答案】3

【解析】

【分析】

將回寫成口，切化弦后，利用兩角和差余弦公式可將原式化為|x|,利用

二倍角公式可變為r^i，由IX■可化簡求得結果.

詳解

本題正確結果：3

【點睛】本題考查利用三角恒等變換公式進行化簡求值的問題，涉及到兩角和差余弦公式、

二倍角公式的應用.

16.已知數列0的首項a，r^i.若對任意

國，都有目恒成立，則臼的取值范圍是—

【答案】3

【解析】

【分析】

代入國求得可，利用遞推關系式可得r^i,從而可證得a和3均為等差

數列，利用等差數列通項公式可求得通項;根據恒成立不等式可得到不等式組:□

解不等式組求得結果.

1詳解】當日時，I內I,解得：?■

由IxI得：I■Ix|

E是以因為首項，目為公差的等差數列；3是以因為首項，目為公差的等差數列

\XI恒成立I,解得：日

即日的取值范圍為：叵I

本題正確結果：a

【點睛】本題考查根據數列的單調性求解參數范圍的問題，關鍵是能夠根據遞推關系式得到

奇數項和偶數項分別成等差數列，從而分別求得通項公式，進而根據所需的單調性得到不等

關系.

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數［.

（1）求自在區間3上的單調遞增區間；

（2）求目在叵］的值域.

【答案】⑴區|和區|.⑵□

【解析】

【分析】

（1）利用輔助角公式可將函數化簡為［x|；令

［■可求出S的單調遞增區間，截取在3上的部分

即可得到所求的單調遞增區間；（2）利用H的范圍可求得區|的范圍，對應正弦函數的圖

象可求得目的范圍，進而得到函數的值域.

［詳解］（1）「?

令I,解得：IXI

令國，可知叵］在區］上單調遞增

令國，可知叵］在S上單調遞增

-1在a上的單調遞增區間為：叵］和區I

（2）當國時，I—IIx|

即日在區）的值域為：□

【點睛】本題考查正弦型函數單調區間和值域的求解問題；解決此類問題的常用方法是采用

整體對應的方式，將目整體對應正弦函數的單調區間或整體所處的范圍，從而結合正弦

函數的知識可求得結果.

18.已知目為等邊角形，LnJ.點IHJ滿足InI，IxI,目

設r^~i.

日試用向量回和可表示目;

回若目,求a的值.

【答案】（1）?x?；［1］；（2）g.

【解析】

【分析】

（1）根據向量線性運算法則可直接求得結果；（2）根據（1）的結論將已知等式化為

［■:根據等邊三角形邊長和夾角可將等式變為關于

回的方程，解方程求得結果.

【詳解】（1）

(2)

日為等邊三角形且0[X]

即:,解得：

【點睛】本題考查平面向量線性運算、數量積運算的相關知識；關鍵是能夠將等式轉化為己

知模長和夾角的向量的數量積運算的形式，根據向量數量積的定義求得結果.

19.設目是正項等比數列□的前日項和，已知a,?】

（1）求數列s的通項公式；

（2）令【X],求數列叵]習前日項和日.

【答案】⑴回；（2）I1?

【解析】

【分析】

（1）設正項等比數列0的公比為目，當叵]時，可驗證出a,可知s；

根據[X1可構造方程求得目，進而根據等比數列通項公式可求得結果；（2）由（1）

可得3,采用錯位相減法即可求得結果.

【詳解】（1）設正項等比數列s的公比為目

當日時，r^i,解得：S，不合題意目

由mi得：「X】,又國

整理得：I—■，即Ix■，解得：a

(2)由(1)得:

…①

…②

①對②得:

IX■

【點睛】本題考查等比數列通項公式的求解、錯位相減法求解數列的前H項和；關鍵是能夠得

到數列的通項公式后，根據等差乘以等比的形式確定采用錯位相減法求得結果，對學生的計

算和求解能力有一定要求.

20.智能手機的出現，改變了我們的生活，同時也占用了我們大量的學習時間.某市教育機構從

a名手機使用者中隨機抽取a名，得到每天使用手機時間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖

（如圖所示），其分組是：1—I,1一■

穎率聞即

0.015

0.0125

0.01

出使/曲間份鐘

（1）根據頻率分布直方圖，估計這H名手機使用者中使用時間的中位數是多少分鐘？（精

確到整數）

（2）估計手機使用者平均每天使用手機多少分鐘？（同一組中的數據以這組數據所在區間中

點的值作代表）

（3）在抽取的國名手機使用者中在國和㈤中按比例分別抽取日人和百人組成研

究小組，然后再從研究小組中選出團名組長.求這日名組長分別選自國和S的概率

是多少？

【答案】⑴回分鐘.（2）58分鐘；⑶]

【解析】

【分析】

（1）根據中位數將頻率二等分可直接求得結果；（2）每組數據中間值與對應小矩形的面積乘

積的總和即為平均數；（3）采用列舉法分別列出所有基本事件和符合題意的基本事件，根據

古典概型概率公式求得結果.

【詳解】（1）設中位數為回，則■—一—

解得：目（分鐘）

臼這H名手機使用者中使用時間的中位數是0分鐘

（2）平均每天使用手機時間為：_____-~~=_■（分

鐘）

即手機使用者平均每天使用手機時間為H分鐘

（3）設在國內抽取的兩人分別為回，在國內抽取的三人分別為目，

則從五人中選出兩人共有以下四種情況：

兩名組長分別選自口和國的共有以下習種情況:

日所求概率國

【點睛】本題考查根據頻率分布直方圖計算平均數和中位數、古典概型概率問題的求解；關

鍵是能夠明確平均數和中位數的估算原理，從而計算得到結果；解決古典概型的常用方法為

列舉法，屬于常考題型.

21.如圖，在四邊形目中，已知目，三|

I)

B

(i)若目,且三］的面積為回，求日的面積:

（2）若,求a的最大值.

【答案】⑴s;(2)3

【解析】

【分析】

（1）根據可解出回，驗證出WI,從而求得所

求面積；（2）設IX1,在日中利用余弦定理構造關于a的方程;

在國中分別利用正余弦定理可得到日和日，代入可求得a；根據三角函數

最值可求得a的最大值，即可得到結果.

【詳解】（1）由得：目

J，即戶一|IXI

(2)設I-I

在日中，由正弦定理得:…①

由余弦定理得:…②

在日中，由余弦定理得:

將①②代入整理得:

，即叵］時，