第八節(jié)多元函數(shù)的極值第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三二元函數(shù)極值的定義一、多元函數(shù)的極值極值是局部特性第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三(1)(2)(3)例1函數(shù)處有極小值．在例２函數(shù)處有極大值．在處有極大值．在例３處無極值．在函數(shù)第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三回憶：一元函數(shù)極值的必要條件費(fèi)馬定理定義第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三多元函數(shù)取得極值的條件證第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三例4求函數(shù)的極值．解求得駐點(diǎn)，在點(diǎn)處第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三所以，在處函數(shù)沒有極值．在點(diǎn)處又所以，在處函數(shù)有極大值．且第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三解第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三但在（0,0）點(diǎn)取得極小值注：函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例綜上討論可知，函數(shù)的極值點(diǎn)的存在范圍：駐點(diǎn)、偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三二、有界閉區(qū)域上函數(shù)的最值對于該區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn),若恒有不等式則稱為函數(shù)在D內(nèi)的最大值最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.在平面區(qū)域內(nèi)有定義,設(shè)函數(shù)使函數(shù)取得最值的點(diǎn)(x0,y0)

稱為最值點(diǎn).則稱為函數(shù)在D內(nèi)的最小值最值是整體特性第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三求最值的一般方法：如何求連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值、最小值呢？如果f(x,y)在D上可微，可先求出函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)的一切駐點(diǎn)處的函數(shù)值及函數(shù)在區(qū)域邊界上的最大值與最小值.在這些函數(shù)值中的最大的就是函數(shù)在D上的最大值，最小的就是函數(shù)在D上的最小值.第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三解如圖,第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三解由第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三

在實(shí)際應(yīng)用中，若根據(jù)問題的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)部取到最值，而函數(shù)在D內(nèi)又只有唯一的駐點(diǎn)，則可判定函數(shù)在該駐點(diǎn)即取得最值.第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三例9某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2的有蓋長方體水箱，問長寬高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最?。看怂涞挠昧厦娣e解：設(shè)水箱的長為x,寬為y,則其高為第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三時(shí)，A取得最小值，根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開區(qū)域D(x>0,y>0)內(nèi)取得.又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)就是說，當(dāng)水箱的長、寬、高均為時(shí)，水箱所用的材料最省。第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三實(shí)例：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買張磁盤，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問題的實(shí)質(zhì)：求在條件下的極值點(diǎn)．二、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法1.條件極值第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三條件極值：對自變量有附加條件的極值．無條件極值：

對自變量除有定義域限制外，無任何其它條件限制的極值．第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三求如k=1,求如k=2,求下的極值。”條件極值在數(shù)學(xué)上的提法第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三

從理論上講，條件極值都可化為無條件極值求解.其思路是，將其轉(zhuǎn)化為無條件極值.但是當(dāng)條件為方程(組)給的隱函數(shù)時(shí)，轉(zhuǎn)化有困難，從而產(chǎn)生了下述方法——

Lagrange乘數(shù)法。

以下先分析Lagrange乘數(shù)法的原理，從

而得出條件極值的必要條件,然后講乘數(shù)法

的具體作法。2.拉格朗日乘數(shù)法第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三則應(yīng)有第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三于是問題轉(zhuǎn)化為求的無條件極值則而由方程兩邊求導(dǎo)，得第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三于是得到下的極值的必要條件第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三此結(jié)果相當(dāng)于一個(gè)三元函數(shù)：取得無條件極值的必要條件,函數(shù)，F(xiàn)

稱為Lagrange稱為乘數(shù)，稱為Lagrange乘數(shù)法.而把作為取條件極值的必要條件的方法第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三解則第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三解第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三可得即第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三例8截旋轉(zhuǎn)拋物面其截口是一個(gè)橢圓,求截口橢圓上的最高點(diǎn)和最底點(diǎn)。解求最高點(diǎn)和最底點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)是第41頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三但這個(gè)極值問題受限于兩個(gè)約束條件，是條件極值問題，設(shè)其Lagrange函數(shù)為利用條件極值取得極值的必要條件第42頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三令

從可知若矛盾

所以因而得到：