二次函數壓軸題(與圓有關)PAGEPAGE420．（2014?福建福州,第22題14分）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D.（1）求點A，B，D的坐標；（2）連接CD，過原點O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對稱軸交于點E，連接AE，AD.求證：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的點E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側的拋物線上有一動點P，過點P作⊙O的切線，切點為Q，當PQ的長最小時，求點P的坐標，并直接寫出點Q的坐標（3）若以BC為直徑的圓經過原點，求k．35.解：（1）∵二次函數y=﹣x2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過原點，∴﹣=2，0=0+0+c，∴b=4，c=0，∴y=﹣x2+4x．（2）如圖1，連接OB，OC，過點A作AE⊥y軸于E，過點B作BF⊥y軸于F，∵=，∴=，∴=，∵EB∥FC，∴==．∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C，∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，∴△=（k﹣4）2﹣4?4=k2﹣8k，∴x=，或x=，∵xB＜xC，∴EB=xB=，FC=xC=，∴4?=，解得k=9（交點不在y軸右邊，不符題意，舍去）或k=﹣1．∴k=﹣1．（3）∵∠BOC=90°，∴∠EOB+∠FOC=90°，∵∠EOB+∠EBO=90°，∴∠EBO=∠FOC，∵∠BEO=∠OFC=90°，∴△EBO∽△FOC，∴，∴EB?FC=EO?FO．∵xB=，xC=，且B、C過y=kx+4，∴yB=k?+4，yC=k?+4，∴EO=yB=k?+4，OF=﹣yC=﹣k?﹣4，∴?=（k?+4）?（﹣k?﹣4），整理得16k=﹣20，∴k=﹣．本題考查了函數圖象交點的性質、相似三角形性質、一元二次方程及圓的基本知識．題目特殊，貌似思路不難，但若思路不對，計算異常復雜，題目所折射出來的思想，考生應好好理解掌握．41．（2014?廣州,第24題14分）已知平面直角坐標系中兩定點A（-1，0），B（4，0），拋物線（）過點A、B，頂點為C．點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點．（1）求拋物線的解析式與頂點C的坐標．（2）當∠APB為鈍角時，求m的取值范圍．（3）若，當∠APB為直角時，將該拋物線向左或向右平移t（）個單位，點P、C移動后對應的點分別記為、，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、、所構成的多邊形的周長最短？若存在，求t值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由．51．（(2014年廣西南寧，第26題10分）在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k與直線y=kx+1交于A，B兩點，點A在點B的左側．（1）如圖1，當k=1時，直接寫出A，B兩點的坐標；（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2，拋物線y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點C、D兩點（點C在點D的左側），在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由．51.解：（1）當k=1時，拋物線解析式為y=x2﹣1，直線解析式為y=x+1．聯立兩個解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，當x=﹣1時，y=x+1=0；當x=2時，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）設P（x，x2﹣1）．如答圖2所示，過點P作PF∥y軸，交直線AB于點F，則F（x，x+1）．∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+當x=時，yP=x2﹣1=﹣．∴△ABP面積最大值為，此時點P坐標為（，﹣）．（3）設直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點E、F，則E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．假設存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，如答圖3所示，則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，根據圓周角定理，此時∠OQC=90°．設點N為OC中點，連接NQ，則NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．∴EN=OE﹣ON=﹣．∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴，即：，解得：k=±，∵k＞0，∴k=．∴存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°，此時k=．點評： 本題是二次函數壓軸題，綜合考查了二次函數及一次函數的圖象與性質、解方程、勾股定理、直線與圓的位置關系、相似等重要知識點，有一定的難度．第（2）問中，注意圖形面積的計算方法；第（3）問中，解題關鍵是理解“存在唯一一點Q，使得∠OQC=90°”的含義．52．（2014?黔南州，第26題12分）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，﹣1）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，3）．（1）求此拋物線的解析式 （2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為