二階變系數齊次微分方程0-畢業論文題目二階變系數齊次線性微分方程的若干解法院系濱江學院專業信息與計算科學學生姓名xxxXX學號xxxXX指導教師目錄摘要 3引言 31、用常數變易法求解二階變系數齊次微分方程的解 31.1已知方程的一個特解求通解 32、化為恰當方程通過降階法求解二階變系數齊次微分方程的解 52.1求滿足定理1的恰當方程的通解 52.2求滿足定理2的恰當方程的通解 63、化為riccait方程求二階變系數齊次線性微分方程的解 63.1若方程系數滿足情況 83.2若方程系數滿足情況 93.3若方程系數滿足情況 10結束語 11參考文獻 11二階變系數齊次線性微分方程的若干解法姓名xx大學xx專業，南京210044摘要：二階線性齊次微分方程無論是在微分方程理論上還是在應用上都占有重要位置。現在對于常系數的線性微分方程的解法研究已經比較完備。但對于變系數線性微分方程如何求解，卻沒有通用的方法，因此探求二階變系數微分方程的解法就很有必要。本文主要討論二階變系數齊次線性微分方程的解法問題，通過利用常數變易法，和系數在滿足特定條件下，化為恰當方程和riccati方程來求解二階變系數齊次微分方程的解法，直接通過具體例題解決具有滿足相同條件關系的二階變系數齊次微分方程的解，從而進一步加深對二階變系數齊次線性微分方程的解法的理解。關鍵詞：二階變系數齊次線性微分方程；常數變易法；降階法；恰當方程；riccati方程；通解；引言：盡管由于計算數學和計算技術的迅猛發展,通過電子計算機可以迅速而且比較準確地處理有關微分方程的求解問題。但是，在實際學習生活中對于一個常微分方程，不論從理論研究的角度，或從實際應用的角度看，都具有十分重要的地位。現在我們對于常系數線性微分方程的解法，已非常完備，但是對于理論比較完整的、有廣泛應用的線性變系數微分方程至今卻沒有一般的求解方法，因此二階變系數齊次微分方程的求解問題一直是人們感興趣的研究課題。本文對系數滿足特定條件的二階變系數微分方程，通過觀察其形式，巧妙利用常數變易法，化為恰當方程，和化為riccati方程來求解。主要針對不同類型的二階變系數方程用不同的方法實現解決部分滿足一定條件下的方程的解的目的。詣在通過具體例題的解法，解決系數滿足特定條件下的二階變系數齊次線性微分方程求解的問題，從而使我們能更進一步加深對二階變系數齊次微分方程解法的理解，以便適應在工程技術的實際領域或學生在學習相關專業中的需要。本文主要通過把方程轉化為我們所熟悉形式，來討論二階變系數齊次微分方程（1）的解，其中是關于的連續函數。1、用常數變易法求解二階變系數齊次微分方程的通解1.1已知方程一個特解求方程通解在我們課本上所學的關于求解二階常系數齊次線性微分方程，我們可以通過特征方程法求其線性無關的特解,然后再利用微分方程解的相關性質從而求得其通解,對于這個方法我們已經很熟悉了。那對于二階變系數齊次線性微分方程求解怎么進行？因為二階變系數齊線性微分方程由于其系數的變化不同,使用特征方程法就沒用,為此我們想到通過常數變易法，來討論二階變系數齊次線性微分方程（1）的解，具體思路如下:若已知為方程(1)的一個特解，則知(C為任意常數)是方程(1)的一般解，我們可以通過變易常數，設與方程(1)的解線性無關的解為,其中是待定的函數，將其代入方程(1)可以得到:（1.1

已知為方程(1)的一個特解,化簡可以得到:（1.2）觀察此方程是一個可降階的微分方程，則令可得：，利用變量分離得：（1.3）積分得：則：（1.4）所以，（1.5)例1若已知是二階變系數齊次線性微分方程的一個特解,求此二階變系數齊次微分方程的通解。解:已知一個特解，利用（1.5）的結論,得另一個線性無關的特解為: 所以原方程的通解為：y=(+)e其中（，為任意常數）。 例2求解，已知它的一個特解是，求其通解。解：，利用常數變易法，得到所求通解為：一般的若已知二階齊次線性微分方程的一個特解（對某些方程我們可通過觀察法或分析法快速確定），然后利用常數變易法設另外一個特解，代入原方程后就可得到一個可降階的微分方程，從而很簡便的求得二階變系數齊次微分方程的通解。2、化為恰當方程通過降階法求解二階變系數齊次微分方程的通解引入概念如果二階變系數齊次微分方程滿足以下條件1和條件2中的系數所限制的條件時，所能得到的方程就稱之為恰當方程。如何化為化為恰當方程通過降階法求解方程通解？我們的思路就是觀察二階變系數齊次線性微分方程的系數，把系數化成滿足恰當方程的系數形式，然后將轉化后的的系數形式帶入方程，然后利用變量代換，通過降階法，把方程變為我們所熟悉的一階方程積分求得方程的通解。2.1求滿足條件1的恰當方程的通解條件1二階變系數線性常微分方程(1),對于系數，若滿足（2.1.1）其中函數都是連續函數,則把此類方程為恰當方程。求方程的通解解：令則系數滿足定理1的條件則是恰當方程。將其帶入方程（1）就可以得到(2.1.2)將上式通過變形得：（2.1.3）基于換元法，令（2.1.4）則有：(2.1.5)解上面的方程(2.1.5)就得到：（2.1.6）把式(2.1.6)代入式(2.1.4)得（2.1.7）解得：即得方程的通解為：（2.1.8）（其中是任意的常數。）所以原方程的解為：即：（2.1.9）2.2求滿足條件2的恰當方程的通解條件2二階變系數線性常微分方程(1),對于系數若滿足(2.2.1)其中為一階導數連續的函數，則把此類方程稱為恰當方程。例2求方程的通解解：令，則可知：，系數滿足條件(2.2.1),將其代入方程(1)便得：(2.2.2)將上式兩端減掉整理便得到：于是進一步便得到：（2.2.3）解得：（其中，為任意常數。）若方程滿足條件2中的條件,且則方程(1)有通解為：其中，為任意常。(2.2.4)根據通解公式得出所求原方程的解為：其中，為任意常數。(2.2.5)將二階變系數齊次線性微分方程化為恰當方程，通過觀察系數之間的關系代入方程，利用變量代換法將方程降階來求解通解問題，使得問題變得簡單可行，這個方法對于滿足條件的二階變系數齊次方程適用性強，但是不具普遍性，而且對于相對復雜的系數我們也難一眼看出它們之間的關系，這對我們解決問題具有一定的局限性。3、將二階變系數微分方程化為riccati方程求解將二階變系數齊次線形微分方程化為riccati方程,主要是利用原有的riccati方程方程的通解結論，將方程通過換元法化為riccati方程，然后得出相關的結論，進而再求出通解，思路比較簡單。引入以下幾個結論：法國數學家劉維爾在（1841年)證明了著名的riccati方程一般來說不可積，文[4-5]均給出待定函數滿足定理條件時方程的通積分。引理1若系數滿足，則riccati方程可積且其通積分為引理2若系數滿足，則riccati方程可積且其通積分為3.1若方程系數滿足的情況例1求方程的通解解：基于換元法令，則將和代入原方程（其中是新的未知函數）即：經過化簡可得：（3.1.1）很顯然是方程（1.1）的解。所以可知：則：是關于的riccati方程。（3.1.2）可知，因為，即滿足上面的引理1的條件。所以關于的riccati方程的通積分為：(為任意常數)。（3.1.3）則（3.1.4）(其中，為任意常數。)解得：(其中，為任意常數。)。（3.1.5）當時,。所以原方程的通解為：(其中，為任意常數)。（3.1.6）3.2若方程系數滿足的情況例2求方程的通解解：基于換元法,則，將和代入原方程（其中是新的未知函數），化簡可得:（3.2.1）很顯然方程（2.1）的解。而即（3.2.2）是一個關于的riccati方程。因為,所以方程(3.2.2)可化為（3.2.3）因為,即上述方程滿足引理2的條件,所以關于的riccati方程的通積分為：(其中為任意常數。)（3.2.4）由此可得：（3.2.5）解得：（3.2.6）當時,,所以原方程的通解為(其中，為任意常數。)（3.2.7）3.3若方程系數滿足情況例3求方程的通解解：基于換元法，令,則，將和代入原方程（其中是新的未知函數），化簡可得：（3.3.1）顯然方程(1.1.1)的解。而（3.3.2）（3.3.3）是一個關于的riccati方程。因為,所以方程(3.3.3)可化為：（3.3.4）因為,即上述方程滿足引理2的條件,所以關于的riccati方程的通積分為：(其中為任意常數。)（3.3.5）由此得解得：當時,,所以原方程的通解為：(其中，為任意常數。)。（3.3.6）這種方法要求系數在滿足特定條件下，采用換元法進行運算，要求我們對系數關系有很好的把握，主要是利用已有結論求通解，方法簡單明了，但是對于如何化為riccati方程是解決此類題目的關鍵，這并不適用于每一個方程的求通解問題，但是這種方法能使我們對于二階變系數齊次線性微分的解法有了更深刻的理解。四、結束語本文主要討論二階變系數齊次線性微分方程的若干解法，求解在方程滿足特定條件下，巧妙地求解二階變系數齊次微分方程的通解。主要是通過常數變易法，化為恰當方程通過降階法，以及把二階變系數齊次線性微分方程轉為riccati方程求解，使得變系數齊次微分方程的解法變得有效可行。這幾種方法的使用，需要我們能夠準確把握題目中暗含的條件，從而對應的找到相應解決辦法，然后轉化為我們熟悉的方程形式來求解方程的解，使得二階變系數齊次微分方程解法變得更容易理解。本文提供的及幾種方法雖然可以解決不少二階變系數齊次微分方程，但卻不具普適性，對于很多的二階變系數方程的解法仍具有一定的局限性，仍需要大家今后不斷在這一課題上努力研究。在本文實際解題過程中也利用了解決方程問題常用的一些方法，常數變易法、換元法、降階法等讓我們對于這些方法的研究有了更廣泛運用和更深刻的理解，但還有很多的方法如初等函數法、積分法、向量法等，在此就不逐一討論了。【參考文獻】[1]曹友娣,劉玉彬。一類二階變系數微分方程的解[A].惠州學院學報(自然科學版)2010(3):6-30[2]楊萬順.二階變系數線性常微分方程的求解[M].濰坊學院學報,2011:10-61.[3]劉瓊.一類二階變系數微分方程的解[J].廣西右江民族師專學報,2002(6):18-20.[4]馮錄祥.一特殊類型Riccati方程的積分[J].石河子大學學報:自然科學版,1997(4):316-318.[5]龐建華.Riccati方程的一些新的可積條件[J].廣西工學院學報,2008(2):89-92.[6]顧建吾,張亭.二階變系數線性微分方程求解的幾點研究[A].南通職業大學學報,2010(2):60-07.[7]李姝菲,趙明.二階線性微分方程解的討論[J].吉林師范學院學報,1998(1):21-24.[8]王瑋.二階變系數線性微分方程的解[J].焦作大學學報:綜合版,1996(6):27-29.[9]李永利.桑改蓮一類二階變系數齊次微分方程通解的求法[J]-高等數學研究2006，9[10]袁相碗，徐洪義，包雪松，常微分方程[M].南京：南京大學出版社.1994.[11]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社severalsolutionsfortheSecondordervariablecoefficientandhomogeneouslinearofdifferentialequationFengXinNanjinginformationengineeringuniversityinstituteofbinjianginformationandcomputersciencemajor,nanjing210044Abstract:thesecondorderandhomogeneouslineardifferentialequationwhetherintheoryorintheapplicationofdifferentialequationareanimportantplace.Nowforalineardifferentialequationwithconstantcoefficientsofstudieshaverelativelycompletesolutions.Butforvariablecoefficientlineardifferentialequationhowtosolve,butthereisnouniversalway,sotosearchforsecondordervariablecoefficientofthedifferentialequationsolutionisverynecessary.Thispapermainlydiscussesthesecondorderhomogeneouslineardifferentialequationvariablecoefficientof