普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知均為R的子集，且々MqN,則MD(\N)=()

A.0B.MC.ND.R

2.在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1張，

則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為()

,1clr2

A.-B.—C.—D.一

6323

3.關(guān)于x的方程/+?+匕=0,有下列四個(gè)命題：甲：x=l是該方程的根；乙:x=3是

該方程的根；丙：該方程兩根之和為2；丁：該方程兩根異號(hào)..如只有一個(gè)假命題，則該命

題是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

22

IT

4橢圖'=1的隹占為ER上頂點(diǎn)為A，若鳥=Q，則機(jī)=

m-+lm

()

A.1B.y/2C.73D.2

5.已知單位向量滿足7B=o,若向量3=夜則sin〈〃,c〉=()

AYYc.旦

D.—

99

6.(l+x)2+(l+x)3+…+(l+x)9的展開式中/的系數(shù)是()

A.60B.80C.84D.120

7.已知拋物線y=2px上三點(diǎn)A(2,2),8,C,直線AB,AC是圓(x—2月+：/=1的兩條

切線，則直線的方程為()

A.%+2y+l=0B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

8.已知。<5且ae5=5e",b<4且。《4=4/，c<3且c、5=3e'，則()

A.c<h<aB,b<c<aC.a<c<bD.

a<b<c

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.已知函數(shù)/0)=xln(l+x),貝!!()

A.f(x)(0,+8)單調(diào)遞增

B.7(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

C.曲線y=/(x)在點(diǎn)卜一處切線斜率為一1—M2

D./(x)是偶函數(shù)

10.設(shè)4,z2,Z3為復(fù)數(shù)，AHO.下列命題中正確是()

A.若岡=閭，則Z2=±?3B.若平2=平3,則Z2=?3

C.若馬=23,則上囚二以國(guó)D.若Z]Z2=|zj2,則4=Z2

11.下圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中()

A.AE//CDB.CH//BEC.DGLBHD.

BG工DE

cos2x

12.設(shè)函數(shù)f(x)=---——,則()

2+sinxcosx

B.f(x)的最大值為g

A./(幻=/(%+萬(wàn))

C./(X)在(一?,o)單調(diào)遞增D.f(x)在(0,()單調(diào)遞減

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5,

則該圓臺(tái)的體積為.

14.若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率

分別為一，______.

15.寫出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)/（x）=

16.對(duì)一個(gè)物理量做〃次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后

結(jié)果的誤差~為使誤差￡“在（一0.5,0.5）的概率不小于0.9545,至少要測(cè)量

—次（若X~N3b2）,則P（|X-川＜2cr）=（）.9545））.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

17.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足a,.=2。,用+3%.

（1）證明：數(shù)列｛4+&+1｝為等比數(shù)列；

（2）若q=耳，4=；，求通項(xiàng)公式.

18.在四邊形ABC。中，AB//CD,AD=CD=BD=L

3

（1）若AB=—,求BC；

2

（2）若鉆=2BC,求cos/BDC.

19.一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2,3需要調(diào)整的概率分別為

0.1,0.2,0.3,各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立.

（1）求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率；

（2）記設(shè)備在一天運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

20.北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何研

究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2萬(wàn)與多面體在該點(diǎn)

的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂

點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.如：正四面體在每個(gè)頂

717C

點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是彳，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2萬(wàn)-3x—=乃，故其總

33

曲率為4乃.

(1)求四棱錐的總曲率；

(2)若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明：這類多面體的總曲率是常數(shù).

22

21.雙曲線C:=-2=l(a>0/>0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為尸，動(dòng)點(diǎn)5在。上.當(dāng)

arh~

BbLAF時(shí)，

(1)求C的離心率；

(2)若8在第一象限，證明：ZBFA=2ZBAF.

22.己知函數(shù)/(x)=e'-sinx-cosx,g(x)=e*+sinx+cosx.

5%

(1)證明：當(dāng)----時(shí)，f(x)..0；

4

(2)若g(x)..2+ox,求a.

參考答案

一二、選擇題

題號(hào)123456789101112

選項(xiàng)BCACBDBDACBCBCDAD

三、填空題

1

13.61乃.14.(1).-(2).-315./(x)=sin7ix.16.

32.

17、(1)由“〃+2-+可得：4+2+4+1=3a“+]+3a“=3(izn+l+a”)

因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)，所以卬+外＞。，

所以｛%+。,田｝是公比為3的等比數(shù)列.

(2)構(gòu)造a,.-3a/I=k(an+l-3an),整理得：an_2=(k+3)an+i-3kan

所以k=T，即an+2-3a?+I=-(??+I-3%)

所以a,m一3a“=0na,m=3a“，所以｛a“｝是以4=g為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

所以4==-(HGN+)

18、(1)在△ABD中，由余弦定理可得cosN48O=+BD二AD=》

2ABBD4

-,-CD//AB,.\ZBDC=ZABD,

在△BCD中，由余弦定理可得SC?=B￡)2+CO2—28￡rCDcosNBOC=L,BC=也;

22

(2)設(shè)BC=x,則A3=2x,

…cAB2+BD2-AD24X2

在△"￡)中，cos/ABD=---------------=----=x，

2ABBD4x

BD-+CD2-BC22-x2

在△BCD中，cosZ.BDC=---------------=-----，

2BDCD2

2-x2

由Q)可知，/BDC=ZABD,所以，cosZBDC=cosZABD,即^-=x,

2

整理可得％2+2x—2=0,因?yàn)椋?gt;0,解得x=6-l，

因此,cosZ.BDC=cosZ.ABD=x=>/3—1.

19、（1）設(shè)部件1需要調(diào)整為事件A,部件2需要調(diào)整為事件B,部件3需要調(diào)整為事件C,

由題意可知：P（A）=0.1,P（B）=0.2,P（C）=0.3.

部件1,2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率為：

1-［1-P（A）］［1-P（B）］=l-0.9x0.8=1-0.72=0.28.

（2）由題意可知X的取值為0,1,2,3.

且:P（X=0）=［1-P（A）］［1--P（C）］

=（l-0.1）x（l-0.2）x（l-0.3）=0.5（）4,

P（X=1）=P（A）口一P（8）］［1—P（C）［+［1—P（A）［P（3）［1—P（C）］

+［1-P（A）］［1-P（B）］P（C）

=0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x03

=0.398,

p（X=2）=P（A）P（B）［l-P（C）］+P（A）［1-P（B）］P（C）+［1-尸（A）］P（C）P（8）

=0.1x0.2x0.740.1x0.8x0.340.9x0.2x0.3

=0.092.

"（X=3）=尸（A）尸（B）尸（C）=O.lxO.2xO.3=O.OO6,

故X的分布列為：

X0123

尸（X）0.5040.3980.0920.006

其數(shù)學(xué)期望：E(X)=0.504x0+0.398x1+0.092x2+0.006x3=0.6.

20、(1)由題可知：四棱錐的總曲率等于四棱鍵各頂點(diǎn)的曲率之和.

p

可從整個(gè)多面體的角度考慮，所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集

合.由圖示可知：四棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形.

所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形組成，

則其總曲率為：2IX5-(4?+2;T)=4；T.

(2)設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為〃、I、m,所以有〃一/+機(jī)=2

設(shè)第i個(gè)面的棱數(shù)為毛，所以尤|+馬+…+%”,=2/

所以總曲率為：

-乃[(X1-2)+(W-2)+…+(七“-2)]

=24〃-〃(2/-2”2)

=2"(〃一/+m)=4萬(wàn)

所以這類多面體的總曲率是常數(shù).

(加

21、(1)設(shè)雙曲線的半焦距為C,則尸(c,0),Bc,±—,

Ia)

因?yàn)镮AS|=|B/71,故2=a+c,故c?—ac—2a2=0，即/—e—2=0,

a

故e=2.

(2)設(shè)8(%,%),其中%>a%>0.

因?yàn)閑=2,故c=2a,b-垂>a>

故漸近線方程為：y=±J3x,所以NBA/7e,Z.BFAef0,

又tanNBFA=--=——,tanNBAF=

九°一cx0-2a/+。

2%

所以tan2NBAF=i，=義式山2%(%+。)

所以J工］(%+4-尤

227

(x0+a)-/?1一4

\a7

2%(%+。)_2%(%+a)_2%

(.q+4)2_3。2鼻_](/+4)--3(片-叫(/+。)-3(/-。)

\a

=——=^=tanZBFA,

九0-2。

因?yàn)楣?NB”e(0,多，

故々￡4=244尸.

22、(1)分類討論：

①.當(dāng)xe(一弓,一？，/(x)=e'-行sin[x+?J>0；

②.當(dāng)時(shí)，f(-^)=ex-cosx+sinx,f(0)=0,

/"(x)=ex+sinx+cosx=ex+0sin(x+?)>0,

則函數(shù)/'(x)在卜0)上單調(diào)增，則/'(x)</'⑼=0，

則函數(shù)〃x)在(一7,0)上單調(diào)減，則〃力>/(0)=0；

I4J

③.當(dāng)x=0時(shí)，由函數(shù)的解析式可知/(0)=1-0—1=0,

當(dāng)xe[0,+w)時(shí)，令"(x)