第十二章概率與統計第一部分三年高考薈萃2010年高考題

一、選擇題

23

1.(2010遼寧理)(3)兩個實習生每人加工一個零件.加工為一等品的概率分別為一和二，

34

兩個零件是否加工為?等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為

(A)-(B)—(C)-(D)-

21246

【答案】B

【命題立意】本題考查了相互獨立事件同時發生的概率，考查了有關概率的計算問題

【解析】記兩個零件中恰好有一個一等品的事件為A,則

P(A)=P(A)+P(A)=—X—+—X—=—

2343412

2.(2010江西理)11.一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王

懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在

5箱中各任意抽查兩枚。國王用方法一、二能發現至少一枚劣幣的概率分別為P1和。2,則

A.Pi=p?B.p]<p2C.p,>p2Do以上三種情況都有可能

【答案】B

【解析】考查不放回的抽球、重點考查二項分布的概率。本題是北師大版新課標的課堂作業，

作為舊大綱的最后一年高考，本題給出一個強烈的導向信號。方法一：每箱的選中的概率為

1

10

，總概率為1一。；)(0.1)°(0.9-；同理，方法二：每箱的選中的概率為:，總事件的概率為

1—C；g)°(q)5,作差得P1〈P2。

3.(2010安徽文)(10)甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙從該正方形

四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是

(A)—(A)—(A)—(A)—

18181818

【答案】C

【解析】正方形四個頂點可以確定6條直線，甲乙各自任選一條共有36個基本事件。兩條

直線相互垂直的情況有5種(4組鄰邊和對角線)包括10個基本事件，所以概率等于.

【方法技巧】對于幾何中的概率問題，關鍵是正確作出幾何圖形，分類得出基本事件數，然

后得所求事件保護的基本事件數，進而利用概率公式求概率.

4.（2010北京文）⑶從｛1,2,3,4,5｝中隨機選取一個數為a,從｛1,2,3｝中隨機選取一個數為

b,則b>a的概率是

4321

（A）-（B）-（C）-（D）-

5555

【答案】D

5.（2010廣東理）8.為了迎接2010年廣州亞運會，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序

不固定，每個彩燈彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮

的顏色各不相同.記這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅

有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒。如果要實現所有不同的閃爍，那么

需要的時間至少是（）

A、1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒

【答案】C

每次閃爍時間5秒，共5X120=600s,每兩次閃爍之間的間隔為5s,共5X（120T）=595s.總

共就有600+595=1195s.

6.（2010湖北理）4.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事

件A,“骰子向上的點數是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發生的概率是

“51「7r3

A——nB-C—D-

122124

4.【答案】C

【解析】用間接法考慮，事件A、B一個都不發生概率為RN電

則所求概率故C正確

二、填空題

1.（2010上海文）10.從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機抽取2張，則“抽出的2張

均為紅桃”的概率為L結果用最簡分數表示）。

【答案】-

51

C23

解析：考查等可能事件概率“抽出的2張均為紅桃”的概率為苫

Cl51

2.（2010湖南文）11.在區間［T,2］上隨即取一個數x,則xG［0,1］的概率為o.

【答案】-

3

【命題意圖】本題考察幾何概率，屬容易題。

3.（2010遼寧文）（13）三張卡片上分別寫上字母E、E、B,將三張卡片隨機地排成一行，

恰好排成英文單詞BEE的概率為。

【答案】-

3

解析：題中三張卡片隨機地排成一行，共有三種情況：BEE,EBE,EEB,

.?.概率為：L

3

4.（2010重慶文）（14）加工某一零件需經過三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分

別為」-、—>，，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為.

706968

解析：加工出來的零件的次品的對立事件為零件是正品，山對立事件公式得

加工出來的零件的次品率p=1----x—x————

70696870

5.（2010重慶理）（13）某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多

命中一次的概率為竺，則該隊員每次罰球的命中率為.

25―

解析：由1—p2=3得之

255

6.（2010湖北文）13.一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9.則服用這咱新藥的4

個病人中至少3人被治愈的概率為（用數字作答）。

【答案】0.9744

【解析】分情況討論:若共有3人被治愈，則［=《（0.9）〃（1-0.9）=0.2916；

若共有4人被治愈，則鳥=（0.9）4=0.6561,故至少有3人被治愈概率/>=片+6=0.9744

7.（2010湖南理）11.在區間【一1，2］上隨機取一個數x,貝的概率為

t答窠】,

1-(-1)_2,

【解析】（）

Plx|?l2-(-1)~3

【命題意圖】本題考察幾何概率，尾容易題.“

8.（2010湖南理）9.已知一種材料的最佳入量在110g到210g之間。若用0.618法安排實

驗，則第一次試點的加入量可以是g

【答案】17L8或148.2"

【解析】根據0.618法，第T欠試點加入量為~

110+(210-110)xO.618=171.8^

或210-(210-110)x0.618=148.2~

【命題意圖】本題考察優選法的0.618法，蜃容易題."

9.（2010安徽理）15、甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個

白球和3個黑球。先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以4,4和A?表示由甲罐取出

的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取HT一球，以8表示由乙罐取出的球是

紅球的事件，則下列結論中正確的是（寫出所有正確結論的編號）。

25

①P（8）=w；②P（BIAj=［；③事件8與事件4相互獨立；

④4，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤尸（8）的值不能確定，因為它與4,4,A；,中哪一個發

生有關

【答案】②④

【解析】易見4,42,4是兩兩互斥的事件，而

5524349

P（8）=P（8IA）+P（8I4）+P（6IAj=—x—+—x—+—x—=二。

‘"'''3710111011101122

【方法總結】本題是概率的綜合問題，掌握基本概念，及條件概率的基本運算是解決問題的

關鍵.本題在4出人是兩兩互斥的事件，把事件B的概率進行轉化

P（B）=P（BIAJ+P（BI4）+尸（BI4）,可知事件B的概率是確定的.

10.（2010湖北理）14.某射手射擊所得環數自的分布列如下：

178910

pX0.10.3y

已知己的期望E&=8.9,則y的值為.

【答案】0.4

【解析】由表格可知：x+0.1+0.3+y=9,7x+8x0.1+9x0.3+10xy=8.9

聯合解得y=0.4.

11.（2010福建理）13.某次知識競賽規則如下:在主辦方預設的5個問題中，選手若能連

續正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪。假設某選手正確回答每個問題的概率都

是0.8,且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了

4個問題就晉級下一輪的概率等于。

【答案】0.128

【解析】由題意知，所求概率為C；?0.82.0.2'=0.128。

【命題意圖】本題考查獨立重復試驗的概率，考查基礎知識的同

時，進一步考查同學們的分析問題、解決問題的能力。

12.（2010江蘇卷）3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球,

若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是―,

【解析】考查古典概型知識。?=2=1

62

三、解答題

1.（2010浙江理）19.（本題滿分14分）如圖，一個小球從材處投入，通過管道自上而下落

力或8或a已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的.某商家按上述投球

方式進行促銷活動，若投入的小球落到A,B,C,則分別設為1,2,3等獎.

（I）已知獲得1,2,3等獎的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨變量彳為獲得

kg,2,3）等獎的折扣率，求隨機變量€的分布列及期望；

（II）若有3人次（投入1球為1人次）參加促銷活動，記隨機變量〃為獲得1等獎或2

等獎的人次，求尸（〃=2）.

解析：本題主要考察隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數學期望、：項分布等概念，同

時考查抽象概括、運算求解能力和應用意識。

（I）解：山題意得&的分布列為

€50%70%90%

337

P

16816

3373

則E;二—X50%+—X70%+—90%=一.

168164

（II）解：由（I）可知，獲得1等獎或2等獎的概率為33+'3=二9.

16816

9

由題意得n?（3,—）

16

則P（n=2）=C；（―）2（1--

316164096

2.（2010全國卷2理）（20）（本小題滿分12分）

如圖，由"到”的電路中有4個元件，分別標為彳，①，刀，T\,電流能通過K,汽

久的概率都是0,電流能通過7；的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨立.已知7；,刃,

支中至少有?個能通過電流的概率為0.999.

（I）求P;

（II）求電流能在M與"之間通過的概率；

（III）自表示九%￡,北中能通過電流的元件個數，求J的期望.

【命題意圖】本試題主要考查獨立事件的概率、對立事件的概率、互斥事件的概率及數學期

望，考查分類討論的思想方法及考生分析問題、解決問題的能力.

【參考答案】

記A表示事件：電流能通過工，i=1.2,3.4.

4表示事件：工.Tit7；中至少有一個能通過電流，

8表示事件：電流能在M與N之間通過.

（1,4=A,4，A相互獨立.

代辦=產（天?4?A）=p（不）p（z）p（不）=（1-py,

又P（A）=1-P（A）?1-0.999=0.001.

故（1-pP=0.001,p=0.9.????

=,,'

（II）fiX<+X<A|Aj+A4,A|XI'Aj?

「（仍二產小+無劣人+無不小人）

H/W+P（AA4）+P（AA4A）

=P（4）+P（%）P（A）P（A）+P（2"（不P（4）P（A）

H0.9+0.】x0.9X0.9+0.1X0.IX0.9x0.9

=0.9891.…

（Ill）由于電流能通過各元件的概率都是0.9.且電流能否通過各元件相互獨工

故J~8（409）,

E^?4x0.9=3.6........

【點評】概率與統計也是每年的必考題，但對考試難度有逐年加強的趨勢，-經由原來解答

題的前3題的位置逐漸后移到第20題的位置，對考生分析問題的能力要求有所加強，這應

引起高度重視.

3.（2010全國卷2文）（20）（本小題滿分12分）

如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標為T|,T2,T3,T4,電源能通過T1,

T2,T3的概率都是P，電源能通過T4的概率是0?以電源能否通過各元件相互獨立。已知

T,,T2,T3中至少有一個能通過

電流的概率為0.999o

（I）求P；

（II）求電流能在M與N之間通

過的概率。

【解析】本題考查了概率中的互斥事件、對立事件及獨立事件的概率,

（1）設出基本事件，將要求事件用基本事件的來表示，將Tl,T2,T3至少有一個能通過

電流用基本事件表示并求出概率即可求得P。

（2）將MN之間能通過電流用基本事件表示出來，由互斥事件與獨立事件的概率求得。

4.（2010江西理）18.（本小題滿分12分）

某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經過一扇智能門。首次到達此門，系統會隨機（即

等可能）為你打開一個通道，若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2號、3號通道,

則分別需要2小時、3小時返回智能門。再次到達智能門時，系統會隨機打開個你本到過

的通道，直至走完迷宮為止。令4表示走出迷宮所需的時間。

（1）求J的分布列:

（2）求J的數學期望。

【解析】考查數學知識的實際背景，重點考查相互獨立事件的概率乘法公式計算事件的概率、

隨機事件的數學特征和對思維能力、運算能力、實踐能力的考查。

（1）必須要走到1號門才能走出，自可能的取值為1,3,4,6

Pe=D=gP(^=3)=lxl=lp(^=4)=-xi=l

326326

（2）石4=1乂1+3乂,+4*,+6乂2=2小時

36632

5.（2010重慶文）（17）（本小題滿分13分，（I）小問6分，（H）小問7分.）

在甲、乙等6個單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動中，每個單位的節目集中安排

在一起.若采用抽簽的方式隨機確定各單位的演出順序（序號為1,2,……，6）,求：

（I）甲、乙兩單位的演出序號均為偶數的概率;

（II）甲、乙兩單位的演出序號不相鄰的概率.

解:考慮甲、乙兩個單位的排列.

甲、乙兩單位可能排列在6個位置中的任兩個.才A：=30種等可能的結果.

(I)設4表示“甲、乙的演出序號均為偶數”，

RU包含的結果彳fA；=6種，

故所求概率為P⑷=&=/.

(II)設“表示“甲、乙兩單位的演出序號不相鄰”，

則B表示甲、乙兩單位序號相鄰，S包含的結果有5*2!=10種.

從而

P(B)-I-P(/?)?I-^=f.

6.(2010北京理)67)體小題共13分)

4

某同學參加3門課程的考試。假設該同學第?門課程取得優秀成績的概率為g,第二、

第三門課程取得優秀成績的概率分別為p,q(p>q),且不同課程是否取得優秀成績相

互獨立。記&為該生取得優秀成績的課程數，其分布列為

0123

624

Pad

125125

(I)求該生至少有1門課程取得優秀成績的概率;

(11)求0,q的值；

(III)求數學期望E€。

解：事件A,表示“該生第i門課程取得優秀成績”，i=l,2,3,由題意知

4

P(A)=->P(A2)=p,P(4)=q

(I)由于事件“該生至少有1門課程取得優秀成績”與事件“J=0”是對立的，所以

該生至少有1門課程取得優秀成績的概率是

1-Pi=1*119

125

(II)由題意知

------16

P?=0)=P(AlA2A3)=-(l-p)(l-^)=—

424

P^=3)=P(A]A2A.)=-Pq=—

整理得pq=,p+q=1

32

由p>q,可得p=《，Q=~?

(III)由題意知a=P^=l)=P(A*)+尸(4&4)+P(無可&)

411

二1(i-p)(i-q)+《p(i-q)+二(i-p)q

37

-125

b=p(g=2)=i_pe=o)_pc=i)_pe=3)

58

125

Ej=0xPC=0)+lxP(g=l)+2PG=2)+3P4=3)

9

5

7.(2010四川理)(17)(本小題滿分12分)某種有獎銷售的飲料,瓶蓋內印有“獎勵一瓶”

或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎，中獎概率為!.

甲、乙、丙三位同學每人購買了一瓶該飲料。

(I)求甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率；

(II)求中獎人數§的分布列及數學期望

解：(1)設甲、乙、丙中獎的事件分別為爾B、C,那么

P(4)=P(而二?(。J

6

AABC)=A/)A5)AC)=1(f)2

66zlo

答：甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率為余............................6分

210

(2)f的可能值為0,1,2,3

P(f〃)=C：(>"(|產(上0,1,2,3)

所以中獎人數f的分布列為

0123

1252551

P

2167272216

17575S11

—+1X—+2X—+3X—....................................................................................12分

21672722162

8.(2010天津理)(18).(本小題滿分12分)

2

某射手每次射擊擊中目標的概率是一，且各次射擊的結果互不影響。

3

(I)假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率

(n)假設這名射手射擊5次，求有3次連續擊中目標。另外2次未擊中目標的概率；

(HI)假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射

擊中，若有2次連續擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3

分，記J為射手射擊3次后的總的分數，求J的分布列。

【解析】本小題主要考查二項分布及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件

和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分。

(1)解：設X為射手在5次射擊中擊中目標的次數，在5次射擊中，恰

有2次擊中H標的概率

22

2

P(X=2)=c5x

(II)解：設“第，次射擊擊中目標”為事件4a=1,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中,

有3次連續擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件A,則

P(A)=P(AlA2A,A4A5)+P(AlA2A,A4A5)+P^A.A.A^)

33

8

81

(HI)解：由題意可知，g的所有可能取值為0,1,2,3,6

P?=0)=嗚*)=[m$

p(g=i)=P(a可4)+尸(不A仄)+p"耳4)

2(\pix^xijn2

=-xx

313333⑶lr9

—2124

^=2)=P(A^)=-x-xr-

P4=3)=P(AA2A3)+P(A44)

P6=6)=p(44a)=電吟

所以4的分布列是

<)123[6

I2--I￡'J

WQ2727?27

9.（2010廣東文）17.（本小題滿分12分）

某電視臺在一次對收看文藝節目和新聞節目觀眾的抽樣調查中，隨機抽取了100名電視觀

眾，相關的數據如下表所示：

文藝節目新聞節目總計

20至40歲401858

大于40歲152742

總計5545100

(1)由表中數據直觀分析，收看新聞節目的觀眾是否與年齡有關？

(2)用分層抽樣方法在收看新聞節目的觀眾中隨機抽取5名，大于

40歲的觀眾瓦該抽取幾名？

(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為

20至40歲的概率.

解：(1)有關，收看新聞節目多為年齡大的.

(2)應抽取的人數為：5x4=3(人)

45

(3)由(2)知，抽取的5名觀眾中，有2名觀眾年齡處于20至

40歲，3名觀眾的年齡大于40歲。

所求概率產=婆=3

5

10.(2010福建文)18.(本小題滿分12分)

設平頂向量a,“=(m,1),bn=(2,n),其中m,ne{1,2,3,4).

(1)請列出有序數組(m,n)的所有可能結果；

(II)記“使得品，成立的(m,n)”為事件A,求事件A發生的概率。

18.本小題主要專查概率、？函電■等基礎如i兒考育運算求解能小心?川意i凡多杳化歸

與轉化思想、必為與或然思想第分12分.

解：⑴有序數綱,nirn)的所有可能結果為:

(1.1),(1.2),T1.3),(1.4),(2,1).(2.2).(2,3),(2,4).(3.1),

(3,2),(3.3》.(3.4).<4.1),(4.2).(4.3).<4,4)共16個.

(II)由411t±(a?-b?)得，/—2m+l—n=0.

即〃=(〃7—1廠.

[liJ1.2.3.41，故事件A包含的基本事件為<2,1>和(3.4),共2個.

又基本事件的總數為16,故所求的概”為尸(㈤=a2=:1

11.(2010全國卷1理)(18)(本小題滿分12分)

投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審.若能通過兩位初審專家的評審，

則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評

審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄

用.設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5,復審的稿件能通過評審的概率為0.3.

各專家獨立評審.

(I)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；

(II)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數，求X的分布列及期望.

分析：本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨立事件、相互獨立試驗、分布列、數學期望等知識,以及運用概翁

知識解決實際問題的能力，考查分類與整合思想、化歸與轉化思想.

解：(D令事件4,4分別表示：“能通過兩位初審專家的評審”，事件B："能通過復審專家的評審"事件c：“投

到該雜志的1篇稿件稿件被錄用”.則RQ=P(44)+P(4?豆+4/AH均=(0.5)2+?(0.5)203=0.4.

(II)由題意X的所有可能取值分別為0,1,2,3,4,且'~3(4,0.4)

E{X=0)=(1-0.4)4=0.1296,E(X=1)=e0.4-Q-0.4)3=0.3456,E(X=2)=C^O.42-Q-0.4)2=0.0.3456

E(X=3)=C^0.43■(1-0.4)=0.1536,E(X=4)=0.44=0.0256分布列(略)

期望睞=4?0.4=1.6,卜

12.(2010四川文)(17)(本小題滿分12分)

某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內

印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎，中獎概率為!.甲、乙、丙三位同學每人購買了一瓶該飲

料。

(I)求三位同學都沒有中獎的概率；

(II)求三位同學中至少有兩位沒有中獎的概率.

(行)學示逅主要考2E相互獨立事件、互斥事件等攝率計算，考查運用所學知識與方法解決實際問

腮的能力.

解：(1)設甲、乙、丙中獎的事件分別為，4、8?挪么

P(A)=P(B)=P(C)=7-.

6

P(A-B-C)=/?(J)P(i)P(G)=囹=懸.

答:三位同學都沒有中獎的概率是盤.......................................(6分)

(II)1-P(A?￡f-C+4-B-C+/4-fi-C+4?B*C)

答:三位同學中至少有兩位沒有中獎的概率為符.............................⑴分)

13.(2010山東理)

（20）（本小題滿分12分）

某學校舉行知識競賽,第一輪耀我設有A.B,C,D四個問題，規則如下:

①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題Q分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一

題減2分；

②每回答一題，計分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或

等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局，

當累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足14分時，答

題結束，淘汰出局；

③每位舂加者按問題順序作答，直至答題結束.

假設甲同學對問題A,B.C,D回答正確的概率依次為三，上，，士，且各題回答正確與否相互之間沒有彩響.

4234

（I）求甲同學能進入下一輪的概率；

（II）用《表示甲同學本輪答題結束時答題的個數，求自的分布列和數學的電.

【解析】（I）因為甲同學能進入下一輪與淘汰出局互為時立事件，所以甲同學能進入下一輪的概率為1-

,11112312、13

4242342324

(II)4可能取2,3,4,則

p^3l23lllll10

P(^=2)=-x-=(3)=xx+xx+xx=

42842342342324

P(^=4)=3xlx2+lxlx23xlxl=ll

“42342342324

所以J的分布列為

g234

1011

p?

82424

數學期望用=2X'+3XW+4XU=W。

824243

【命題意圖】本題考查了相互獨立事件同時發生的概率、考查了離散型隨機變量的分布列以

及數學期望的知識，考查了同學們利用所學知識解決實際問題的能力。

14.（2010福建理）

三、解答題：

16.(本小題湎分13分)

設S是不等式-—x-6工0的解集，整數w,%eS.

(1)記使得“冽+萬=0成立的有序數組(也⑷”為事件A,試列舉A包含的基本事件；

(2)設f=活2,求f的分布颯縣數學期望

【命題意圖】本小題主要考查概率與統計、不等式等基礎知識，考查運算求解能力、應用意

識，考查分類與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉化思想.

【解析】⑴由/-x-6W0得一2VxV3,§PS=(x|-2<x<3},

由于整數wjeS且修+閥=0,所以A包含的基本事件為

(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).

(2)由于m的所有不同取值為-2,-1,0,1,2,3,所以J=制之的所有不同取值為0,1,4,9,

121211

且有P(f=0尸I，P(^=l)=~~~?P(^=4)=--->P(^=9)=

663636

故J的分布列為

40149

pj_

6336

所以EJ=OXL+1X1+4X1+9xl=—0

63366

15.(2010江蘇卷)22.本小題滿分10分)

某工廠生產甲、乙兩種產品，甲產品的一等品率為80%,二等品率為20%乙產品的一等品

率為90%,二等品率為10%。生產1件甲產品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品

則虧損1萬元；生產1件乙產品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元。

設生產各種產品相互獨立。

(1)記X(單位：萬元)為生產1件甲產品和1件乙產品可獲得的總利潤，求X的分布列;

(2)求生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率。

［解析］本題主要考查概率的有關知識，考查運算求解能力。滿分10分。

解：(1)山題設知，X的可能取值為10,5,2,-3,且

P(X=10)=0.8X0.9=0.72,P(X=5)=0.2X0.9=0.18,

P(X=2)=0.8X0.1=0.08,P(X=-3)=0.2X0.1=0.02,

由此得X的分布列為:

X1052-3

P0.720.180.080.02

（2）設生產的4件甲產品中一等品有〃件，則二等品有4-〃件。

14

由題設知4〃—（4—〃）210,解得〃2二，

又得”=3,或〃=4。

所求概率為P=C：x0.83x0.2+0.84=0.8192

答：生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192。

2009年高考題

一、選擇題

jrY|

1.（09山東11）在區間［一1,1］上隨機取一個數x,cos々-的值介于0到/之間的概率

為（）

TTY\

【解析】在區間［T,1］上隨機取一個數X,即時,要使cos——的值介于0到一

22

之間，需使一工4絲4一巳或工4衛4工.I—14x4-2或區間長度為

22332233

2

一2,由幾何概型知COST—tX的值介于0到1一之間的概率為Q會=1一.故選A.

32223

答案A

2.（09山東文）在區間［-2,2］上隨機取一個數x,cosx的值介于0到,之間的概

222

率為（）.

【解析】在區間［一工，工］上隨機取一個數X,即XG［-工，々時，要使COSX的值介于0

2222

I'JiTTJiTTH

到一之間，需使-一<%<-一或一4犬4一，區間長度為一，由幾何概型知cosX的值

223323

7t

介于0到-之間的概率為旦=L故選A.

2n3

答案A

3.（09安徽卷理）考察正方體6個面的中心，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙

也從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等

于

123,4

A.—B.—C.—D.—

75757575

【解析】如圖，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這

6個點中任意選兩個點連成直線，共有C；?C；=15x15=225

種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有

AC//DB,ADUCB,AE//BF,AFIIBE,CE//FD,CF〃ED

1?4

共12對，所以所求概率為p=*=:，選D

22575

答案D

4.（2009安徽卷文）考察正方體6個面的中心，從中任意選3個點連成三角形，再把剩下

的3個點也連成三角形，則所得的兩個三角形全等的概率等于（）

A.1B.1C.1D.0

23

【解析】依據正方體各中心對稱性可判斷等邊三角形有個.由正方體各中心的對稱性

可得任取三個點必構成等邊三角形，故概率為1,選A。

答案A

5、（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁4個足球隊參加比賽，假設每場比賽各隊取勝的概率

相等，現任意將這4個隊分成兩個組（每組兩個隊）進行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇

的概率為（）

C2c2

【解析】所有可能的比賽分組情況共有4x12=12種，甲乙相遇的分組情況恰好有6

2!

種，故選。.

答案D

6.（2009江西卷理）為了慶祝六一兒童節，某食品廠制作了3種不同的精美卡片，每袋食

品隨機裝入一張卡片，集齊3種卡片可獲獎，現購買該種食品5袋，能獲獎的概率為（）

“31「33人八50

A.—B.—C.D.—

818181

【解析】?=35（3?3）一竺

3581

答案D

7.（2009四川卷文）設矩形的長為。，寬為6,其比滿足b:。=好二。0.618,這種

2

矩形給人以美感，稱為黃金矩形。黃金矩形常應用于工藝品設計中。下面是某工藝品廠隨

機抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：

甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639

乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620

根據上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數，與標準值0.618比較，正確結論

是（）

A.甲批次的總體平均數與標準值更接近

B.乙批次的總體平均數與標準值更接近

C.兩個批次總體平均數與標準值接近程度相同

D.兩個批次總體平均數與標準