5-5-2.帶余除法（二）教學目標能夠根據除法性質調整余數進行解題能夠利用余數性質進行相應估算學會多位數的除法計算根據簡單操作進行找規律計算知識點撥帶余除法的定義及性質1、定義：一般地，如果a是整數，b是整數（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：r0ab整除，qab的商或完全商r0aba除以b:如圖這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除數，現在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數的角色，經過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數。這個圖能夠讓學生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關系。并且可以看出余數一定要比除數小。2、余數的性質⑴被除數除數商余數；除數（被除數余數）商；商（被除數余數）除數；⑵余數小于除數．第1頁，共8頁3、解題關鍵得簡單了．

例題精講模塊一、帶余除法的估算問題【例1】修改31743的某一個數字，可以得到823的倍數。問修改后的這個數是幾？【考點】帶余除法的估算問題【難度】3星【題型】解答82331743÷823=38……46，于31743823469(823-469=)354數比原來大354或354+823n也是滿足題意的改動．有n=1354+823：1177n=2時，354+823×2=20002333743823的倍數．【答案】33743【例2】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人．如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠．如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠．問：第二組有多少人?【考點】帶余除法的估算問題 【難度3星 【題型】解答【關鍵詞】小學數學夏令營【解析】由484124859.6知，一組是1011人．同理可知4831648412知，二組是13、141551510人．【答案】10【例3】一個兩位數除以13的商是6，除以11所得的余數是6，求這個兩位數．【考點】帶余除法的估算問題 【難度3星 【題型】解答136，所以這個兩位數一定大于13678，并且小于13(61)91；11678111，這個兩位數為78583．【答案】83【例4】在小于1000的自然數中，分別除以18及33所得余數相同的數有多少個?(余數可以為0)【考點】帶余除法的估算問題 【難度3星 【題型】解答【解析】我們知道18，33的最小公倍數為[18，33]=198，所以每198個數一次．第2頁，共8頁PAGE38頁1～1981，2，3，…，17，198(0)181833所得的余數相同，999÷198=5……95×18+9=99個這樣的數．【答案】99569的余數．現知這三余數的和是1518的余數．【考點】帶余除法的估算問題 【難度3星 【題型】解答【關鍵詞】圣彼得堡數學奧林匹克【解析】除以3、6和9的余數分別不超過2，5，8，所以這三個余數的和永遠不超過25815，既然它1[3,6,9]18設該數為a，則a1m1，即a18(m1)17（m為非零自然數，所以它除以18的余數只能為17．【答案】17模塊二、多位數的余數問題【例6】

222 2除以2000222 2除以

13所得余數是 .【考點】多位數的余數問題 【難度3星 【題型】填空【解析】方法一、我們發現222222整除13，2000÷6余2，所以答案為22÷13余9。方法二、因為1001是13的倍數222222=2221001，所以每6個2能整除13，那么2000個2中6個一組可以分為333組余2，所以答案為22÷13余9【答案】96666

667的余數是多少？1995個6【考點】多位數的余數問題 【難度3星 【題型】解答1，【解析】方法一：因為7|666666，所以連續6個6為一個周期．又因19956332 3，而6667951，故符合題意的余數是1．方法二：利用余數判別法⑹，因為連續6個6奇數節和偶數節的各位數字和抵消，而19956332 3，且666795 1，故符合題意的余數是1．【答案】1【例7】77777除以41的余數是多少？1996個7【考點】多位數的余數問題 【難度4星 【題型】解答741□77741□3677741□39777741□28，7777741□0所以77777是41的倍數，而19965399 1，所以77777可以分成1996個7399段77777和1個7組成，那么它除以41的余數為7．【答案】7【例8】已知a20082008 2008，問：a除以13所得的余數是多少？2008個2008【考點】多位數的余數問題 【難度4星 【題型】解答【關鍵詞】學而思杯，5年級，第3題【解析】20××136，10000133，注意到200820082008100002008；20082008200820082008100002008；2008200820082008200820082008100002008；根據這樣的遞推規律求出余數的變化規律：20××20××13余6361311，813余1136390813的倍數．而2008除31，所以a

2008除以13的余數與2008除以13的余數相同，為6.【答案】6

2008個2008模塊三、找規律計算【例9】5小時做一次記錄。做第十二次記錄時，掛鐘的時針恰好指向9?【考點】找規律計算 【難度3星 【題型】填空【關鍵詞】華杯賽，初賽，第15題【解析】從第一次記錄到第十二次記錄，相隔十一次，共5×11＝55(小時)。時針轉一圈是12小時，55除以12余數是7，9－7＝2答：時針指向2。【答案】2【例10】一筐蘋果分成小盒包裝，每盒裝3只，剩2只；每盒裝5只，剩3只。每盒裝6只，剩 只。【考點】找規律計算 【難度3星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第3題，8分【解析】除以5余3的數從小到大為3、8、13、18，其中8322，所以除以3余2，除以5余3的數從小到大排列為823、38、53、，其中8612236352只或者5只。【答案】2或511、、、、、、、21……3所得的余數為多少？【考點】找規律計算【難度】3星【題型】解答理將斐波那契數列轉換為被3、1、、、22、、1、12、第九項和第十項連續兩個是1，與第一項和第二項的值相同且位置連續，所以斐波那契數列被38個一個周期循環出現，由于20××8020××3830.【答案】0【鞏固】有一列數：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一個數是1，第二個數是3，從第三個數起，每個數恰好是前面兩個數之和的2倍再加上1，那么這列數中的第20××個數除以6，得到的余是 ．【考點】找規律計算 【難度3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第4題，6分【解析】這列數除以6的余數有以下規律因為20086669 1，所第20××個數除以6余1．【答案】1【鞏固】有一列數排成一行，其中第一個數是3，第二個數是10，從第三個數開始，每個數恰好是前兩個數的和，那么第1997個數被3除所得的余數是多少？【考點】找規律計算 【難度3星 【題型】解答【解析】方法一：3，10，13，23，36，69，95， 被3除后的余數依次為0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1， 2，1為周期重復出現．19978249 5，余數為0．方法二：找余數的規律我們還可以這樣做：從第三個數起，利用同余的可加性，把前面兩個數被3除所得的余數相加，然后除以3，就得到這個數除以3的余數，這樣就很容易算出余數依循環，19978249 5，所以余數為0．

，觀察得8個一方法三：找余數的規律我們還可以運用余數判別法做把每個數的各位數字相加，然后再除以3，就得到這個數除以3的余數，這樣就很容易算出余數依次【答案】0

環，19978249 5，所以余數為0．

，觀察得8個一循【例12】有一串數：1，1，2，3，5，8，……，從第三個數起，每個數都是前兩個數之和，在這串數的前20××個數中，有幾個是5的倍數？【考點】找規律計算 【難度3星 【題型】解答【關鍵詞】20××年，走美，初賽，六年級5555可以發現這串余數中，每20個數為一個循環，且一個循環中，每5個數中第五個數是5于20095401420××4015的倍數．【答案】401【例13】將七位數“1357924”重復寫287次組成一個20××位數“924…”。刪去這個數中所有位于奇數位上的數字；按上述方法一直刪除下去直到剩下一個數字為止，則最后剩下的數字是【考點】找規律計算 【難度4星 【題型】解答【關鍵詞】華杯賽，決賽，第3題【解析】本題考察二進制，最后剩下的數是位值上的數字，周期為7，所以10243【關鍵詞】3

2，那【例14】30粒珠子依8粒紅色、2粒黑色、8粒紅色、2粒黑色的次序串成一圈，一只螞蚱從第2粒黑珠子起跳，每次跳過6粒珠子落在下一粒珠子上，這只螞蚱至少要跳 次才能落到黑珠上。【考點】找規律計算【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽，第12題【解析】觀察可知，每次跳過6粒珠子，則隔7個珠子，現在知第1個黑珠子在10，第二個在17，第3個在24，第4個在31-30=1，第5個在38-10=8，第6個在5，第7個在2，第8個在30。所以這只螞蚱至少要跳7次才能落到黑珠子上。【答案】7次【例15】有這樣一類20××位數，它們不含有數字0，任何相鄰兩位（按照原來的順序）組成的兩位數都有一個約數和20相差1，這樣的位數共有 個．【考點】找規律計算 【難度5星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，5年級，第8題【解析】第一個數確定，就能確定第二個數，以此類推，整個數就定下來了，所以一共就9個數。【答案】9個16】72的數的個位與十位之間添加一個小數點，其?【考點】找規律計算 【難度4星 【題型】填空【關鍵詞】華杯賽，初賽，第15題【解析】原來的總和是10＋11＋…＋98＋99＝（1099）90＝49052被7除余2的兩位數是7×2＋2＝16，7×3＋2＝23，…，7×13＋2＝93．共12個數。這些數按題中要求添加小數點以后，都變為原數的，因此這一手續使總和減少了(16＋23＋…＋93)×(1－1

16912

9＝588.610 2 10所以，經過改變之后，所有數的和是4905－588.6＝4316.4【答案】4316.4模塊四、特殊的數字9【例1】將從1開始的到103的連續奇數依次寫成一個多位數＝171921……979910110則數a共有