-.z矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算摘要物理，力學(xué)，工程技術(shù)中的很多問題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)于求矩陣特征值的問題，例如振動問題〔橋梁的振動，機(jī)械的振動，電磁振動等〕、物理學(xué)中*些臨界值確實(shí)定問題以及理論物理中的一些問題。矩陣特征值的計(jì)算在矩陣計(jì)算中是一個很重要的局部，本文使用冪法和反冪法分別求矩陣的按模最大，按模最小特征向量及對應(yīng)的特征值。冪法是一種計(jì)算矩陣主特征值的一種迭代法，它最大的優(yōu)點(diǎn)是方法簡單，對于稀疏矩陣比較適宜，但有時(shí)收斂速度很慢。其根本思想是任取一個非零的初始向量。由所求矩陣構(gòu)造一向量序列。再通過所構(gòu)造的向量序列求出特征值和特征向量。反冪法用來計(jì)算矩陣按模最小特征向量及其特征值，及計(jì)算對應(yīng)于一個給定近似特征值的特征向量。本文中主要使用反冪法計(jì)算一個矩陣的按模最小特征向量及其對應(yīng)的特征值。計(jì)算矩陣按模最小特征向量的根本思想是將其轉(zhuǎn)化為求逆矩陣的按模最大特征向量。然后通過這個按模最大的特征向量反推出原矩陣的按模最小特征向量。關(guān)鍵詞：矩陣；特征值；特征向量；冥法；反冥法THECALCULATIONSOFEIGENVALUEANDEIGENVECTOROFMATRI*ABSTRACTPhysics,mechanics,engineeringtechnologyinalotofproblemsinmathematicsareattributedtomatri*eigenvalueproblem,suchasvibration(vibrationofthebridge,mechanicalvibration,electromagneticvibration,etc.)inphysics,somecriticalvaluesdetermineproblemsandtheoreticalphysicsinsomeoftheproblems.Matri*eigenvaluecalculationisaveryimportantpartinmatri*putation.Inthispaper,weusethepowermethodandinversepowermethodtocalculatethema*imumofthematri*,accordingtotheminimumcharacteristicvectorandthecorrespondingcharacteristicvalue.Powermethodisaniterativemethodtocalculatetheeigenvaluesofamatri*.Ithastheadvantagethatthemethodissimpleandsuitableforsparsematrices,butsometimestheconvergencerateisveryslow.Thebasicideaistotakeanon-zeroinitialvector.Constructavectorsequencefromthematri*ofthematri*.Thentheeigenvaluesandeigenvectorsareobtainedbyusingtheconstructedvectorsequence.Theinversepowermethodisusedtocalculatetheminimumfeaturevectorsandtheireigenvaluesofthematri*,andtocalculatetheeigenvaluesofthematri*.Inthispaper,weusetheinversepowermethodtocalculatetheminimumeigenvalueofamatri*anditscorrespondingeigenvalues.Thebasicideaofcalculatingtheminimumcharacteristicvectorofamatri*istotransformittothema*imumcharacteristicvectorofthemodulusoftheinversematri*.Then,accordingtothemodel,theminimumfeaturevectoroftheoriginalmatri*isintroduced.Keywords:Matri*；Eigenvalue；Eigenvector；Iterationmethods;目錄1引言............................................................12相關(guān)定理。......................................................13符號說明........................................................24冥法及反冥法....................................................24.1冥法.........................................................34.2反冥法.......................................................85QR算法.........................................................14參考文獻(xiàn).........................................................18附錄............................................................19-.z1引言在本論文中，我們主要討論矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算，我們知道，有很多現(xiàn)實(shí)中的問題都可以用到矩陣特征值與特征向量計(jì)算的知識，比方，在物理、力學(xué)和工程技術(shù)方面有很多的應(yīng)用，并且發(fā)揮著極其重要的作用.因?yàn)檫@些問題都可歸結(jié)為求矩陣特征值的問題，具體到一些具體問題，如振動問題，物理中*些臨界值確實(shí)定問題以及一些理論物理中的問題.在本論文中，我們主要介紹求矩陣的特征值與特征向量的一些原理和方法，原理涉及高得代數(shù)中矩陣的相關(guān)定理，方法主要介紹冥法及反冥法并利用MATLAB算法的程序來求解相關(guān)問題，加以驗(yàn)證.2相關(guān)定理定理2.1如果是矩陣A的特征值，則有定理2.2設(shè)A與B為相似矩陣，則A與B有一樣的特征值；假設(shè)是的一個特征向量，則是A的特征向量定理2.3設(shè)，則A的每一個特征值必屬于下述*個圓盤之中：定義2.1設(shè)A是n階是對稱矩陣，對于任意非零向量*，稱為對應(yīng)于向量*的Rayleigh商.定理2.4設(shè)為對稱矩陣〔其特征值次序記作，對應(yīng)的特征向量組成規(guī)*化正交組，即〕，則〔對于任何非零向量*〕；3符號說明A:n階矩陣B:n階矩陣I：n階單位陣:矩陣特征值*:實(shí)數(shù)域上的n維向量：實(shí)數(shù)域上的n維向量：實(shí)屬上的規(guī)*化向量4冥法及反冥法4.1冥法冪法是一種計(jì)算矩陣的主特征值的一種迭代法，它最大優(yōu)點(diǎn)是方法簡單，適合于計(jì)算大型稀疏矩陣的主特征值.設(shè)，其特征值為，對應(yīng)特征向量為即且線性無關(guān).設(shè)特征值滿足：〔即為強(qiáng)占優(yōu)〕〔〕冪法的根本思想，是任取一個非零初始向量，由矩陣的乘冪構(gòu)造一向量序列(4.1.2)稱為迭代向量.下面來分折.由設(shè)為中一個根本，于是，有展開式〔且設(shè)〕且有(4.1.3)(4.1.3)由假設(shè)〔〕式,則即且收斂速度由比值確定.且有〔4〔4．1.4〕這說明，當(dāng)充分大時(shí)，有，或越來越接近特征向量.下面考慮主特征值的計(jì)算.用表示的第個分量，考慮相鄰迭代向量的分量的比值.從而是(4.1.5)說明相鄰迭代向量分量的比值收斂到主特征,且收斂速度由比值來度量,越小收斂越快,但越小收斂越快,但,而接近于1時(shí),收斂可能很慢.定理4.1〔1〕設(shè)n個線性無關(guān)的特征向量：〔2〕設(shè)特征值滿足〔3〕冪法：〕則〔1〕；〔2〕如果主特征值為實(shí)的重根，即有又設(shè)A有個線性無關(guān)的特征向量，其中對于任意初始向量則由冪法有且有〔設(shè)不全為零〕由此，當(dāng)充分大時(shí)，接近于與對應(yīng)的特征向量的*個線性組合.應(yīng)用冪法計(jì)算的主特征值及對應(yīng)的特征向量時(shí)，如果〕，迭代向量的各個不等于零的分量將隨而趨于無究〔或趨于零〕，這樣電算時(shí)就可能溢出.為此，就南非要將迭代向量加以規(guī)*化.設(shè)有非零向量其中表示向量絕對值最大的元素，即如果有草藥則其中為所有絕對值最大的分量中最小指標(biāo).顯然有下面性性質(zhì)：設(shè)，則在定理4.1條件下冪法可改進(jìn)為：任取初始向量.迭代：規(guī)*化：，〔4.1．〔4.1．6〕于是，由上式產(chǎn)生迭代向量序列及規(guī)*化向量且改進(jìn)冪法計(jì)算公式為：設(shè)對于〔〕下面考察與計(jì)算的關(guān)系.由且有〔〕其中考察規(guī)*化向量序列:由(4.1.7)及(4.1.8)式,則有考察迭代向量序列:于是，于是，定理(改進(jìn)冪法)設(shè)有個線性無關(guān)特征向量;設(shè)特征值滿足且(3)由改進(jìn)冪法得到((4.1.7)式),則有(a)(b)且收斂速度由比值確定.實(shí)現(xiàn)冪法，每迭代一次主要是計(jì)算一次矩陣乘向量，可編一個子程序求矩陣按模最大特征值如下：%這個函數(shù)用于使用冪法求矩陣特征向量和特征值%A--矩陣，v--初始向量，e--精度function[t,p]=pm(A,v,e)u=v./ma*(abs(v));%old=0;%記錄上一次迭代得到的特征值while(1)v=A*u;u=v./ma*(abs(v));if(abs(ma*(v)-old)<e)break;endold=ma*(v);endp=u;t=ma*(v);end例1.為檢驗(yàn)以上代碼的正確性，我們使用以上代碼計(jì)算以下矩陣的最大特征值和特征向量結(jié)果為：例2.利用你所編制的子程序求如下矩陣〔從60到70階〕按模最大、按模最小的特征值及對應(yīng)特征向量。解：代碼見附錄，運(yùn)行得到的結(jié)果如下：以上僅給出特征值的計(jì)算結(jié)果。特征向量見附錄，這里給出70階的特征向量：[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]4.2反冥法反冪法可用來計(jì)算矩陣按模最小的特征值及對應(yīng)的特征向量.設(shè)為非廳異矩陣，特征值滿足對應(yīng)特征向量為線性無關(guān)，則特征求值為特征向量為因此計(jì)算的按模最小的特征值的部題就是計(jì)算按模最大的特征值部題.對于應(yīng)用冪法迭代〔稱為反冪法〕，可求矩陣的主特征值.反冪法迭代公式：任取初始向量，1，2，…〔〕其中迭代向量可通過解方程組求得:如果個線性無關(guān)特征向量且特征值滿足:則由反冪法(2.11)構(gòu)造的向量序列滿足且收斂速度由比值確定.〔2〕應(yīng)用反冪法求一個的似特征值對應(yīng)的特征向量.～設(shè)的特征值的一個近似值〔通常是用其它方法得到〕，現(xiàn)要求對應(yīng)的特征向量〔近似〕，在反冪法中也可用原點(diǎn)平移法來加速收斂.～如果存在，顯然，特征值為對應(yīng)的特征向量.～現(xiàn)取〔但不能取〕，且設(shè)與其它特征值是別離的，即～?即?說明是的主特征值.現(xiàn)對應(yīng)用冪法得到反冪法計(jì)算公式：取初始向量〔〕與定理8證明類似,可得下述結(jié)果.～定理10〔1〕設(shè)有個線性無關(guān)特征向量即.～〔2〕取〔為特征值一個近似值〕，設(shè)存在且?則由反冪法迭代公式〔2，12〕構(gòu)造向量序列滿足：或且收斂速度由比值確定.由定理可知，反冪法計(jì)算公式〔〕可用計(jì)算特征向量.選擇是的一個近似且的特征值別離情況較好，一般很小，所以迭代過程收斂較快，同時(shí)改進(jìn)特征值.反冪法迭代公式中是以通過解方程組求得.為了節(jié)省計(jì)算量，可先將進(jìn)展三角分解.其中為置換陣，于是每次迭代求相當(dāng)于求解兩個三角形方程組可按下述方法取，即選使回代求解即求得.反冪法計(jì)算公式：1．分解計(jì)算，且保存及信息2．反冪法迭代〔1〕〔2〕1〕求求2〕3〕～對于計(jì)算對稱三對角陣，或計(jì)算Hessenberg陣對應(yīng)于一個給定的近似特征值的特征向量，反冪法是一個有效方法.～使用Matlab編寫一個使用反冪法求矩陣最小特征值和特征向量的程序如下：function[s,y]=fpm(A,*0,eps)%s為按模最小特征值，y是對應(yīng)特征向量k=1;r=0;%r相當(dāng)于0?y=*0./ma*(abs(*0));%規(guī)*化初始向量[L,U]=lu(A);z=L\y;*=U\z;u=ma*(*);s=1/u;%按模最小為A-1按模最大的倒數(shù).ifabs(u-r)<eps%判斷第一次迭代后是否滿足終止條件returnendwhileabs(u-r)>eps%終止條件.k=k+1;r=u;y=*./ma*(abs(*));z=L\y;*=U\z;u=ma*(*);end[m,inde*]=ma*(abs(*));%這兩步保證取出來的按模最大特征值s=1/*(inde*);%是原值，而非其絕對值。end同樣，取一個矩陣進(jìn)展測試：計(jì)算結(jié)果為：例2.利用你所編制的子程序求如下矩陣〔從60到70階〕按模最小的特征值及對應(yīng)特征向量。代碼見附錄，程序結(jié)果如以下圖：同樣只給出70階時(shí)的特征值，具體結(jié)果見附錄[0.040.020.260.300.350.390.430.470.510.540.580.620.650.680.720.750.770.800.830.850.870.890.910.930.950.960.970.980.990.991.001.001.001.000.990.990.980.970.960.950.930.910.890.870.850.830.800.770.750.720.680.650.620.580.540.510.470.430.390.350.300.230.090.04]參考文獻(xiàn)[1]姜啟源，謝金星，葉俊編．?dāng)?shù)學(xué)模型〔第三版〕[M]．：高等教育，2005：1-202.[2]王建衛(wèi)，曲中水凌濱編著.MATLAB7.*程序設(shè)計(jì)[M].：中國水利水電，2007：55-80.[3]李慶揚(yáng)，王能超，易大義編著.數(shù)值分析〔第四版〕[M].**：華中科技大學(xué)，2006：219-245.附錄%這個函數(shù)用來生成教師要求記算的那個矩陣，n是指定階數(shù)functionA=createMatri*(n)A=zeros(n);%先全部初始化為0fori=1:nforj=1:nif(i==j)A(i,j)=2;%設(shè)置主對角線上的值為2elseif(i==j-1||i==j+1)%設(shè)置主對角線傍邊的兩條斜線上的的值為-1A(i,j)=-1;endendendend%這個函數(shù)用于使用冪法求矩陣特征向量和特征值%A--矩陣，v--初始向量，e--精度function[t,p]=pm(A,v,e)u=v./ma*(abs(v));%old=0;%記錄上一次迭代得到的特征值while(1)v=A*u;u=v./ma*(abs(v));if(abs(ma*(v)-old)<e)break;endold=ma*(v);endp=u;t=ma*(v);end%這個程序用于求60-60階矩陣的特征值和特征向量clccleare=0.01;fori=60:70A=createMatri*(i);%生成要計(jì)算的矩陣v=ones(i,1);%生成初始微量v(1)=1;[t,p]=pm(A,v,e);%計(jì)算fprintf('%d階特征值：%f\n',i,t);%輸出特征值%以下三句代碼為輸出特征值和特征微量%fprintf('%d階:%f[',i,t);%fprintf('%.2f',p);%fprintf(']\n');end%使用反冪法求矩陣按模最小特征值function[s,y]=fpm(A,*0,eps)%s為按模最小特征值，y是對應(yīng)特征向量k=1;r=0;%r相當(dāng)于0?y=*0./ma*(abs(*0));%規(guī)*化初始向量[L,U]=lu(A);z=L\y;*=U\z;u=ma*(*);s=1/u;%按模最小為A-1按模最大的倒數(shù).ifabs(u-r)<eps%判斷第一次迭代后是否滿足終止條件returnendwhileabs(u-r)>eps%終止條件.k=k+1;r=u;y=*./ma*(abs(*));z=L\y;*=U\z;u=ma*(*);end[m,inde*]=ma*(abs(*));%這兩步保證取出來的按模最大特征值s=1/*(inde*);%是原值，而非其絕對值。end%這個程序用于使用反冪法求60-60階矩陣的特征值和特征向量clccleare=0.01;fori=60:70A=createMatri*(i);v=ones(i,1);v(1)=1;[t,p]=fpm(A,v,e);%fprintf('%d階特征值：%f\n',i,t);fprintf('%d階:%f[',i,t);fprintf('%.2f',p);fprintf(']\n');end使用冪法求矩陣最大特征值和特征向量結(jié)果：60階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]61階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]62階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]63階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]64階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]65階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]66階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]67階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]68階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]69階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]70階:3.754011[0.58-0.941.00-0.810.54-0.290.13-0.050.01-0.000.00-0.000.00-0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00-0.000.00-0.000.00-0.000.01-0.050.13-0.290.54-0.811.00-0.940.58]使用反冪法求矩陣按模最小特征值和特征向量結(jié)果：60階:0.002652[0.000.250.300.350.400.450.490.540.580.620.660.700.730.770.800.830.860.880.910.930.940.960.970.980.991.001.001.001.000.990.980.970.960.940.930.910.880.860.830.800.770.730.700.660.620.580.540.490.450.400.350.3050.100.05]61階:0.002567[0.000.250.300.350.390.440.490.530.570.610.650.690.720.760.790.820.850.870.900.920.940.950.970.980.990.991.001.001.000.990.990.980.970.950.940.920.900.870.850.820.790.760.720.690.650.610.570.530.490.440.390.350.3050.100.05]62階:0.002486[0.000.250.290.340.390.430.480.520.560.600.640.680.720.750.780.810.840.870.890.910.930.950.960.980.990.991.001.001.001.000.990.990.980.960.950.930.910.890.870.840.810.780.750.720.680.640.600.560.520.480.430.390.340.250.100.05]63階:0.002409[0.000.240.290.340.380.430.470.510.560.600.630.670.710.740.770.800.830.860.880.900.920.940.960.970.980.991.001.001.001.001.000.990.980.970.960.940.920.900.880.860.830.800.770.740.710.670.630.600.560.510.470.430.380.340.250.100.05]64階:0.002336[0.090.240.290.330.380.420.460.510.550.590.630.660.700.730.760.790.820.850.870.900.920.940.950.970.980.990.991.001.001.001.000.990.990.980.970.950.940.920.900.870.850.820.790.760.730.700.660.630.590.550.510.460.420.380.330.240.100.05]65階:0.002265[0.090.240.280.330.370.420.460.500.540.580.620.650.690.720.760.790.810.840.870.890.910.930.950.960.970.980.991.001.001.001.001.000.990.980.970.960.950.930.910.890.870.840.810.790.760.720.690.650.620.580.540.500.460.420.370.330.240.100.05]66階:0.002198[0.050.030.280.320.370.410.450.490.530.570.610.650.680.720.750.780.810.830.860.880.900.920.940.950.970.980.990.991.001.001.001.000.990.990.980.970.950.940.920.900.880.860.830.810.780.750.720.680.650.610.570.530.490.450.410.37