例1求解下列整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解:maxZ—4x}+5叫+6勺r3X|+4^+5xj荼1（）.[%）0（/工123）土為整數(shù).解（1）建立動態(tài)規(guī)劃模型：階段變量：將給每一個變量X,賦值看成一個階段，劃分為3個階段，且階段變量k=1,2,3.設(shè)狀態(tài)變量表示從第k階段到第3階段約束右端最大值，則=10.設(shè)決策變量表示第k階段賦給變量的值伏二123）.狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：S-,二良、「3丹.&二-4心.階段指標：3"）二4電,嶼（&,邳）=5迎,為（齊M）二6處.基本方程;fd=m翠」林±0*4)+人+】(勾+1)}"*'￡W"

g)=0.其中(1)用逆序法求解:當時，￡(昏)=max(6x3imax{6^),QWxi而我￡{0.1,2345,6,7,&9,10}”]表示不超過X的最大整數(shù)。因此，當隊二0M3,4時，，日—0；當X—5,6,7,&9時，可取0或1；當圣=1n時，可取0，1，2，由此確定小)-現(xiàn)將有關(guān)數(shù)據(jù)列入表4.1中

表4.1中.$36電+九（為）A(J3)012012345678910000000000006666661200000666661200000111112k=2￡（勺）二當時，有maxk=2￡（勺）二而s2e{0」,2*3,4,金6,7,&9」O}。所以當S-,二0J,2.3時，K=0;當s2=4^5,6,7時，..v?二。或I;當吻二&9,10時X-,二0盅2。由此確定，（勺）。現(xiàn)將有關(guān)數(shù)據(jù)列入表4.2中.表4.2任f5叼+，國一4易）&01200+05+000010+05+000120+05+010+000230+05+010+000340+05+010+051050+65+660560+65+6606

70+660780+6102090+61115100+1212010當k-]時，有斤（局二皿執(zhí)｛4"￡（心）｝二m華｛估+兀（&-3%）｝,而s=1n故r只能取0,1,2,3,由此確定/lGJ。現(xiàn)將有關(guān)數(shù)據(jù)列入表4.3中。表4.34而十人（且-3而｝品）由0123100+124+68+512+01324

按計算順序反推，由表4.3可知，當4.*=加，『心.)取得最大值13.乂山％=4查表4.2得叼*=1,及0,再由表4.1杳得式廣0園此,最優(yōu)解為K=2,x；=Lr；=1),最優(yōu)解max7=13.例5用動態(tài)規(guī)劃方法解下列非線性規(guī)劃問題max/=凡.工；小{X1+X.+，［Mc凡>0i=1.23解：解決這一類靜態(tài)規(guī)劃問題，需要人為地賦予時間概念，從而將該問題轉(zhuǎn)化為多階段決策過程。按問題的變量個數(shù)劃分階段，把它看作一個三階段決策問題，k=1，2,3設(shè)狀態(tài)變量為s1，s2，s3，s4并記sKc取問題中的變量x1，x2，x3為決策變量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：s3=x3s3+x2=s2允許決策集合為：x3=s30Wx2Ws2各階段指標函數(shù)為：v1(xl)=x1s2+x1=sKc取問題中的變量x1，x2，x3為決策變量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：s3=x3s3+x2=s2允許決策集合為：x3=s30Wx2Ws2各階段指標函數(shù)為：v1(xl)=x1s2+x1=sKc0Wx1Ws1v2(x2)=x22v3fk（程）=max〔葉（xk）.fMg）］k=3,2,,1J電已比〔％）J,」、％）=1用逆序解法由后向前依次求解：k=3時，￡（'））醪"皿）山尊=膘（匕）7x3*=s3k=2時，八⑶）乙膘？必）邙◎=麝（就件）乙聰國侖f』令h2（s2，x2）=x22（s2-x2）用經(jīng)典解析法求極值點:=2x3^23尤;=0解得:x2=0（舍）2=-2s2<0^2=-旦所以是極大值點。274fi（%）=（亍,勺）色-=萬葛

,2fk=1時，血無）=嗯［vG），0）］=niasU,土葛）=珂{.*￡吊F'l令R（,g）r.￡（e-叫）'

dfaHJ4/x312z、2fA=—（^t—呵）+xi（的一電）廣（一1）=°dx}271112711解得：1x1=s1（舍）妒％n......I2r仙~^~=萬拓-%）（—1）-—（Sj-J,）4-—.V,（,Y,-JT,）=—（X|-.<）U.r-5.）所以1?M—4是極大值點。石一土E

.I由于S1未知，所以對S1再求極值，max/.(A.)—max(—s.1)吟乂”i1解嘗/64顯然s1=c時，fl(si)取得最大值反向追蹤得各階段最優(yōu)決策及最優(yōu)值:s1=c*3七=財一馬一打4土2I?L地—電=—C人(為)一勺一7C4所以最優(yōu)解為:例6用動態(tài)規(guī)劃方法解下列非線性規(guī)劃問題maxz=x.{r+一七+6土>0j=1,23解：按變量個數(shù)將原問題分為三個階段，階段變量k=1,2,3；選擇xk為決策變量；狀態(tài)變量sk表示第k階段至第3階段決策變量之和；取小區(qū)間長度△二1，小區(qū)間數(shù)目m=6/1=6,狀態(tài)變量sk的取值點為：七=0,1,2",5,6k>2出=6狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=sk—xk；允許決策集合：Dk(sk)={xk|0WxkWsk}k=1,2,3xk,sk均在分割點上取值；階段指標函數(shù)分別為：g1(x1)=x12g2(x2)=x2g3(x3)=x33,最優(yōu)指標函數(shù)fk(sk)表示從第k階段狀態(tài)sk出發(fā)到第3階段所得到的最大值，動態(tài)規(guī)劃的基本方程為：伍國)=齡囪("膈％)1左=3,2JJ。翎％"%)二1k=3時，人(&)二maxG；)二菖s3及x3取值點較多，計算結(jié)果以表格形式給出，見表6.1-6.3所示。

表6.1計算結(jié)果x3f3(s3)x3*01234560001112823018276412521627346445125562166表6.2計算結(jié)果x2f3(s2-x2)\f2(s2)x2*5?\0123456001X000101X12X03X000,1201X82X13X14X05X011301X272X83X84X15X16X081401X642X273X274X8271501X1252X64641601282表6.3計算結(jié)果

x12f2(s1—x1)f1(s1)x1*0123456601X644X279X816X125X036X01082由表6.3知，x1*=2,s1=6,則s2=s1—x1*=6—2=4，查表6.2得：x2*二1,則s3=s2—x2*=4—1=3，查表6.1得：x3*=3,所以最優(yōu)解為：x1*=2,x2*=1,x3*=3,f1(s1)=108。上面討論的問題僅有一個約束條件。對具有多個約束條件的問題，同樣可以用動態(tài)規(guī)劃方法求解，但這時是一個多維動態(tài)規(guī)劃問題，解法上比較繁瑣一些。例7某公司打算在3個不同的地區(qū)設(shè)置4個銷售點，根據(jù)市場部門估計，在不同地區(qū)設(shè)置不同數(shù)量的銷售點每月可得到的利潤如表6.4所示。試問在各地區(qū)如何設(shè)置銷售點可使每月總利潤最大。表6.4利潤值地區(qū)銷售點01234101625303220121721223010141617解：如前所述，建立動態(tài)規(guī)劃數(shù)學模型:將問題分為3個階段，k=1，2,3；決策變量xk表示分配給第k個地區(qū)的銷售點數(shù)；狀態(tài)變量為sk表示分配給第k個至第3個地區(qū)的銷售點總數(shù)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=sk—xk，其中s1=4；允許決策集合：Dk(sk)={xk|0WxkWsk}階段指標函數(shù)：gk(xk)表示xk個銷售點分配給第k個地區(qū)所獲得的利潤;最優(yōu)指標函數(shù)fk(sk)表示將數(shù)量為sk的銷售點分配給第k個至第3個地區(qū)所得到的最大利潤，動態(tài)規(guī)劃基本方程為：fi(&)=max[我(xk)+_知(，F(xiàn))]陣3,2,1g)=。數(shù)值計算如表所示。表6.5k=3時計算結(jié)果Xsg3(x3)f3(s3)x3*012340123401014161701014161701234表6.6k=2時計算結(jié)果

g2(x2)+f3(s2—x2)f2(s2)x2*01234000012+010+1017+012112+1021+020+1417+1022+022112+1421+1030+1617+1427212+1640+17312,3表6.7k=1時計算結(jié)果g1(x1)+f2(s1—x1)f1(s1)x1*0123440+3116+2725+2230+1232+0472所以最優(yōu)解為：x1*=2,x2*=1,x3*=1,f1(4)=47,即在第1個地區(qū)設(shè)置2個銷售點，第2個地區(qū)設(shè)置1個銷售點，第3個地區(qū)設(shè)置1個銷售點，每月可獲利潤47。例9(生產(chǎn)一庫存問題)某工廠要對一種產(chǎn)品制定今后四個時期的生產(chǎn)計劃，據(jù)估計在今后四個時期內(nèi)，市場對該產(chǎn)品的需求量分別為2,3,2,4單位，假設(shè)每批產(chǎn)品固定成本為3千元，若不生產(chǎn)為0，每單位產(chǎn)品成本為1千元，每個時期最大生產(chǎn)能力不超過6個單位，每期期末未出售產(chǎn)品，每單位需付存貯費0.5千元，假定第1期初和第4期末庫存量均為0，問該廠如何安排生產(chǎn)與庫存，可在滿足市場需求的前提下總成本最小。

解：以每個時期作為一個階段，該問題分為4個階段，k=1,2,3,4；決策變量xk表示第k階段生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)；狀態(tài)變量sk表示第k階段初的庫存量；以dk表示第k階段的需求，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=sk+xk—dk；k=4,3,2,1由于期初及期末庫存為0,所以s1=0,s5=0；允許決策集合Dk(sk)的確定：當skNdk時，xk可以為0,當sk<dk時，至少應(yīng)生產(chǎn)dk—sk，故xk的下限為max(0,dk—sk)每期最大生產(chǎn)能力為6,xk最大不超過6,由于期末庫存為0,xk還應(yīng)小于本期至4期需求之和減去本期的庫存量，ix-勺，所以xk的上限為min(ix-%,6),故有：Dk(sk)={xk|max(0,dk—sk)WxkWmin(,6)}階段指標函數(shù)rk(sk,xk)表示第k期的生產(chǎn)費用與存貯費用之和：5七月)一巖；,心**二°&=【23,4,5,6最優(yōu)指標函數(shù)fk(sk)表示第k期庫存為sk到第4期末的生產(chǎn)與存貯最低費用，動態(tài)規(guī)劃基本方程為:伏(必.離"5)+&0)］洋心1"脖。先求出各狀態(tài)允許狀態(tài)集合及允許決策集合，如表6.8所示。表6.8狀態(tài)允許狀態(tài)集合及允許決策集合s10D1(s1){2,3,4,5,6}s201234D2(s2){3,4,5,6}{2,3,4,5,6}{1,2,3,4,5,6}{0,1,2,3,4,5,6}{0,1,2,3,4,5}s30123456D3(s3){2,3,4,5,6}{1,2,3,4,5}{0,1,2,3,4}{0,1,2,3}{0,1,2}{0,1}{0}s401234D4(s4){4}{3}{2}{1}{0}由基本方程計算各階段策略，結(jié)果如下表所示。表6.9k=4時計算結(jié)果s4x43+X4+0夕4.七=0心*0s5f5(s5)f4(s4)04*7007*13*6.5006.5*22*6006*31*5.5005.5*

40*2002*表6.10k=3時計算結(jié)果s3x3電〔3+土止05弓土工。勺工。s4=s3+x3—2f4(s4)f3(s3)2507123616.512.504726135835.513.56*94211*14.50711.525.516.512136.52612.547.535.5135*8.54210.5*0*1078*1516.511.522626123735.512.54842100*1.516.58*15.52611.5326.535.51237.5429.50*2268*41635.511.52742950*12.56.5345.528*8.560*3425*表6.11k=2時計算結(jié)果s2x2弓(*5"0.5的、3+艾芝+0、5曲x?~°#1*0s3=s2+x2-3f3(s3)f2(s2)360111747110.517.505*82816*69381725.501116.536.5110.51714*7.52815.5*58.53816.569.54817.5150111626110.516.53*72815*248381659481761058180*1.501112.5*315.5110.51626.52814.5

37.53815.548.54816.559.55817.5610.56515.50*2110.512.5*16281427381543848164958175106515表6.12k=1時計算結(jié)果s1x1仲|(zhì)/l)i0-5所3+-%+。,5用而=0工1>0s2=x1—2f2(s2)f1(s1)250162136115.521.5047215225*8312.520.5*69412.521.5逆向追蹤可得：x1*=5,s2=3,x2*=0,s3=0,x3*=6,s4=4,x4*=0，即第1時期生產(chǎn)5個單位，第3時期生產(chǎn)6個單位，第2,4時期不生產(chǎn)，可使總費用最小，最小費用為20.5千元。例10（庫存一銷售問題）設(shè)某公司計劃在1至4月份從事某種商品經(jīng)營。已知倉庫最多可存儲600件這種商品，已知1月初存貨200件，根據(jù)預測知1至4月份各月的單位購貨成本及銷售價格如表6.13所示，每月只能銷售本月初的庫存，當月進貨供以后各月銷售，問如何安排進貨量和銷售量，使該公司四個月獲得利潤最大(假設(shè)四月底庫存為零)。表6.13單位購貨成本及銷售價格月份購貨成本C銷售價格P14045238423403944244解：按月份劃分階段，k=1，2,3,4；狀態(tài)變量sk表示第k月初的庫存量，s1=200，s5=0；決策變量：xk表示第k月售出的貨物數(shù)量，yk表示第k月購進的貨物數(shù)量；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=sk+yk—xk；允許決策集合：0WxkWsk，0WykW600—(sk—xk)；階段指標函數(shù)為：pkxk—ckyk表示k月份的利潤，其中pk為第k月份的單位銷售價格，ck為第k月份的單位購貨成本；最優(yōu)指標函數(shù)fk(sk)表示第k月初庫存為sk時從第k月至第4月末的最大利潤，則動態(tài)規(guī)劃基本方程為：人弟）=皿供I睥*-『43^1k=4時h)=maxk=4時h)=max{44凡|-42*)=44.%如凹1與|5網(wǎng)-(互一直4)iiSx4*=s4y4*二0k=3時人($3)=mx[3、-40叫+低為式知T與Tg)=max[39jc3-40j5+44(近+y^~勺)]IK冉M60OV勺■鳥)=max(44.v3一5x3+4巧)為求出使44s3—5x3+4y3最大的x3,y3,須求解線性規(guī)劃問題:maxw=44.s3-5x3+4rsm一勺+g6OO1—井③

為見>()只有兩個變量x3,y3，可用圖解法也可用單純形法求解，取得最優(yōu)解，x3*=0,y3*=600—s3,f3(s3)=40s3+2400k=2時，h(q=max「42兇一38乃+古。'；)】(k￡SmIO*—(.fj—^2)=max|42x2-38>;十4O(Sj十無-勺)+240C]

如“：.“"^"豹^&01>fS2-JCj)Os近地性物;-知）=max(40s.+2x2+2yOs近地性物;-知）類似地求得：x2*=s2,y2*=600,f2(s2)=42s2+3600k=1時，J\（占）=max145而40入f2（心）］岫件網(wǎng)OT街一矽=max[45%-40j\+42(旨+y\-aJ+3600J俚￡伊|施??"片科)=max(42+3西小2巧+3600)類似地求得：x1*=s1，y1*=600，f1(s1)=45s1+4800=13800逆向追蹤得各月最優(yōu)購貨量及銷售量:y1*=600；x2*=s2=s1+y1*—x1*=600y2*=600；x3*=0y3*=600—s3=600—(s2+y2*y1*=600；x2*=s2=s1+y1*—x1*=600y2*=600；x3*=0y3*=600—s3=600—(s2+y2*—x2*)=0x4*=s4=(s3+y3*—x3*)=600y4*=0即1月份銷售200件，進貨600件2月份銷售600件，進貨600件，3月份銷售量及進貨量均為0，4月份銷售600件，不進貨，可獲得最大總利潤13800。例11某鞋店銷售一種雪地防潮鞋，以往的銷售經(jīng)歷表明，此種鞋的銷售季節(jié)是從10月1日至3月31日。下個銷售季節(jié)各月的需求預測值如表6.14所示。（單位:表6.14需求預測值雙）（單位:月份101112123需求402030403020該鞋店的此種鞋完全從外部生產(chǎn)商進貨，進貨價每雙4美元。進貨批量的基本單位是箱，每箱10雙。由于存貯空間的限制，每次進貨不超過5箱。對應(yīng)不同的訂貨批量，進價享受一定的數(shù)量折扣，具體數(shù)值如表6.15所示。表6.15數(shù)量折扣數(shù)值表進貨批量1箱2箱3箱4箱5箱數(shù)量折扣4%5%10%20%25%假設(shè)需求是按一定速度均勻發(fā)生的，訂貨不需時間，但訂貨只能在月初辦理一次，每次訂貨的采購費（與采購數(shù)量無關(guān)）為10美元。月存貯費按每月月底鞋的存量計，每雙0.2美元。由于訂貨不需時間，所以銷售季節(jié)外的其他月份的存貯量為“0”。試確定最佳的進貨方案，以使總的銷售費用最小。解：階段：將銷售季節(jié)6個月中的每一個月作為一個階段，即k=1,2,…,6；狀態(tài)變量：第k階段的狀態(tài)變量代表第k個月初鞋的存量；決策變量：決策變量代表第k個月的采購批量；狀態(tài)轉(zhuǎn)移律：Sri=M}xk-d&（dk是第k個月的需求量）；邊界條件：=0，人㈤）=0；階段指標函數(shù)：匕&，R}代表第k個月所發(fā)生的全部費用，即與采購數(shù)量無關(guān)的采購費、與采購數(shù)量成正比的購置費和存貯費乙.其中：，山勺=0k~'10占>0；<4F牛4=D.2(S—U最優(yōu)指標函數(shù)：最優(yōu)指標函數(shù)具有如下遞推形式=min（C；+G/0.2（M+乩一4）+人十冏+叫-妃｝當k~（y時（3月）：表6.16&一6時計算結(jié)果S601020x620100f6（S6）86480當k?二5時（2月）：表6.17k—5時計算結(jié)果x5S501020304050工；02041881645016410172168142401422013413612230122

3086989008640505205050404當上=4時（1月）：表6.18k-\時計算結(jié)果x4S401020304050￡0302304403021028228228630、4028220250262264252202503021223024423021810212401641922122101961700164501441741781761520144601261401441320126當陣3時（12月）：表6.19時計算結(jié)果

x3S301020304050￡限)04204224145041410388402392384503842035037037236233250332303023323403423103140302402843023102902922980284當k-1時（11月）：表6.20k=2時計算結(jié)果x2S2010203040