第4章根軌跡法自動控制原理4.2根軌跡的繪制法則

4.3用根軌跡法分析系統的暫態特性

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一.

用根軌跡法分析系統的性能用根軌跡法分析控制系統：

定性分析－－穩定性分析。定量分析－－暫態響應分析，定量計算性能指標。

控制系統的性能是由閉環零、極點的位置決定的。根軌跡是閉環特征根隨參數變化的軌跡，根軌跡法分析系統性能的最大優點就是可以直觀地看出系統參數變化時，閉環極點的變化。選擇適當的參數，使閉環極點位于恰當的位置，獲得理想的系統性能。3

用根軌跡圖分析控制系統的穩定性，比僅僅知道一組閉環極點要深刻得多。比如，當Kg在（0，∞）間取值時，如果n支根軌跡全部位于虛軸的左邊，就意味著不管Kg取任何值閉環系統都是穩定的。反之，根軌跡只要有一支全部位于虛軸的右邊，就意味著不管Kg取何值，閉環系統都不可能穩定，這種情況下，如果開環零、極點是系統固有的、不可改變的，那么要使系統穩定就必須人為增加開環零、極點，這就是通常講的要改變系統的結構，而不僅僅是改變系統的參數。4

根軌跡只要有一支穿越虛軸，就說明閉環系統的穩定是有條件的，知道了根軌跡與虛軸交點的Kg值，就可以確定穩定條件，進而確定合適的Kg值。

初學者容易把開環極點和閉環極點混淆，因為畫根軌跡圖時首先標在圖上的是開環零、極點，根軌跡的起點是開環極點，有讀者就誤認為根軌跡上的點都是開環極點，這是不對的。根軌跡圖上除了起點和終點，其它都是閉環極點的可能取值。

由根軌跡求出閉環系統極點和零點的位置后，就可以按第三章所介紹的方法來分析系統的暫態品質。5

1.二階系統設二階系統的結構圖如下圖所示。它的開環傳遞函數為6(1)閉環系統有兩個負實極點暫態過程主要決定于離虛軸近的極點。一般當時，可忽略極點的影響。

>17(2)閉環極點為一對復極點由（或阻尼角）和決定系統的暫態特性。

阻尼振蕩角頻率阻尼角

8①假設不變隨著阻尼角的改變，極點將沿著以為半徑的圓弧移動。出現實數重根，臨界阻尼狀態，無超調一對共軛虛根，等幅振蕩9共軛復根情況10

②假設不變則隨著增大，極點將沿矢量方向延伸。等阻尼線有相同阻尼比的復極點，位于同一條射線上，稱為等阻尼線。同一條阻尼線上的復極點，超調量相同。11③

是表征系統指數衰減的系數，它決定系統的調節時間。有相同的系統，將有相同的衰減速度和大致相同的調節時間。等衰減系數線

12

(3)

閉環系統有一對復極點外加一個實極點系統超調量減小，調節時間增長一對復極點和一個實極點當實極點與虛軸的距離比復極點實部與虛軸的距離大5倍以上時，可以不考慮這一負極點的影響，直接用二階系統的指標來分析系統的暫態品質。13一對復極點和一個零點

（4）閉環系統有一對復極點外加一個零點將增大系統超調量但是，如果，則可以不計零點的影響，直接用二階系統的指標來分析系統的暫態品質。14

2．開環具有零點的二階系統二階系統增加一個零點時，系統結構圖如下圖所示。它的開環傳遞函數為15由下圖知，復平面上的根軌跡是一個圓（證明詳見教材）。這個圓與實軸的交點即為分離點和會合點：

本例說明：正向通道內適當引進零點，將使根軌跡向左偏移，能改善系統動態品質。時的根軌跡圖

增加開環零點的影響增加零點對根軌跡形狀的影響17

開環零點在不同取值情況下的根軌跡

系統性能改善不顯著，系統增益超過臨界值時，系統仍會不穩定。閉環復數極點距離虛軸較遠，實數極點距離虛軸較近，系統有較低的響應速度。系統有兩個共軛復數和一個實數極點，若設計得當，將會使得共軛復數為主導極點，系統近似看成欠阻尼系統。開環具有零點的三階系統18

從以上四種情況來看，一般第三種情況比較理想，這時系統具有一對共軛復數主導極點，其暫態響應性能指標也比較令人滿意。可見，增加開環零點將使系統的根軌跡向左彎曲，并在趨向于附加零點的方向發生變形。如果設計得當，控制系統的穩定性和暫態響應性能指標均可得到顯著改善。193.

二階系統加極點二階系統附加一個極點的系統的結構圖如下圖所示。它的開環傳遞函數為在時，分離點為和。因為在-1~-4之間不可能有根軌跡，故分離點應為。20當時，根軌跡與虛軸交點為對應的根軌跡放大系數為考慮到，于是得臨界開環放大系數為根軌跡繪于右圖。本例說明：在二階系統中附加一個極點，隨著增大，根軌跡會向右變化，并穿過虛軸，使系統趨于不穩定。

增加開環極點的影響增加極點對根軌跡形狀的影響根軌跡將向右彎曲,導致系統最后不穩定，所以一般不單獨加開環極點22二.零度根軌跡零度根軌跡：根軌跡的輻角條件不是，而是的情況。

圖示系統有一個零點在S右半平面，它的傳遞函數為23

它的閉環特征方程式為

亦即

幅值條件輻角條件由于輻角條件是偶數個，故名為零度根軌跡。

開環分母-開環分子=024零度根軌跡的繪制，改變了與幅角有關的規則：（1）實軸上的根軌跡。實軸上根軌跡右側的零點、極點之和應是偶數。（2）根軌跡的漸近線。傾角

（3）根軌跡的出射角與入射角。入射角出射角25

三.參數根軌跡

參數根軌跡（或廣義根軌跡）：以以外的參數作為變量的根軌跡，稱為參數根軌跡。1.一個參數變化的根軌跡假設系統的可變參數是某一時間常數T，原特征方程式變為式中，、分別為等效的開環傳遞函數分子、分母多項式，T的位置與原根軌跡放大系數完全相同。26

例4-10給定控制系統的開環傳遞函數為

試作出以a為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分析取何值時閉環系統穩定。解

閉環特征方程改寫為

等效的開環傳遞函數為

該系統在繪制以a為參變量的根軌跡時，應遵循零度根軌跡的繪制規則。27相應的根軌跡繪于右圖。由圖可知，當時系統處于臨界穩定狀態。閉環系統穩定的范圍：

例4-10系統的根軌跡本例說明，盡管在許多情況下，都是繪制常義根軌跡，但是在繪制參數根軌跡、研究正反饋系統、處理非最小相位系統時，都有可能遇到繪制零度根軌跡的情形。

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2.

幾個參數變化的根軌跡（根軌跡簇）在某些場合，需要研究幾個參數同時變化對系統性能的影響。例如在設計一個校正裝置傳遞函數的零、極點時，就需研究這些零、極點取不同值時對系統性能的影響。為此，需要繪制幾個參數同時變化時的根軌跡，所作出的根軌跡將是一組曲線，稱為根軌跡簇。29例4-11

一單位反饋控制系統如圖所示，試繪制以K和為參數的根軌跡。解

系統閉環特征方程為先令，則上式變為或寫作30令據此作出對應的根軌跡，如下圖a所示。這是時，以K為參變量的根軌跡。其次考慮，把閉環特征方程改寫為

令31它的極點為，零點為0。不難證明，對應特征方程的根軌跡為一圓弧，其方程為例如令K=9，則下圖b為K取不同值時所作的根軌跡簇。324.3.3偶極子對系統性能的影響在系統的綜合中，常在系統中附加一對非常接近坐標原點的零、極點對來改善系統的穩態性能。這對零、極點彼此相距很近，又非常靠近原點，且極點位于零點右邊，通常稱這