數模入門和初等模型第1頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征我們常見的模型1.1從現實對象到數學模型第2頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六你碰到過的數學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解第3頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六航行問題建立數學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常數）；用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；求解得到數學解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米/小時）。第4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模第5頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六電子計算機的出現及飛速發展；數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地；

在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具；

數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地。1.2

數學建模的重要意義第6頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六數學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優化

規劃與管理數學建模計算機技術知識經濟如虎添翼生產過程中產品質量指標的預報,氣象預報,人口預報,經濟增長預報

描述藥物濃度在人體內的變化,跨音速空氣流和激波的數學模型,用數值模擬設計新的飛機翼型

電力,化工生產過程的最優控制,零件設計中的參數優化

生產計劃,資源配置,運輸網絡規劃,水庫優化調度,以及排隊策略,物資管理

第7頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六

1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數據資料。

2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。

3.在所作假設的基礎上，利用適當的數學工具去刻劃各變量之間的關系，建立相應的數學結構——即建立數學模型。

4.模型求解。

5.模型的分析與檢驗。

在難以得出解析解時，也應當借助計算機求出數值解。

1.3

數學建模步驟和示例實體信息(數據)假設建模求解驗證應用第8頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六示例:

可口可樂飲料罐的形狀可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大的飲料罐(易拉罐)頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少?為什么?它們的形狀為什么是這樣的?第9頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六第10頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六示例:

可口可樂飲料罐的形狀找一個雪碧飲料罐具體測量一下:它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高:約為6厘米和12厘米.中間胖的部分的直徑約為6.6厘米,胖的部分高約為10.2厘米.可口可樂飲料罐上標明凈含量為355毫升(即355立方厘米).根據有關的數據,要求通過數學建模的方法來回答相關的問題.

第11頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六我們先看這樣的數學題:“用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形的無蓋(或有蓋)容器，問應當如何設計，才能使用料最省，這時圓柱的直徑和高之比為多少?”(一般數學分析或高等數學教材中導數的應用(極值問題)部分的一道例題).實際上,用幾何語言來表述就是:體積給定的圓柱體,其表面積最小的尺寸(半徑和高)為多少?

第12頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六表面積用S表示,體積用V表示,則,即圓柱的直徑和高之比為1:1第13頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六問題分析和模型假設飲料罐近似看成一個正圓柱是有一定合理性的.要求飲料罐內體積一定時,求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比.實際上,飲料罐的形狀是如下平面圖形繞其中軸線旋轉而成的立體.第14頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六模型的建立

飲料罐的半徑為(因此,直徑為),罐的高為.h罐內體積為.V除頂蓋外的材料的厚度.b頂蓋的厚度為(頂蓋就能感覺到更硬)其中,r,h是自變量,所用材料的體積SV是因變量,而b和V是固定參數,是待定參數第15頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六飲料罐側面所用材料的體積

罐內體積所用材料的體積頂蓋和底部所用材料第16頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六

因,所以帶,的項可以忽略,所以,

這是極其重要的合理假設或簡化!

其中是S目標函數,是約束條件,V是已知的(即罐內體積一定),即要在體積一定的條件下,求罐的體積最小的

r,h和使得r,h和測量結果吻合.這是一個求條件極值的問題.

第17頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六模型的求解從約束中解出一個變量,化條件極值問題為求一元函數的無條件極值問題使原問題化為:求使S最小,即,求r使下式最小.第18頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六求臨界點:令其導數為零得測量數據為,即即頂蓋厚度是其他材料厚度3倍

本題還可Lagrange乘子法來解(增加一個變量化條件極值問題為多元函數無條件極值問題)第19頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六模型驗證及進一步的分析

有人測量過頂蓋的厚度確實為其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半徑為3厘米,則其體積為裝不下那么多飲料，為什么？模型到底對不對？第20頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六實際上,飲料罐的形狀是左平面圖形繞其中軸線旋轉而成的立體.可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為3厘米,下底半徑為3.3厘米,高為1厘米的錐臺,二是半徑為3.3厘米,高為10.2厘米的圓柱體.它們的體積分別為31.2立方厘米和349立方厘米總共為380.2立方厘米.測量結果為:未打開罐時飲料罐的重量為370克,倒出來的可樂確實重355克,空的飲料罐重量為15克,裝滿水的飲料罐重量為380克.這和我們的近似計算380.2立方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料(365克),而是留有10立方厘米的空間余量.第21頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六進一步討論此外,諸如底部的形狀,上拱的底面,頂蓋實際上也不是平面的,略有上拱,頂蓋實際上是半徑為3+0.4+0.2=3.6平方厘米的材料沖壓而成的,從頂蓋到胖的部分的斜率為0.3,這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐壓.所有這些都是物理、力學、工程或材料方面的要求,必須要有有關方面的實際工作者或專家來確定.因此,我們也可以體會到真正用數學建模的方法來進行設計是很復雜的過程,只依靠數學知識是不夠的,必須和實際工作者的經驗緊密結合.第22頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六

1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數據資料。

2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。

3.在所作假設的基礎上，利用適當的數學工具去刻劃各變量之間的關系，建立相應的數學結構建模——即建立數學模型。

4.模型求解。

5.模型的分析與檢驗。

在難以得出解析解時，也應當借助計算機求出數值解。

數學建模的一般步驟第23頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六模型評價模型應用模型檢驗第24頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六應用領域人口,生態,交通,環境,經濟等數學方法初等數學,網絡,微分方程,運籌,隨機模型等表現特性描述,分析,預報,決策,控制等建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態和動態線性和非線性離散和連續1.4數學模型的分類第25頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六①數學建模實踐的每一步中都蘊含著能力上的鍛煉，在調查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數據處理能力等。在提出假設時，又需要用到想象力和歸納簡化能力。②在真正開始自己的研究之前，還應當盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作成為別人研究工作的繼續而不是別人工作的重復，你可以把某些已知的研究結果用作你的假設，去探索新的奧秘。因此我們還應當學會在盡可能短的時間內查到并學會想應用的知識的本領。③還需要你多少要有點創新的能力。這種能力不是生來就有的，建模實踐就為你提供了一個培養創新能力的機會。1.5

數學建模與能力的培養開設數學建模課的主要目的為了提高學生的綜合素質，增強應用數學知識解決實際問題的本領。撰寫論文的初步方法.數學建模與其說是一門技術,不如說是一門藝術.

技術大致有章可循,藝術無法歸納成普遍適用的準則.第26頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六1雨中行走2實物交換3汽車剎車距離4公平的席位分配5發射衛星為什么用三級火箭系統?1.6

初等方法建模第27頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六一個雨天，你有件急事需要從家中到學校去，學校離家不遠，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時間去翻找雨具，決定碰一下運氣，頂著雨去學校。假設剛剛出發雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個似乎很簡單的事情是你應該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數學模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。1雨中行走第28頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六1建模準備建模目標：在給定的降雨條件下，設計一個雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風），路程的遠近，行走的速度2）降雨大小用降雨強度厘米/時來描述，降雨強度指單位時間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風速保持不變。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假設及符號說明1）把人體視為長方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來記。由于人身體的表面非常復雜,為了使問題簡化,假設將人視為長方體.第29頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六2）降雨大小用降雨強度厘米/時來描述，降雨強度指單位時間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風速保持不變。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。1）把人體視為長方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來記。2模型假設及符號說明由于人身體的表面非常復雜,為了使問題簡化,假設將人視為長方體.第30頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六3模型建立與計算1）不考慮雨的方向，此時，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積雨中行走的時間降雨強度模型中結論，淋雨量與速度成反比。這也驗證了盡可能快跑能減少淋雨量。第31頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六從而可以計算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經仔細分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實際。原因：不考慮降雨的方向的假設，使問題過于簡化。第32頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六2）考慮降雨方向。人前進的方向若記雨滴下落速度為（米/秒）雨滴的密度為雨滴下落的反方向表示在一定的時刻在單位體積的空間內，由雨滴所占的空間的比例數，也稱為降雨強度系數。所以，因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計算淋雨量。第33頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六頂部的淋雨量前表面淋雨量總淋雨量（基本模型）第34頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關。問題轉化為給定，如何選擇使得最小。情形1結果表明：淋雨量是速度的減函數，當速度盡可能大時淋雨量達到最小。假設你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得第35頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六情形2結果表明：淋雨量是速度的減函數，當速度盡可能大時淋雨量達到最小。假設你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得情形3此時，雨滴將從后面向你身上落下。第36頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六出現這個矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對雨從你的前面落到身上情形。因此，對于這種情況要另行討論。當行走速度慢于雨滴的水平運動速度，即這時，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨總量為第37頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六再次代如數據，得結果表明：當行走速度等于雨滴下落的水平速度時，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角從背后落下，你應該以此時，淋雨總量為這意味著你剛好跟著雨滴前進，前后都沒淋雨。第38頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六當行走速度快于雨滴的水平運動速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是淋雨總量為若雨是迎著你前進的方向向你落下,這時的策略很簡單,應以最大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下,你應控制你在雨中的行走速度,讓它剛好等于落雨速度的水平分量。第39頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數量。設交換前甲占有X的數量為x0,乙占有Y的數量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內任一點p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2實物交換第40頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對甲是無差別的，MN將所有與p1,p2無差別的點連接起來，得到一條無差別曲線MN,線上各點的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線M1N1上。于是形成一族無差別曲線（無數條）。第41頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六p1.p2.c1y0xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質：單調減(x增加,y減小)下凸(凸向原點)互不相交在p1點占有x少、y多，寧愿以較多的y換取較少的x;在p2點占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）第42頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六xyOg(x,y)=c2c2乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質（形狀可以不同）雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標系x’O’y’,且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因為在AB外的任一點p’,(雙方)滿意度低于AB上的點p兩族曲線切點連線記作AB第43頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六ABp交換方案的進一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形內任一點交換路徑AB雙方的無差別曲線族等價交換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點的連線CDAB與CD的交點p設X單價a,Y單價b,則等價交換下ax+by=s(s=ax0+by0)yyo0xo..x第44頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六美國的某些司機培訓課程中的駕駛規則：背景與問題正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時，后面與前車的距離應增一個車身的長度。實現這個規則的簡便辦法是“2秒準則”：后車司機從前車經過某一標志開始默數

2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規則是否一樣；建立數學模型，尋求更好的駕駛規則。3汽車剎車距離第45頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六問題分析常識：剎車距離與車速有關10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規則不同剎車距離反應時間司機狀況制動系統靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動力與車質量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數反應距離制動距離常數第46頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六假設與建模1.剎車距離d等于反應距離d1與制動距離d2之和2.反應距離d1與車速v成正比3.剎車時使用最大制動力F，F作功等于汽車動能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應時間且F與車的質量m成正比第47頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六反應時間t1的經驗估計值為0.75秒參數估計利用交通部門提供的一組實際數據擬合k模型最小二乘法k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時)(英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3第48頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六“2秒準則”應修正為“t秒準則”模型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234第49頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席。現因學生轉系，三系人數為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4總和200100.020.020系別學生比例20席的分配人數（%）比例結果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結果10.815116.61573.570321.000214公平的席位分配第50頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六“公平”分配方法衡量公平分配的數量指標人數席位A方p1

n1B方p2n2當p1/n1=p2/n2時，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對不公平A

p1/n1–p2/n2=5第51頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六公平分配方案應使rA

,rB

盡量小設A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問應分給A,還是B不妨設分配開始時p1/n1>p2/n2，即對A不公平~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉化為動態的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義第52頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應計算rB(n1+1,n2)應計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應給應討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應給B第53頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六當rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q值方法計算，第54頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六三系用Q值方法重新分配21個席位按人數比例的整數部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系第55頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六構造數學模型，說明為什么不能用一級火箭而必須用多級火箭來發射人造衛星？為什么一般都采用三級火箭系統？1、為什么不能用一級火箭發射人造衛星?

（1）衛星能在軌道上運動的最低速度假設：（i）衛星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛星在此軌道上作勻速圓周運動。（ii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球對衛星的引力忽略不計。分析：根據牛頓第三定律，地球對衛星的引力為:在地面有:得:k=gR2

R為地球半徑，約為6400公里故引力:假設(ii)5為什么要用三級火箭發射人造衛星第56頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六dmm-dmvu-v假設(i)衛星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心力故又有:從而:設g=9.81米/秒2，得:

衛星離地面高度

(公里)衛星速度

(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推進力及速度的分析假設：火箭重力及空氣阻力均不計分析：記火箭在時刻t的質量和速度分別為m(t)和υ(t)有：記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為u（常數），由動量守恒定理：υ0和m0一定的情況下，火箭速度υ(t)由噴發速度u及質量比決定。

故：由此解得：(3.11)

第57頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六（2）火箭推進力及速度的分析現將火箭——衛星系統的質量分成三部分：（i）mP（有效負載，如衛星）（ii）mF（燃料質量）（iii）mS（結構質量——如外殼、燃料容器及推進器）。最終質量為mP+mS

，初始速度為0，所以末速度：根據目前的技術條件和燃料性能，u只能達到3公里/秒，即使發射空殼火箭，其末速度也不超過6.6公里/秒。目前根本不可能用一級火箭發射人造衛星火箭推進力在加速整個火箭時，其實際效益越來越低。如果將結構質量在燃料燃燒過程中不斷減少，那么末速度能達到要求嗎？第58頁，共63頁，2023年，2月20日，星期六2、理想火箭模型假設：記結構質量mS在mS+mF中占的比例為λ，假設火箭理想地好，它能隨時拋棄無用的結構，即結構質量與燃料質量以λ與（1-λ）的比例同時減少。建模:

由

得到：解得：

理想火箭與一級火箭最大的區別在于，當火箭燃料耗盡時，結構質量也逐漸拋盡，它的最終質量為mP，所以最終速度為：

只要m0足夠大，我們可以使衛星達到我們希望它具有的任意速度。考慮到空氣阻力和重力等因素，估計（按比例的粗略估計）發射衛星要使υ=10.5公里/秒才行