數學模型-概論第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六引論第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六原型model指為了某個特定的目的將原型的某一部分信息簡縮、提煉而構造的原型替代物。Prototype指人們在現實世界里關心、研究或者從事生產、管理的實際對象。在科技領域通常使用系統（system）、過程(process)等詞匯。模型與第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六模型物質模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直觀模型、物理模型…思維模型、符號模型、數學模型…第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六數學模型

“數學模型是關于部分現實世界為一定目的而作的抽象、簡化的數學結構。”更簡潔地，也可以認為“數學模型是用數學術語對部分現實世界的描述。”——本德（E.A.Bender）第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六一般地說，數學模型可以描述為：

對于現實世界地一個特定對象，為了一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學模型第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六

甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順水航行需要30h，從乙到甲逆水航行需要50h，問船速、水速各是多少？解方程組用x，y分別代表船速和水速，得方程第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六描述性的數學模型解釋性的數學模型按照人們對原型的認識過程分為類分第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六人口模型交通模型電氣系統模型通信系統模型機電系統模型環境模型傳染病模型水資源模型再生資源利用模型污染模型…生態模型按照模型的應用領域分為

類分第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六幾何模型代數模型圖論模型規劃論模型微分方程模型最優控制模型信息模型隨機模型決策與對策模型模擬模型…按照建立模型的數學方法分為

類分第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六靜態模型和動態模型……確定性模型和隨機模型離散模型和連續性模型線性模型和非線性模型按照模型的特征分為

類分第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六白箱模型灰箱模型黑箱模型按照對模型結構的了解程度分為

類分第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六作用預報與決策：

生產過程中產品質量指標的預報、氣象預報、人口預報、經濟增長預報等等，都要有預報模型；使經濟效益最大的價格策略、使費用最少的設備維修方案，都是決策模型的例子。控制與優化

電力、化工生產過程的最優控制、零件設計中的參數優化，要以數學模型為前提。建立大系統控制與優化的數學模型，是迫切需要和十分棘手的課題。

分析與設計

例如描述藥物濃度在人體內的變化規律以分析藥物的療效；建立跨音速流和激波的數學模型，用數值模擬設計新的飛機翼型。規劃與管理

生產計劃、資源配置、運輸網絡規劃、水庫優化調度，以及排隊策略、物資管理等，都可以用數學規劃模型解決。第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六局限技藝條理非預制可轉移強健漸近折衷逼真性和可行性

建模時往往需要在模型的逼真性和可行性，“費用”與“效益”之間作出折衷和選擇。數學模型的特點第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六折衷局限技藝條理非預制可轉移強健漸近漸近性稍微復雜一些的實際問題的建模通常不可能一次成功，要經過建模過程的反復迭代，包括由簡到繁，也包括刪繁就簡，以獲得越來越滿意的模型。數學模型的特點第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六漸近折衷局限技藝條理非預制可轉移強健強健性

一個好的模型應該具有下述意義的強健性：當模型假設改變時，可以導出模型結構的相應變化；當觀測數據有微小改變時，模型參數也只有相應的微小的變化。數學模型的特點第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六強健漸近折衷局限技藝條理非預制可轉移可轉移性

一個模型時現實對象抽象化、理想化的產物，它不為對象的所屬領域所獨有，可以轉移到另外的領域。在生態、經濟、社會等領域內建模就常常借用物理領域中的模型。數學模型的特點第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六可轉移強健漸近折衷局限技藝條理非預制非預制性

模型的非預制性使得建模本身常常是事先沒有答案的問題（Open-end-problem）。在建立新的模型的過程中甚至會伴隨著新的數學方法或者概念的產生。

數學模型的特點第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六非預制可轉移強健漸近折衷局限技藝條理條理性

從建模的角度考慮問題可以促使人們對現實對象的分析更全面、更深入、更具有條理性。數學模型的特點第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六條理非預制可轉移強健漸近折衷局限技藝技藝性

從建模的方法無法歸納出若干條普遍適用的建模準則和技巧。經驗、想象力、洞察力、判斷力以及直覺、靈感等在建模過程中起的作用往往比一些具體的數學知識更大。數學模型的特點第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六技藝條理非預制可轉移強健漸近折衷局限局限性

1.當結論應用于實際問題，就回到的現實世界，那些被忽視、簡化的因素必須考慮，所以結論的通用性和精確性只是相對的和近似的。

2.由于人們認識能力和科學技術發展水平的限制，還有不少實際問題很難得到有實用價值的數學模型。

3.還有些領域中的問題今天尚未發展到用建模的方法尋求數量規律的階段，如中醫診斷過程。數學模型的特點第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六開設目的對數學教育而言，既應該讓學生掌握準確快捷的計算方法和嚴密的邏輯推理，也需要培養學生用數學工具分析解決實際問題的意識和能力。傳統的數學教學體系和內容偏重于前者，開設數學建模課程則是加強后者的一種嘗試。

第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六商人過河

建模示例之

三名商人各帶一個隨從乘船渡河，一只小船只能容納兩人，由他們自己劃船。隨從們密約，在河的任何一岸，一旦隨從的人數比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權掌握在商人們手中。商人們怎么樣才能安全渡河呢?第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六分析：

安全渡河問題可以視為一個多步決策過程。每一步，即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回此岸，都要對船上的人員（商人、隨從各幾人）作出決策，在保證安全的前提下（兩岸的隨從數都不比商人數多），在有限步內使全部人員過河。用狀態（變量）表示某一岸的人員狀況，決策（變量）表示船上的人員狀況，可以找出狀態隨決策變化的規律。問題轉化為在狀態的允許變化范圍內（即安全渡河條件），確定每一步的決策，達到渡河的目的。第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六模型構成

記第次渡河前此岸的商人數，隨從數為.將二維向量定義為狀態。安全渡河條件下的狀態集合成為允許狀態集合，記做.

第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六模型構成

記第次渡河渡船上的商人數，隨從數為.將二維向量定義為決策。允許狀態集合，記做.由小船的容量可知

因為為奇數時船從此岸駛向彼岸，為偶數時船由彼岸駛回此岸，所以狀態隨決策變化的規律是，稱之為狀態轉移律。第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六這樣制訂安全渡河方案歸結為如下的多步決策模型：

求決策，使狀態 按照轉移律，由初始狀態經有限步到達狀態。模型構成

第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六O123xy321模型求解

在商人和隨從人數不大的簡單情況，用圖解法比較簡便。第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六

這里講述的是一種規格化的方法，所建立的多步決策模型可以用計算機求解，從而具有推廣的意義。譬如，當商人和隨從人數增加或小船的容量加大時，靠邏輯思考就困難了，而用這種模型則仍可方便的求解。適當地設置狀態和決策，確定狀態轉移律，建立多步決策模型，是有效地解決很廣泛的一類問題的方法。評注第29頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六差分方程建模比例性、幾何相似性模型擬合實驗建模模擬方法建模量綱分析和相似性離散模型的優化圖論建模離散概率模型微分方程模型函數