專題08：勾股定理（中考真題專練）

一、單選題

1.（2011.四川廣安市.中考真題）如圖，圓柱的底面周長為6cm,AC是底面圓的直徑，高BC=6cm,點P

2

是母線BC上一點，且PC=-BC.一只螞蟻從A點出發沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是（）

A.—jcmB.5cmC.3-75cmD.7cm

【答案】B

2?

【分析】首先畫出圓柱的側面展開圖,根據高BC=6ctn,PC=-BC,求出PC=-x6=4cm,在Rtz2sACP中,

33

根據勾股定理求出AP的長.

【解答】解：側面展開圖如圖所示，

?.?圓柱的底面周長為6cm,

AC-3cm,

2

,:PC'=-BC',

3

2

:.PC'=—x6=4cm,

3

在RtAACP中，

AP2=AC'2+CP2,

???AP=732+42=5-

故選B.

【點評】本題考查勾股定理.

2.（2013?貴州黔西南布依族苗族自治州?中考真題）有一個直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊的

1

長為（）

A.5B.幣C.5/5D.5或近

【答案】D

【分析】分4是直角邊、4是斜邊，根據勾股定理計算即可.

【解答】當4是直角邊時，斜邊=療了不=5,

當4是斜邊時，另一條直角邊=742—32=e,

故選：D.

【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么a2+b?=c2.

3.（2019?湖南永州市?中考真題）如圖，四邊形A2C。的對角線相交于點。，且點。是8。的中點，若43

=40=5,BD=8,NABD=NCDB,則四邊形48C。的面積為（）

A.40B.24C.20D.15

【答案】B

【分析】根據等腰三角形的性質得到ACLBD,ZBAO=ZDAO,得到AD=CD,推出四邊形ABCD是菱形,

根據勾股定理得到AO=3,于是得到結論.

【解答】點。是8D的中點，

J.ACLBD,ZBAO^ZDAO,

:NABD=NCDB,

J.AB//CD,

NBAC=ZACD,

：.ZACD,

：.AD=CD,

：.AB=CD,

四邊形ABC。是菱形，

?.?A8=5,BO」BD=4,

2

；.AO=3,

2

.\AC=2AO=69

：.四邊形ABCD的面積=-x6x8=24,

2

故選B.

【點評】本題考查了菱形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，正確的識別圖

形是解題的關鍵.

4.（2019?湖南益陽市?中考真題）己知M、N是線段AB上的兩點，AM=MN=2,NB=1,以點A為圓心,

AN長為半徑畫弧；再以點B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點C,連接AC,BC,則4ABC一定是

（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】依據作圖即可得到AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+I=5,進而得到AC?+BC2=AB2,即可

得出AABC是直角三角形.

【解答】如圖所示，AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+l=5,

.\AC2+BC2=AB2,

.?.△ABC是直角三角形，且NACB=90。，

故選B.

【點評】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個三角

形就是直角三角形.

5.（2019?河南中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,N￡>=90°，4）=4,BC=3.分別

以點A,C為圓心，大于‘AC長為半徑作弧，兩弧交于點E,作射線BE交AD于點F,交AC于點O.若

2

點O是AC的中點，則CD的長為（）

3

E,

B

A.25/2B.4C.3D.V10

【答案】A

【分析】連接FC,根據基本作圖，可得OE垂直平分AC,由垂直平分線的性質得出AE=FC.再根據ASA

證明ATQA三ABOC,那么AF=BC=3,等量代換得至UFC=A尸=3,利用線段的和差關系求出

FD=AD-AF^\.然后在直角AFPC中利用勾股定理求出CD的長.

■：AD1/BC,

：.NFAO=NBCO.

在AFQ4與ABOC中，

ZFAO=ZBCO

<OA^OC,

NAOF=4C0B

\FOA=ABOC(ASA),

.?.AF=BC=3,

..FC=AF=3,FD=AD-AF=4-3=1.

在AFOC中，???N￡>=90,，

4

CD2+DF2=FC2，

.-.CD2+12=32.

CD=2V2.

故選A.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性

質，難度適中.求出CF與DF是解題的關鍵.

6.（2019?海南中考真題）如圖，在RtAABC中，ZC=90".AB=5,3C=4.點尸是邊AC上一動點,

過點P作尸。〃AB交BC于點Q,。為線段P。的中點，當8。平分NA8C時，AP的長度為（）

【答案】B

【分析】根據勾股定理求出AC,根據角平分線的定義、平行線的性質得到NQBD=ZBDQ,得到QB=QD,

根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可.

【解答】解：?.?NC=90°，AB=5,BC=4,

.?.AC=，AB2-BC2=3,

?/PQ//AB,

ZABD=ZBDQ,又NASD=/QBD,

：.4QBD=4BDQ,

?.QB=QD,

：.QP=2QB,

???PQ//AB,

5

:.\CPQ\}\CAB,

CPCQPQgnCP4-QB2QB

CACBAB345

24

解得，CP=一,

13

AP=CA—CP=——,

13

故選B.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

7.（2011.貴州遵義市?中考真題）如圖，在直角三角形ABC中（NC=90。），放置邊長分別3,4,x的三個

正方形，則x的值為（）

A.5B.6

C.7D.12

【答案】C

【分析】根據已知條件可以推出△CEFs^MOEs/^PFN然后把它們的直角邊用含X的表達式表示出來,

利用對應邊的比相等，即可推出X的值.

【解答】△CEFsaMOEs/\PFN

3x—3

=,

x-4----4

解得：x=0（舍）,x=7,

故選C.

【點評】本題考查相似三角形的性質，在圖形中找到相似二角形是解題的關鍵.

6

8.（2008?廣東深圳市?中考真題）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分線

DE交BC的延長線于點E,則CE的長為（）

33

A.-B.一D.2

224

【答案】B

【解析】設CE=x,連接AE,由線段垂直平分線的性質可知AE=BE=BC+CE,在Rt三角形ACE中，利用

勾股定理即可求出CE的長度.

解:設CE=x,連接AE,

VDE是線段AB的垂直平分線,

AE=BE=BC+CE=3+x,

二在Rt三角形ACE中,AE2=AC2+CE2,即(3+x)2=42+x2,

號

解得x=±.

幅

故答案為B

9.（2010?云南曲靖市?中考真題）如圖是一張直角三角形的紙片,兩直角邊AC=6cm、BC=8cm,現將△

ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE,則BE的長為（）

C.6cmD.10cm

【答案】B

【解析】???直角邊AC=6cm、BC=8cm,根據勾股定理可知:BA=^62+82=10

VA,B關于DE對稱，JBE=10：2=5

7

10.（2016?內蒙古中考真題）如圖，RtAABC中，AB=9,BC=6,ZB=90°,將AABC折疊，使A點與BC

的中點D重合，折痕為MN,則線段BN的長為（）

【答案】C

【解析】試題分析：設BN=x,由折疊的性質可得DN=AN=9—x,

是BC的中點，

，BD=3,

在RtZXBDN中，x2+32=（9-x）2,

解得x=4.

故線段BN的長為4.

故選C.

考點：翻折變換（折疊問題）.

二、填空題

11.（2019?貴州黔東南苗族侗族自治州?中考真題）如圖，點E在正方形ABC。的邊A3上，若EB=1,

EC=2,那么正方形ABC。的面積為一

【答案】3.

【分析】根據勾股定理求出BC,根據正方形的面積公式計算即可.

【解答】解：由勾股定理得，BC=7EC2-EB2=+,

8

正方形ABC。的面積=BO?=3,

故答案為3.

【點評】本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么a?+b2=c2.

12.（2019?黑龍江中考真題）我國古代數學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個

小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）.如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形

的兩直角邊長分別為。、b,那么（a-與2的值是.

【答案】1.

【解析】【分析】根據勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可

得到ab的值，然后根據（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解.

【解答】解：根據勾股定理可得a?+b2=13,

四個直角三角形的面積是：

-abx4=13-l=12,即：2ab=12,

2

則（a-b）2=a2-2ab+b2=13-12=1.

故答案為：1.

【點評】本題考查勾股定理，以及完全平方式，正確根據圖形的關系求得a2+b2和ab的值是關鍵.

13.（2019?北京中考真題）如圖所示的網格是正方形網格，則。（點A,B,P是

網格線交點）.

?-----r

【答案】45.

【分析】延長AP交格點于D,連接BD,根據勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5,PB2=l2+32=10,求得

PD2+DB2=PB2,于是得到NPDB=90。，根據三角形外角的性質即可得到結論.

【解答】解：延長AP交格點于D,連接BD,

9

則PD2=BD2=l+22=5,PB2=12+32=10,

/.PD2+DB2=PB2,

ZPDB=90°,

即4PBD為等腰直角三角形，

,ZDPB=ZPAB+ZPBA=45°,

故答案為45.

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性質，等腰直角三角形的判定和性質,

正確的作出輔助線是解題的關鍵.

14.（2014?四川達州市?中考真題）如圖，折疊矩形紙片ABCD,使點B落在邊AD上，折痕EF的兩端分

別在AB、BC上（含端點），且AB=6cm,BC=10cm.則折痕EF的最大值是_cm.

I答案煤

【解析】試題分析：點F與點C重合時，折痕EF最大,

由翻折的性質得，BC=B,C=10cm,

在RtaBDC中，B-D=^B'C1-CD1=V102-62=8cm，

...AB'=AD-B'D=10-8=2cm,

設BE=x,則B，E=BE=x,

AE=AB-BE=6-x,

在RlAAB(E中，AE2+AB'2=B'E2,

10

即(6-x)2+22=x2,

解得x=3,

3

10[2=頌四

在RtZiBEF中,EF=7BC2+BF2=JIO2+

3

故答案是幽e.

3

考點：翻折變換（折疊問題）.

15.（2013?福建莆田市?中考真題）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角

形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2,5,1,2.則最大的正方形E的面積是一.

【答案】10

【解析】試題分析:如圖，根據勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為Si,C、D的面積和為S2,Si+S2=S3,

?.?正方形A、B、C、D的面積分別為2,5,1,2,

?.?最大的正方形E的面積S3=SI+S2=2+5+1+2=10.

16.（2013?內蒙古包頭市?中考真題）如圖，點E是正方形ABCD內的一點，連接AE、BE、CE,將4ABE

繞點B順時針旋轉90。到△CBE，的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,貝lJ/BE，C=_度.

11

【解析】試題分析：如圖，連接EE，,

E'

?將AABE繞點B順時針旋轉90。到ACBE，的位置，AE=1,BE=2,CE=3,

二NEBE，=90。，BE=BE,=2,AE=E,C=1.

，EE，=2&,ZBEfE=45°.

E'E2+E'C2=8+1=9,EC2=9....E'E2+E'C2=EC2.

.?.△EE，C是直角三角形，：.ZEE'C=90°.，NBE，C=135。.

17.(2015?江蘇蘇州市?中考真題)如圖，四邊形ABCD為矩形，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延

長線于點E,取BE的中點F,連接DF,DF=4.設AB=x,AD=y,則f+(y—4)?的值為.

【答案】16

【解析】試題分析：根據題意知點F是Rt^BDE的斜邊上的中點，因此可知DF=BF=EF=4,根據矩形的性

質可知AB=DC=x,BC=AD=y,因此在RtZXCDF中，C￡>2=。尸2,即/十⑷一?=42=儕，因此

可求f+(y-4)2=16.

12

考點：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和，矩形的性質，勾股定理

18.（2011?云南曲靖市?中考真題）已知直角三角形的兩邊長分別為3、4.則第三邊長為.

【答案】5或不

【解析】試題分析：已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：

①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時：第三邊的長為：爐予=療；

②長為3、4的邊都是直角邊時：第三邊的長為：次+32=5；

.?.第三邊的長為：近或5.

考點：1.勾股定理；2.分類思想的應用.

19.（2011?貴州遵義市?中考真題）.如圖，圓柱底面半徑為2cm,高為945?，點A、8分別是圓柱兩底面

圓周上的點，且A、6在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B,求棉線最短為cm.

【答案】15兀

【分析】將圓柱體展開，然后利用兩點之間線段最短解答即可.

【解答】圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B的運動最短路線是：

AC-CD-DB；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對

角線運動到B的路線最短；

?.?圓柱底面半徑為2cm,

二長方形的寬即是圓柱體的底面周長：2兀*2=4兀cm；

又?圓柱高為9兀cm,

工小長方形的?一條邊長是3兀cm；

根據勾股定理求得AC=CD=DB=5兀cm；

AC+CD+DB=15兀cm；

13

B

故答案為15K.

【點評】本題主要考查r圓柱的計算、平面展開-路徑最短問題.圓柱的側面展開圖是一個長方形，此長方

形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高.本題就是把圓柱的側面展開成長方形，“化曲面為平

面“，用勾股定理解決.

20.（2012?山東青島市?中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm,在杯內離杯底4cm

的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜

的最短距離為cm.

廠------->

螞蟻//\

\

\

''C逢蜜

【答案】15.

【分析】過C作CQ±EF于Q,作A關于EH的對稱點A\連接AC交EH于P,連接AP,則AP+PC就

是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，求出A，Q,CQ,根據勾股定理求出A（即可.

【解答】沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH,

過C作CQLEF于Q,作A關于EH的對稱點A，，連接AC交EH于P,連接AP,則AP+PC就是螞蟻到

達蜂蜜的最短距離，

14

???AP+PC=A'P+PC=AC,

CQ=；x18cm=9cm,A'Q=12cm-4cm+4cm=l2cm,

在RtaAQC中，由勾股定理得：A(C=7122+92=15cm,

故答案為15.

三、解答題

21.(2019?河北中考真題)已知：整式A=(〃2_l)，(2")2,整式B>0.

嘗試：化簡整式A.

發現：4=^2,求整式3.

聯想:由上可知，B2=(n2-l)2+(2n)2.當〃>1時，〃28為直角三角形的三邊長，如圖.填寫下表

中3的值:

n2-1

直角三角形三邊n2-\2nB

勾股數組I/8—

勾股數組n35/—

【答案】嘗試：A=(1+l)2；發現：B=n2+1;聯想：17,37.

【分析】先根據完全平方公式和整式的混合運算法則求出A,進而求出8,再把〃的值代入即可解答.

【解答】4=(n2-I)2+(2w)2=〃4-2"+1+4〃2=〃4+2/+]=(?2+|)2.

,:A=B2,8>0,:.B=n2+1,當2/1=8時，〃=4,/./?2+1=42+1=17：

15

當"2-]=35時,“2+1=37.

故答案為17；37.

【點評】本題考查了勾股數的定義.掌握勾股數的定義是解答本題的關鍵.

22.（2019?內蒙古呼和浩特市?中考真題）如圖，在口A3C中，內角A、B、。所對的邊分別為a、b、c.

（1）若a=6,Q8,c=12,請直接寫出NA與￡）3的和與NC的大小關系；

（2）求證：口ABC的內角和等于180。；

（3）若a=.S+“c），求證：DAbC是直角三角形.

a—b+cc

【答案】（1）ZA+ZB<ZC；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【分析】（1）根據三角形中大角對大邊，即可得到結論；

（2）畫出圖形，寫出已知，求證；過點A作直線MN〃BC,根據平行線性質得出NMAB=NB,ZNAC=

NC,代入NMAB+NBAC+/NAC=l80。即可求出答案：

（3）化簡等式即可得到a2+c2=b?,根據勾股定理的逆定理即可得到結論

【解答】（1A.?在「ABC中，a=6,b=8,c=12,

"A+4V/C；

（2）如圖，過點A作MN//BC，

?.-MN//BC,

.?.NMAB=NB,/NAC=N“C（兩直線平行，同位角相等）,

?.?/MAB+/BAC+/NAC=180°（平角的定義），

.?./B+/BAC+NC=180°（等量代換），

即：：.角形三個內角的和等于180°；

16

⑶..a；(a+b+c),

a-b+cc

ac=5(a+b+c)(a-b+c^=—+2ac+c")—b-J1

/.2ac=a2+2ac+c2-b2，

/.a2+c2=b2>

.?□ABC是直角三角形.

【點評】本題考查了三角形內角和定理以及平行線的性質，根據證明過程運用轉化思想是解題的關鍵.

23.(2014?湖南湘潭市?中考真題)如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道.為了加快施工進度，想

在小山的另一側同時施工.為了使山的另一側的開挖點C在AB的延長線上，設想過C點作直線AB的垂

線L,過點B作一直線(在山的旁邊經過)，與L相交于D點，經測量NABD=135。，BD=800米，求直線L

上距離D點多遠的C處開挖？(揚1.414,精確到1米)

【答案】直線L上距離D點566米的C處開挖.

【解析】試題分析：根據條件證明ND=NDBC=45。，得出aBCD是等腰直角三角形，然后利用勾股定理可

得CD2+BC2=BD2計算即可.

試題解析：：CD，AC,

:.ZACD=90°,

VZABD=135°,

NDBC=45°,

ZD=45°,

；.CB=CD,

在RtADCB中：CD2+BC2=BD2,

2CD2=8002,

17

00=40072-566（米），

答：直線L上距離D點566米的C處開挖.

考點：勾股定理的應用.

24.（2018?甘肅天水市?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點E,ZBAC=90°,Z

CED=45。，/DCE=30。，DE=0,BE=2&.求CD的長和四邊形ABCD的面積.

【答案】噌

【分析】利用等腰直角三角形的性質得出EH=DH=1,進而得出再利用直角三角形中30。所對邊等于斜邊的

一半得出CD的長，求出AC,AB的長即可得出四邊形ABCD的面積.

VZCED=45°,DHJ_EC,DE=后，.\EH=DH.

VEH2+DH2=ED2,；.EH2=1.；.EH=DH=I.

乂：/DCE=30°,.\CD=2,HC=&.

VZAEB=45°,ZBAC=90°,BE=2及./.AB=AE=2.

，AC=2+1+G=3+G.

岫彩ABCD=/X2X（3+君）+V3xlx（3+>/3）=9+；曲.

25.（2013?湖南湘西土家族苗族自治州?中考真題）如圖，RtZXABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,DEI

AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

18

A

E

C"--------D----------------B

（1）求DE的長；

（2）求4ADB的面積.

【答案】（1）DE=3；（2）SMDB=15.

【分析】（1）根據角平分線性質得出CD=DE,代入求出即可；

（2）利用勾股定理求出AB的長，然后計算4ADB的面積.

【解答】（1）：AD平分NCAB,DE±AB,ZC=90°,

；.CD=DE,

VCD=3,

，DE=3：

22

（2）在Rt^ABC中，由勾股定理得：AB=A/AC2+BC2=76+8=10-

AADB的面積為S.=—AB-DE=—xlOx3=15.

△Acn"B2

26.（2011?湖南湘西土家族苗族自治州?中考真題）如圖，在4ABC中，ADLBC,垂足為D,ZB=60°,ZC=45°.

⑴求NBAC的度數.（2）若AC=2,求AD的長.

【答案】（1）ZBAC=75°

⑵

AD=V2-

【解析】試題分析：（1）根據三角形內角和定理，即可推出NBAC的度數:

（2）由題意可知AD=DC,根據勾股定理，即可推出AD的長度.

(1)ZBAC=180o-60°-45o=75°；

19

(2)VAD1BC,

二△ADC是直角三角形，

;/C=45°,

:.ZDAC=45°,

AAD=DC,

：AC=2,

:“黜=

考點：本題主要考查勾股定理、三角形內角和定理

點評：解答本題的關鍵是根據三角形內角和定理推出AD=DC.

27.(2018?浙江杭州市?中考真題)閱讀下列題目的解題過程：

已知a、b、c為AABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b3試判斷AABC的形狀.

解：*.*a2c2-b2c2=a4-b4(A)

:.c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)(B)

c2=a2+b2(C)

.?.△ABC是直角三角形

問：(1)上述解題過程，從哪一步開始出現錯誤？請寫出該步的代號：；

(2)錯誤的原因為：；

(3)本題正確的結論為：.

【答案】(1)C；(2)沒有考慮a=b的情況；(3)4ABC是等腰三角形或直角三角形.

【解析】【分析】(1)根據題目中的書寫步驟可以解答本題；

(2)根據題目中B到C可知沒有考慮a=b的情況；

(3)根據題意可以寫出正確的結論.

【詳解】(1)由題目中的解答步驟可得，

錯誤步驟的代號為：C,

故答案為C；

(2)錯誤的原因為：沒有考慮a=b的情況，

故答案為沒有考慮a=b的情況；

(3)本題正確的結論為：AABC是等腰三角形或直角三角形，

故答案為4ABC是等腰三角形或宜角三角形.

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【點睛】本題考查因式分解的應用、勾股定理的逆定理，解答本題的關鍵是明確題意，寫出相應的結論，

注意考慮問題要全面.

28.（2018?臺灣中考真題）嘉嘉參加機器人設計活動，需操控機器人在5x5的方格棋盤上從A點行走至B

點，且每個小方格皆為正方形，主辦單位規定了三條行走路徑Ri,RZ,R3,其行經位置如圖與表所示：

路徑編號圖例行徑位置

第一條路徑Ri-A―>C->D―>B

第二條路徑R2A—E—D-F—B

第三條路徑R3一A-G—B

已知A、B、C、D、E、F、G七點皆落在格線的交點上，且兩點之間的路徑皆為直線，在無法使用任何工

具測量的條件下，請判斷Ri、R2、R3這三條路徑中，最長與最短的路徑分別為何？請寫出你的答案，并完

【答案】最長路徑為A-ETD-FTB；最短路徑為ATG—B,理由見解析.

【解析】分析：利用勾股定理分別計算出三條路徑的長，比較大小即可得.

詳解：第一條路徑的長度為爐手+爐丁'+廬手=2廂+0,

第二條路徑的長度為產+712+32+1+#+22=0+而+逐+1,

第三條路徑的長度為,4?+2?++32=2非+M,

?：2小+M<2^/10+72<>^+5/10+5/5+1.

最長路徑為A-E—D-F—B：最短路徑為A-G-B.

點睛：本題主要考查勾股定理的應用，解題的關鍵是根據勾股定理求得每條線段的長度.

29.（2014?青海西寧市?中考真題）課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖.

(1)求證：△ADCgZMDEB；

21

(2)從三角板的刻度可知AC=25cm,請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小(每塊磚的厚度相等).

【答案】(1)證明見解析；(2)5cm.

【分析】(1)根據題意可知AC=BC,ZACB=90°,AD±DE,BEXDE,進而得至U/ADC=NCEB=90°,再

根據等角的余角相等可得NBCE=NDAC,從而得到結論；

(2)根據題意得：AD=4a,BE=3a,根據全等可得DC=BE=3a,由勾股定理可得(4a)2+(3a)2=252,再

解即可.

【解答】(1)根據題意得：AC=BC,ZACB=90°,AD1DE,BE±DE,

.,.ZADC=ZCEB=90°,

.,.ZACD+ZBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,

二ZBCE=ZDAC,

在4ADC和4CEB中，

NADC=NCEB

<ADAC=ZBCE,

AC=BC

.,.△ADC^ACEB(AAS)；

(2)由題意得：AD=4a,BE=3a,

由(1)得：AADC絲ACEB,

，DC=BE=3a,

在RtZXACD中：AD2+CD2=AC2,

(4a)2+(3a)2=252,

Va>0,

解得a=5,

答：砌墻磚塊的厚度a為5cm.

考點1.：全等三角形的應用2.勾股定理的應用.

30.(2015?廣西貴港市?中考真題)已知：AABC是等腰三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC

為直角邊作等腰三角形PCQ,其中NPCQ=90。，探究并解決下列問題：

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(1)如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+百，PA=0,則:

①線段PB=,PC=

②猜想：PA2,PB2,PQ2三者之間的數量關系為

(2)如圖②，若點P在AB的延長線上，在(1)中所猜想的結論仍然成立，請你利用圖②給出證明過程;

叵或巫

【答案】(1)①巫,2；@AP2+BP2=PQ2■,(2)證明見試題解析；(3)

42

【解析】試題分析：

(1)①由已知條件求出AB的長，再減去PA就可得PB的長：如圖1,連接BQ,先證AAPC絲△BQC,

可得：BQ=AP=V2-/CBQ=/A=45。，由此可得aPBQ是直角三角形，即可計算出PQ=20，從而根據

△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2；

②由①中的證明可知：AP=BQ,APEQ是直角三角形，由此即可得到：PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；

(2)如圖2,連接PB,先證aAPC絲△BQC,得至I]BQ=AP,ZCBQ=ZA=45°,由此可得APEQ是直角三

角形，從而可得：PB?+BQ2=PB2+AP2=PQ2,即(1)中所猜想結論仍然成立；

(3)如圖3,分點P在點A、B之間和在點A、B的同側兩種情況討