《數(shù)學(xué)思想方法》綜合練習(xí)下三個重要階段、①潛意識階段,②明朗化階段,③深

一、填空題刻理解階段。

1.《九章算術(shù)》思想方法的特點是開放的歸11.數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，

納體系算法化的內(nèi)容模型化的方法。是數(shù)學(xué)中各個分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn),它表現(xiàn)為

2.古代數(shù)學(xué)大體可分為兩種不同的類型：一數(shù)學(xué)的各個分支互相滲透和互相結(jié)合的趨勢。

種是崇尚邏輯推理，以《幾何原本》為代表；一種是12.抽象的含義：取其共同的本質(zhì)屬性或特性,

長于計算和實際應(yīng)用，以《九章算術(shù)》為典范。-一舍去其非本質(zhì)的屬性或特性的思維過程

—+13.強(qiáng)抽象就是指，通過把一些新特性加入

3.在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué)，到某一概念中去而形成新概念的抽象過程。

而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的《幾何原14.菱形概念的抽象過程就是把一個新的特

住性：一組鄰邊相等,加入到平行四邊形概念中去，使平

4.《幾何原本》所開創(chuàng)的公理化方法不僅行四邊形概念得到了強(qiáng)化。

成為一種數(shù)學(xué)陳述模式，并且還被移植到其它學(xué)科，15.演繹法與歸納法被認(rèn)為是理性思維中兩種

并且促進(jìn)他們的發(fā)展。最重要的推理方法。

5.推動數(shù)學(xué)發(fā)展的因素重要有兩個：①實踐16.所謂類比，是指由一類事物所具有的某種

的需要，②理論的需要;數(shù)學(xué)思想方法的幾次突破就屬性，可以推測與其類似的事物也具有該屬性的一種

是這兩種需要的結(jié)果。推理方法;常稱這種方法為類比法，也稱類比推理。

6.變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是解析兒何,標(biāo)17.反例辯駁的理論依據(jù)是形式邏輯的矛盾

志是微積分O建。

7.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教18.在反例辯駁中，構(gòu)造一個反例必須滿足條

學(xué)的兩條主線。件（1）反例滿足構(gòu)成猜想的所有條件（2）反例與構(gòu)

8.隨機(jī)現(xiàn)象的特點是在一定條件下，也許成猜想的結(jié)論矛盾。

發(fā)生某種結(jié)果，也也許不發(fā)生某種結(jié)果。19.猜想具有兩個顯著特點：①具有一定的科

9.等腰三角形的抽象過程，就是把一個新的學(xué)性，②具有一定的推測性。

特性:兩邊相等,加入到三角形概念中去，使三角形概20.三段論是演繹推理的重要形式。三段論由

念得到強(qiáng)化。大前提、小前提、結(jié)論三部分組成。

10.學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有如21.化歸方法是指，把待解決的問題，通過某種

轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到?類已經(jīng)能解決或較易解決的問題33.化歸方法的三個要素是:化歸對象、化歸目

中，最終獲得原問題解答的一種方法。的、化歸途徑。

22.化歸方法的三個要素是化歸對象，化歸目34.根據(jù)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有潛意

的，化歸途徑。識、明朗化、深刻理解三個階段，可相應(yīng)地將小學(xué)數(shù)

23.在化歸過程中應(yīng)遵循的原則是簡樸化原學(xué)思想方法教學(xué)設(shè)計成多次孕育、初步理解、簡樸應(yīng)

則、熟悉化原則、和諧化原則。ffl三個階段。

24.在計算機(jī)時代，計算方法已成為與理論方35.數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能

法、實驗方法并列的第三種科學(xué)方法。力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂,它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)

25.算法具有下列特點:①有限性，②擬定性,能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。

③有效性。36.一個概括過程涉及比較、區(qū)分、擴(kuò)張和分

26.算法大體可以分為多項式算法和指數(shù)型近等幾個重要環(huán)節(jié)。

算法兩大類。37.算法的有效性是指假如使用該算法從它

27.勻速直線運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型是一次函數(shù)。的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，可以得到這一問題的對的解。

38.數(shù)學(xué)的研究對象大體可以提成兩類①研究

28.所謂數(shù)學(xué)模型方法是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決

數(shù)量關(guān)系，②研究空間形式。

問題的一般數(shù)學(xué)方法。

二、判斷題（只要答“是”或“否”）

29.分類必須遵循的原則是①不反復(fù)，②無漏

1.中國古代數(shù)學(xué)中使用的數(shù)學(xué)方法是演繹的方法。否

掉，③標(biāo)準(zhǔn)同一，按層次逐步劃分。

2.《幾何原本》是人類歷史上最早的演繹的公理化體

30.所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學(xué)問題

系。是

時，由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題

3.微積分的建立標(biāo)志著變量數(shù)學(xué)的誕生。是

的一種思想方法。

4、計算機(jī)是數(shù)學(xué)的發(fā)明物，又是數(shù)學(xué)的發(fā)明者。是

31.所謂特殊化是指在研究問題時，從對象的

5、抽象得到的新概念與表述本來的對象的概念之間一

一個給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個包含于該集合的較

定有種屬關(guān)系。否

小集合的思想方法。

6.抽象和概括是兩種完全不同的方法。否

32.面對一個問題，通過認(rèn)真的觀測和思考，通

7、一個數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的每一個命題都必須給出證

過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面入手：演繹

明。否

證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假，并

8、《九章算術(shù)》不涉及代數(shù)、幾何內(nèi)容。否

且進(jìn)一步修正或否認(rèn)此猜想。

公理或前面已證明的定理，并且引入的概念（除原始概念）

9、既沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法,也沒有不涉

也基本上符合邏輯上對概念下定義的規(guī)定，原則上不再依

及數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。是

賴其它東西.

10、數(shù)學(xué)模型方法在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域②此外.《幾何原本）回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生括有

關(guān)的應(yīng)用問題,對社會生活的各個領(lǐng)域來說也是封閉的.因

沒應(yīng)用。否

此，（幾何原本）是一個相對封閉的演繹體系.

11、在解決數(shù)學(xué)問題時，往往需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)

2,試對《九章算術(shù)》思想方法的一個特點“算法化的

思想方法才干取得效果。是

內(nèi)容”加以說明。

12、假如某一類問題存在算法,并且構(gòu)造出這個算法,

《九章算術(shù)》在每一章內(nèi)先列舉若干個實際問題,并對

就一定能求出該問題的精確解。否

每一個問題都給出答案，然后再給出“術(shù)”，作為一類問題

13、對同一數(shù)學(xué)對象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到

的共同解法。因此，內(nèi)容的算法化是《九章算術(shù)》思想方

不同的分類。是

法上的特點之一。

14、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)從屬數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，只要貫徹

3、簡述擬定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象的特點以及擬定性數(shù)學(xué)

通常的數(shù)學(xué)教學(xué)原則就可實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目的。否

的局限性。

15、由類比法推得的結(jié)論必然對的。否

答:擬定性現(xiàn)象特點:在一定條件下，其結(jié)果完全

16、有時特殊情況能與一般情況等價。是

被決定，或者完全肯定，或者完全否認(rèn)，不存在其他也

17、完全歸納法實質(zhì)上屬于演繹推理的范疇。是

許。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會發(fā)生某種結(jié)果,

18、古希臘的柏拉圖曾在他的學(xué)校門口張榜聲明：不

或者必然不會發(fā)生某種結(jié)果。

懂幾何的人不得入內(nèi)。這是由于他的學(xué)校里所學(xué)習(xí)的課程

隨即現(xiàn)象的特點：在一定條件下，也許發(fā)生某種結(jié)果，

要用到很多兒何知識。否

也也許不發(fā)生某種結(jié)果。

19、完全歸納法的一般推理形式是：

擬定數(shù)學(xué)的局限性:隨機(jī)現(xiàn)象并不是雜亂無章的現(xiàn)象，

設(shè)S={Ai,A2,------,An,-------}由于Ai具有

就個體而言，似乎沒什么規(guī)律存在，但當(dāng)同類現(xiàn)象大量出現(xiàn)

屬性p,A?具有屬性p,-An具有屬性p,因此推斷集合S中

時,在總體上卻呈現(xiàn)出一種規(guī)律性，但是擬定數(shù)學(xué)無法定量

的每一個對象都具有屬性P。否

地揭示這種規(guī)律性。

三、簡答題

4、簡述計算機(jī)在數(shù)學(xué)方面的三種新用途。

1、為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系？

答:第一，用來證明一些數(shù)學(xué)命題；第二,用來預(yù)測某些

①《幾何原本》以少數(shù)原始概念和公設(shè)、公理為基礎(chǔ),

數(shù)學(xué)問題的也許結(jié)果，第三,用來驗證某些數(shù)學(xué)問題的結(jié)果

運(yùn)用邏輯規(guī)則將當(dāng)時所知的幾何學(xué)中的重要命題（定理）全

的對的性.

都推出來，從而形成一個井然有序的整體.在這個體系中，

5、什么是數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性？法國的布爾巴基學(xué)派是如何

除了邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、

實現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一

答:所謂統(tǒng)一性，就是部分與部分、部分與整體之間的

協(xié)調(diào)一致。客觀世界具有統(tǒng)一性，數(shù)學(xué)作為描述客觀世界

的語言必然具有統(tǒng)一性。數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性時客觀世界統(tǒng)一性

的反映是數(shù)學(xué)中各個分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)。

說明

布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上建立了三個基本結(jié)構(gòu)

9、簡述數(shù)學(xué)建模的基本環(huán)節(jié)。

（即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)），然后根據(jù)不同條件，由

答:數(shù)學(xué)建模的方法和環(huán)節(jié)是：

這三個基本結(jié)構(gòu)交叉產(chǎn)生新的結(jié)構(gòu)。他們認(rèn)為整個數(shù)學(xué)或

弄清實際問題：涉及了解問題的實際背景知識，從

大部分?jǐn)?shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的不同加以分類，用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

中提取有關(guān)的信息，明確要達(dá)成的目的。

能統(tǒng)一整個數(shù)學(xué)，各個數(shù)學(xué)分支只是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)由簡樸道復(fù)

化簡問題：根據(jù)問題的特點和口的，做出某種核力的

雜，由一般向特殊發(fā)展的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)的不同分支是這些不同

假設(shè),舍棄一些次要因素，從而使問題得以化簡。

的結(jié)構(gòu)組成的，而這些結(jié)構(gòu)之間的錯綜復(fù)雜的聯(lián)系又把所

建模:在假設(shè)的基礎(chǔ)上,抓住重要因素和有關(guān)量之間

有的分支連成一個有機(jī)整體。因此可以說，布爾巴基學(xué)派用

的關(guān)系進(jìn)行抽象概括,運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具刻畫變量之

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)現(xiàn)實數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。

間的數(shù)量關(guān)系,建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

6、簡述數(shù)學(xué)抽象的特性。

求解：對所得的模型在數(shù)學(xué)上進(jìn)行推理或演算，求出

答:數(shù)學(xué)抽象有以下特性：

數(shù)學(xué)上的結(jié)果

⑴數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性；（2）數(shù)學(xué)抽象具有層次性：

檢查:把數(shù)學(xué)上的結(jié)論返回到實際問題中。若模型與

（3）數(shù)學(xué)抽象過程要憑借分析或直覺；（4）數(shù)學(xué)抽象不僅

實際比較溫和，則對所得結(jié)果給出實際含義，并進(jìn)行解

有概念抽象尚有方法抽象。

釋。倘若通過檢查與實際不符，就必須對所得模型加以

7、簡述化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

修正，反復(fù)前面的建模過程。

答：化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用至少有以下三個方

面：10、試用框圖表達(dá)用特殊化方法解決問題的一般過程。

（1）運(yùn)用化歸方法學(xué)習(xí)新知識，

（2）運(yùn)用化歸方法指導(dǎo)解題，

（3）運(yùn)用化歸方法整理知識結(jié)構(gòu).

8、簡述用MM方法解決實際問題的基本環(huán)節(jié)，并用框

圖加以表達(dá)。

MM方法解題的基本環(huán)節(jié)可用框圖表達(dá)為：

種屬性，得出其類似的事物也具有這種屬性的一種推

年/R測性的判斷,即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。

分式與分?jǐn)?shù)非常相似，只但是是用字母替代數(shù)而

11、簡述化歸方法的和諧化原則。

己，因此，我們可以猜想，分式與分?jǐn)?shù)在定義、基本性

答：和諧化是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的重要內(nèi)容之美與

質(zhì)、約分、通分、四則運(yùn)算等方面都是相應(yīng)相似的。

真在數(shù)學(xué)命題中一般是統(tǒng)一的。因此,我們在解題過

事實也如此。

程中，可根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論以及數(shù)、式、形

、什么是歸納猜想?并舉一個例子說明。

等的結(jié)構(gòu)特性，運(yùn)用和諧美去思考問題，獲得解題信16

答:人們運(yùn)用歸納法，得出對?類現(xiàn)象的某種一般性結(jié)

息,從而確立解題的總體思緒,達(dá)成以美啟真的作用。

識的一種推測性的判斷，即猜想,這種思想方法稱為歸納猜

12、什么是算法的有限性特點？試舉一個不符合算法

想。

有限性特點的例子。

答：算法的有限性是指:一個算法必須在有限步之內(nèi)終例如：人們在度量了很多圓的周長和半徑以后，發(fā)現(xiàn)他

止.

們的比值總是近似等于3.14,于是提出了圓周率是3.14

以十進(jìn)制小數(shù)的除法這個算法為例，如取數(shù)2和

3作為初始數(shù)據(jù)，則有2+3=0.6666-的猜想。這就是歸納猜想。

無論如何延續(xù)這個過程都不能結(jié)束，同時也不會17、簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一

出現(xiàn)中斷.因此，除法對于2和3這組數(shù)不符合算法

條原則的理由。

有限性特點.

答：由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識的背后，知識

13、簡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑。

教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法，但是假如不是故意識地把數(shù)學(xué)

答:數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)可以從以下三方面入手：

思想方法作為教學(xué)對象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，學(xué)生經(jīng)常只注意

（D用猜想學(xué)習(xí)新知識；（2）用猜想探究數(shù)學(xué)規(guī)律；

到處在表層的數(shù)學(xué)知識,而注意不到處在深層的思想方法。

（3）用猜想探索解題思緒。

因此,進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時必須以數(shù)學(xué)知識為載體,把

14、簡述特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

隱藏在知識背后的數(shù)學(xué)思想方法顯示出來，使之明朗化,才

答:特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用大體有以下四方面：

干通過知識教學(xué)過程達(dá)成思想方法教學(xué)之目的。

（1）運(yùn)用特殊值（圖形）解選擇題；

四、解答題

（2）運(yùn)用特殊化探求問題結(jié)論；（3）運(yùn)用特例檢查一般

1、運(yùn)用方程模型解應(yīng)用題時，其中最重要的是“設(shè)想

結(jié)果；（4）運(yùn)用特殊化探索解題思緒。

問題已經(jīng)解出”、“用兩種不同方式表達(dá)同一個量”、“方程

15、什么是類比猜想？并舉一個例子說明。

個數(shù)和未知量個數(shù)相等”這三個要點。這是為什么？請闡

答：人們運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某

述你的理解。

解答：”設(shè)想問題已經(jīng)解出”，即在列式時將未知量與②這些共同（或相似）的屬性應(yīng)是類比對象A與B的重

已知量同等對待。這是列方程中的一個重要思想，也是它要屬性；

優(yōu)于算術(shù)之處。在算術(shù)列式中，未知量只能列在等號左邊，③這些共同（或相似）的屬性應(yīng)涉及類比對象的不同方

且系數(shù)必須為1,已知量只能在等號右邊出現(xiàn)。已知量與未面,并且盡也許是多方面的；

知量的地位截然不同，因此列式比較困難。而在方程列式④可遷移的屬性d應(yīng)是和a1.aa-.a?屬于同一類型。

中，已知量與未知量處在同等地位，都可以在等號兩邊出現(xiàn),3、圓周角定理證明思緒如下：

于是列式就容易多了。將圓周角的兩邊所處的位置提成三種情況：①角的一

“用兩種不同方式表達(dá)同一量”，這是列方程的關(guān)鍵。邊落在直徑上；②角的兩邊在某一直徑的兩側(cè);③角的兩邊

所謂方程，其實就是用兩種不同的方法表達(dá)同一個量，并用在某一直徑的同側(cè)。如上圖所示。先對情況①進(jìn)行證明，

等號聯(lián)結(jié)起來。然后將情況②、③轉(zhuǎn)化為情況①分別進(jìn)行證明。最后得出

“方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等”，是為了得到擬定的圓周角定理對任意圓周角都成立的結(jié)論。

解。這里有個自由度的思想。當(dāng)方程個數(shù)少于未知量個數(shù)試具體分析上述證明中需要用到哪些數(shù)學(xué)思想方法。

時，就會出現(xiàn)不定方程（組）。這時方程（組）的解一般會有無解答：該證明中用到下面幾種數(shù)學(xué)思想方法：

窮多個。①將圓周角提成三種情況,用到分類方法；

2、（1）什么是類比推理？（2）寫出類比推理的表達(dá)形②先證明角恰有一邊在直徑上的特殊情況，用到特

式。（3）如何才干增長由類比得出的結(jié)論的可靠性？殊化方法；

解答：（1）類比推理是指，由一類事物所具有的某種③將其他兩種情況轉(zhuǎn)化為角恰有角恰有一邊在直

屬性，可以推測與其類