2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個到的概

率是（）

1111

A.-B.—C.-D.一

3456

2.已知定點6（-4,0）,乙（4,0）,N是圓O:/+y2=4上的任意一點，點片關于點N的對稱點為M，線段片M的

垂直平分線與直線F2M相交于點P,則點P的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

3.在AABC中，角A,8,C的對邊分別為"c,C=y,若加=/一布,。一6）,〃=（a-仇c+后），且力A，

則AABC的面積為（）

Aa9G38H

A.3BR.--------Cr.------nD.3J3

22

4.已知i為虛數單位，若復數二=界+1,則胃=

2-1

9

A.-+iB.1-i

5

C.1+iD.-i

5.在］1+，］（2》+1）3展開式中的常數項為（）

6.設等比數列｛a“｝的前?項和為S“，貝!］“4+4<2%，，是“S2,-<?！钡模?/p>

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

7.設集合A={x|x>0},S={x|log2(3x-1)<2},則().

A.AQB=B.AQB=

C.AuB=|—,+ooD.AU8=(0,+8)

13

2

8.設2=——+(l+z)2(i是虛數單位)，則|z|=()

1+Z

A.V2B.1C.2D.V5

9.5G網絡是一種先進的高頻傳輸技術，我國的5G技術發展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了

一款5G手機，現調查得到該款5G手機上市時間x和市場占有率，(單位：%)的幾組相關對應數據.如圖所示的折

線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據數據得出y關于X的線性回歸

方程為y=0.042x+a.若用此方程分析并預測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款5G手機市場占有率

能超過0.5%(精確到月)()

A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月

10.若向量a=(1,5),5=(-2,1),貝！|■?伍+25)=()

A.30B.31C.32D.33

11.關于x的不等式依-8>()的解集是(L+8),則關于x的不等式(辦+。)(》-3)>0的解集是()

A.(—,-1)11(3,”)B.(-1,3)

C.(1,3)D.(-8,1)U(3,”)

12.若復數z=l+4(i為虛數單位)，貝!h的共飄復數的模為()

1+2

A.亞B.4C.2D.V5

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在正方體ABC。-44GA中，E，E分別為棱A&,4A的中點，則直線EE與直線所成角的正切值為

14.已知（l+2x）”的展開式中含有/的項的系數是6（）,則展開式中各項系數和為.

15.已知命題P：Vx>0,d>0,那么「是.

16.已知等比數列的前〃項和為S”,若勺%=2%“6，$5=-62,則勺的值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）求函數y=JP7+的最大值.

x=3+2cos￡Z

18.（12分）已知曲線C的參數方程為,..（a為參數），以直角坐標系原點為極點，以x軸正半軸為極軸并

y=l+2sin?

取相同的單位長度建立極坐標系.

（1）求曲線C的極坐標方程，并說明其表示什么軌跡；

（2）若直線I的極坐標方程為sin0-2cos。=’,求曲線。上的點到直線/的最大距離.

P

19.（12分）已知直線/的參數方程為x=,tcos.a（04a<〃，，為參數），曲線C的極坐標方程為。=—4二cos38.

_y=l+/sinasin_0

（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線C的形狀；

⑵若直線/經過點（1,0）,求直線/被曲線C截得的線段的長.

20.（12分）如圖，直三棱柱ABC-A百a中，底面ABC為等腰直角三角形，ABLBC,A4]=2AB=4,M,N

分別為CG，B用的中點，G為棱A%上一點，若A/，平面MNG.

（1）求線段AG的長；

（2）求二面角B—MG—N的余弦值.

21.（12分）在三棱柱ABC-A與G中，四邊形ABIRA是菱形，AB=4,NAB用=60。，B￡=3,BC1AB,

點M、N分別是A/、AG的中點，且

(1)求證：平面BCC14，平面44氏4；

(2)求四棱錐A-BCG4的體積.

22.(10分)已知函數f(x)=2sir)2x+2百sinXCOSX-1,XGR.

(1)求f(x)的單調遞增區間；

A

(2)△ABC內角A、仄C的對邊分別為〃、b、c9若/(5)=1且A為銳角，Q=3,sinC=2sinB9求△A5C的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事

件的種數，利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】

甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，

其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，

所以甲第一個到、丙第三個到的概率是"=

故選：D

【點睛】

本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.

2.B

【解析】

根據線段垂直平分線的性質，結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.

【詳解】

因為線段6M的垂直平分線與直線入”相交于點P,如下圖所示：

所以有=而O,N是中點，連接QV,故M^=2ON=4,

因此尸"一尸耳=4（4＜瑪6）

當N在如下圖所示位置時有，所以有「耳=P5+"玲，而O,N是中點，連接ON,

故"=2ON=4,因此尸耳—P鳥=4(4<6￡),

綜上所述：有歸耳-尸周=4(4<月月)，所以點尸的軌跡是雙曲線.

故選：B

【點睛】

本題考查了雙曲線的定義，考查了數學運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.

3.C

【解析】

由；〃,，可得(a-/7)2=(c-#)(，+#),化簡利用余弦定理可得cos工=土其士=,，解得出即可得出三角形

32ab2

面積.

【詳解】

解：?;m=(c-瓜a-b),n=[a-b,c+4^,且力/，，

(a-b)2=(c->/6)(c+\/6),化為：a1+h2-c1-2ab-6.

71/+/一,2

cos—=等《‘解得"=6.

32ab

.?.c,"sinC」x6x走=明

MBC2222

故選：C.

【點睛】

本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

4.B

【解析】

l+2i,(l+2i)(2+i),2+i+4i+2i2,,.與3

因為z=~^~—+1=不工、+=-----c-----+1=1+1,所以z=l-i，故選B.

2-1(2-1)(2+1)5

5.D

【解析】

求出(2x+Ip展開項中的常數項及含x的項，問題得解。

【詳解】

(2x+1)?展開項中的常數項及含x的項分別為：

C；(1)3(2%)°=1,C](2x)'xl2=6x,

所以(l+!)(2x+l)3展開式中的常數項為：lxl+gx6x=7.

故選：D

【點睛】

本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉化思想，考查計算能力，屬于基礎題。

6.A

【解析】

首先根據等比數列分別求出滿足q+%<2%，S21<0的基本量，根據基本量的范圍即可確定答案.

【詳解】

{%}為等比數列，

若4+4<24成立，有4-2q+1)<0,

因為/-2g+120恒成立，

故可以推出4<0且

若$2,1<0成立，

當q=1時，有q<0,

么(1—。2"-1)1_2/:-1

當時，有」_Z<0,因為一一>0恒成立，所以有4<0,

i-<?i-q

故可以推出4<0,qeR,

所以“4+生<24”是“S2,i<0”的充分不必要條件.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了等比數列基本量的求解，充分必要條件的集合關系，屬于基礎題.

7.D

【解析】

根據題意，求出集合A,進而求出集合AUB和AflB,分析選項即可得到答案.

【詳解】

根據題意，B={x|log2(3x-1)<2}=

則AU3=(0,+8),ACB=(§,§J

故選：D

【點睛】

此題考查集合的交并集運算，屬于簡單題目，

8.A

【解析】

先利用復數代數形式的四則運算法則求出z,即可根據復數的模計算公式求出|z|.

【詳解】

2_____

Vz=—+(1+02=1-Z+2Z=1+Z,???|Z|=JF+I2="

故選：A.

【點睛】

本題主要考查復數代數形式的四則運算法則的應用，以及復數的模計算公式的應用,

屬于容易題.

9.C

【解析】

根據圖形，計算出然后解不等式即可.

【詳解】

解：x=lx(l+2+3+4+5)=3,y=1x(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1

點(3,0.1)在直線$=0.042%+6上

0.1=0.042x3+。，?=-0.026

y=0.042%-0.026

令夕=0.042x—0.026>0.5

x>13

因為橫軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，

故選：C

【點睛】

考查如何確定線性回歸直線中的系數以及線性回歸方程的實際應用，基礎題.

10.c

【解析】

先求出￡+2加，再與a相乘即可求出答案.

【詳解】

因為￡+2B=(1,5)+(-4,2)=(-3,7)斯以?&+26=-3+5x7=32.

故選:C.

【點睛】

本題考查了平面向量的坐標運算，考查了學生的計算能力,屬于基礎題.

11.A

【解析】

由如一匕>0的解集，可知。>0及，=1,進而可求出方程(儂+。)(1-3)=0的解，從而可求出(or+b)(x—3)>0

的解集.

【詳解】

h

由or—人>()的解集為(1,+?),可知。>0且/=1,

令(辦+。)(％—3)=0,解得玉=-1,工2=3,

因為“>(),所以(歐+")(》一3)>0的解集為(T?,—1)U(3,+OO),

故選：A.

【點睛】

本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎題.

12.D

【解析】

由復數的綜合運算求出z,再寫出其共輔復數，然后由模的定義計算模.

【詳解】

；Z=[+興=]+71)大=2+i，.?.彳=2-i,.?.同=石.

1+z(l+z)(l-z)I1

故選：D.

【點睛】

本題考查復數的運算，考查共扼復數與模的定義，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.G

【解析】

由中位線定理和正方體性質得七///80,從而作出異面直線所成的角，在三角形中計算可得.

【詳解】

如圖，連接A。，BC[,4G，:瓦廠分別為棱4\,。小的中點，尸〃AD-

又正方體中AB//G2，A8=G。，即A5GR是平行四邊形，；.ADJ/BG，.?.EF//8C1,Z/^BC,(或其補角)

就是直線EE與直線48所成角，A4,6G是等邊三角形，???/48&=60。，其正切值為6.

故答案為：V3.

D1____________

【點睛】

本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據定義作出異面直線所成的角.

14.1

【解析】

由二項式定理及展開式通項公式得：22d=60,解得〃=6,令X=1得：展開式中各項系數和，得解.

【詳解】

解：由(1+2xY的展開式的通項(*I=C；(2x)r,

令r=2,

得含有X2的項的系數是2<=60,

解得〃=6,

令X=1得：展開式中各項系數和為(1+2)6=729,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了二項式定理及展開式通項公式，屬于中檔題.

15.真命題

【解析】

由幕函數的單調性進行判斷即可.

【詳解】

已知命題P:Vx>0,Y〉0,因為y=》3在(o,+?)上單調遞增，則V>03=0,所以。是真命題,

故答案為：真命題

【點睛】

本題主要考查了判斷全稱命題的真假，屬于基礎題.

16.-2

【解析】

a,(l-25)

2aa2aaa=S62=622

試題分析：“2%=36,-a；=54-52ajq=2,5=""]_2'"勺'

考點：等比數列性質及求和公式

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.巫

3

【解析】

試題分析：由柯西不等式(而+cd><(a2+c2)(J2+/)得(Vi^7+j3x+2)2=(，3-3x+，3x+2―厲

<(3-3x+3x+2)(1+l)=y

試題解析：因為(+y/3x+2)2=(y/3-3x-R+j3x+2-VT)2

<(3-3x+3x+2)(-+l)=—,

33

所以y=y/l-x+J3x+2V2y.

3-3x3x+2,

-----=------7

等號當且僅當I1,即*=一時成立.

312

所以y的最大值為口叵.

3

考點：柯西不等式求最值

18.(1)22_6pcos6—20sine+4=O,表示圓心為(3,1),半徑為2的圓；(2)述+2

【解析】

(1)根據參數得到直角坐標系方程(x-3y+(y-1)2=4,再轉化為極坐標方程得到答案.

(2)直線方程為y-2x=l,計算圓心到直線的距離加上半徑得到答案.

【詳解】

x=3+2cosa.今

(1)《,c,，即(x—3)~+(y—l)-=4,化簡得到：x2+y2-6x-2y+4=0.

y=l+2sina、，、，

即「2—6QCOS6—2Psine+4=0,表示圓心為(3,1),半徑為2的圓.

(2)sin。-2cos6=,，即y—2x=l,圓心到直線的距離為1=二=述

P石5

故曲線C上的點到直線/的最大距離為4+〃=述+2.

5

【點睛】

本題考查了參數方程，極坐標方程，直線和圓的距離的最值，意在考查學生的計算能力和應用能力.

19.⑴曲線。表示的是焦點為(1,0),準線為x=-l的拋物線;(2)8.

【解析】

4cosJ

試題分析：⑴將曲線C的極坐標方程為止飛前兩邊同時乘以。，利用極坐標與直角坐標之間的關系即可得出其

直角坐標方程；(2)由直線/經過點(1,0),可得tanc的值，再將直線/的參數方程代入曲線C的標準方程，由直線參

數方程的幾何意義可得直線/被曲線C截得的線段c的長.

4cosf)

試題解析：(1)由2=———可得夕2sin2e=4pcos6,即V=4x,

sin6

曲線。表示的是焦點為(1,0),準線為x=-l的拋物線.

x=tcosa1=tcosa

(2)將(1,0)代入＜,.,得八?.,???tancr=-L

y=1+tsina0=1+tsina

cX=------t

乃

???()Wa(乃，a=—3,...直線/的參數方程為《2「。為參數).

4?叵.

I2

將直線/的參數方程代入丁=4A-得/+6氏+2=0，

由直線參數方程的幾何意義可知，

\AB\=,―勾=而+幻2-4%=々2-8=8.

20.(1)AG=\(2)且

5

【解析】

(1)先證得AA^GN,設AR與GN交于點E,在ABNE中解直角三角形求得由此求得AG的值.

(2)建立空間直角坐標系，利用平面BMG和平面NMG的法向量，計算出二面角B-MG-N的余弦值.

【詳解】

48,平面MNG

(1)由題意，-TH—AB^GN,

GNu平面MVG

設AB與GN交于點E,在ABNE中，可求得BE=±?,則其七=述

515

可求得AG=3,則AG=1

(2)以81為原點，與8方向為x軸，片。方向為)，軸，5A方向為二軸,

建立空間直角坐標系.

8(4,0,0),M(2,2,0),G(3,0,2),N(2,0,0)

BM=(-2,2,0),BG=(-1,0,2),易得平面BMG的法向量為1=(2,2,1).

W=(0,2,0),NG=(1,0,2),易得平面NMG的法向量為后=(2,0,-1).

設二面角B—MG—N為由圖可知。為銳角，所以

\n}-n^\_3_\[5

1nli?|%|3-755

即二面角B—MG—N的余弦值為手.

【點睛】

本小題主要考查根據線面垂直求邊長，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

21.(1)證明見解析；(2)873.

【解析】

(1)要證面面垂直需要先證明線面垂直，即證明出BC_L平面4⑸BA即可；

(2)求出點4到平面BCG4的距離，然后根據棱錐的體積公式即可求出四棱錐A-8CC出的體積.

【詳解】

(1)連接4C,由AC&4是平行四邊形及N是AC的中點，

得N也是AC的中點，因為點M是48的中點，所以MN//BC,

因為MNJ.A4,所以BC_LAB1,

又4304用=4,所以8。，平面43出4,

又BCu平面BCG片，所以平面BCGB\1平面A4BA；

(2)過A作A。交與B于點。，

因為平面BCC#J_平面平面BCC4n平面=

所以AO_L平面BCG與，

由是菱形及/ABB1=60°,得AAB四為三角形，則