北京理工大學計算機學院第2章2.1數值數據的表示2.2機器數的定點表示與浮點表示2.3非數值數據的表示2.4十進制數和數串的表示2.5不同類型的數據表示舉例2.6數據校驗碼北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示2.2.1定點表示法在定點表示法中約定：所有數據的小數點位置固定不變。通常，把小數點固定在有效數位的最前面或末尾，這就形成了兩類定點數。1.定點小數小數點的位置固定在最高有效數位之前，符號位之后，記作Xs.X1X2…Xn，這個數是一個純小數。定點小數的小數點位置是隱含約定的，小數點并不需要真正地占據一個二進制位。北京理工大學計算機學院202-12-2…

2-(n-1)2-n2.2機器數的定點表示與浮點表示

當Xs=0，X1～Xn=1時，X為最大正數，即：X最大正數

=(1-2-n)。1最大正數…1110定點小數格式小數點位置XsX1XnX2Xn-1…202-12-2…

2-(n-1)2-n注意北京理工大學計算機學院202-12-2…

2-(n-1)2-n2.2機器數的定點表示與浮點表示最小正數00100…定點小數格式小數點位置XsX1XnX2Xn-1…202-12-2…

2-(n-1)2-n

當Xn=1，Xs～Xn-1=0時，X為最小正數，即：X最小正數

=2-n。注意北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示

當Xs=1，表示X為負數，此時情況要稍微復雜一些，這是因為在計算機中帶符號數可用補碼表示，也可用原碼表示。如前所述，原碼與補碼所能表示的絕對值最大的負數是有區別的，所以原碼和補碼的表示范圍有一些差別。北京理工大學計算機學院202-12-2…

2-(n-1)2-n202-12-2…

2-(n-1)2-n2.2機器數的定點表示與浮點表示原碼表示的絕對值最大負數11111…X絕對值最大負數(原碼表示時）=-(1-2-n)補碼表示的絕對值最大負數10000…X絕對值最大負數（補碼表示時）=-1注意北京理工大學計算機學院0.11111110.11111110.1111111

綜上所述：若機器字長有n+1位，則：原碼定點小數表示范圍為：-(1-2-n)～(1-2-n)補碼定點小數表示范圍為：-1～(1-2-n)

若機器字長有8位，則：原碼定點小數表示范圍為：-(1-2-7)～(1-2-7)補碼定點小數表示范圍為：-1～(1-2-7)2.2機器數的定點表示與浮點表示1.00000001.00000001.00000000.11111110.11111110.11111111.11111111.11111111.1111111北京理工大學計算機學院2n2n-12n-2…

21202.2機器數的定點表示與浮點表示2.定點整數小數點位置隱含固定在最低有效數位之后，記作XsX1X2…Xn，這個數是一個純整數。定點整數格式小數點位置XsX1XnX2…2n2n-12n-2…

201最大正數…1110X最大正數

=(2n-1)注意北京理工大學計算機學院2n2n-12n-2…

21202n2n-12n-2…

21202n2n-12n-2…

21202.2機器數的定點表示與浮點表示X絕對值最大負數（原碼表示時）=-(2n-1)最小正數00100…X最小正數

=1X絕對值最大負數（補碼表示時）=-2n原碼表示的絕對值最大負數11111…補碼表示的絕對值最大負數10000…注意注意北京理工大學計算機學院

綜上所述：若機器字長有n+1位，則：原碼定點整數的表示范圍為：-(2n-1)～(2n-1)補碼定點整數的表示范圍為：-2n

～(2n-1)

若機器字長有8位，則：原碼定點整數表示范圍為：-127～127補碼定點整數表示范圍為：-128～1270111111101111111011111111000000010000000100000002.2機器數的定點表示與浮點表示011111110111111101111111111111111111111111111111北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示2.2.2浮點表示法

小數點的位置根據需要而浮動，這就是浮點數。例如：

N=M×rE

式中：r為浮點數階碼的底，與尾數的基數相同，通常r=2。E和M都是帶符號數，E叫做階碼，M叫做尾數。在大多數計算機中，尾數為純小數，常用原碼或補碼表示；階碼為純整數，常用移碼或補碼表示。=M×2E北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示

浮點數的一般格式：

浮點數的底是隱含的，在整個機器數中不出現。階碼的符號位為es，階碼的大小反映了在數N中小數點的實際位置；尾數的符號位為ms，它是整個浮點數的符號位，反映了該浮點數的正負。假設階碼和尾數部分均用補碼表示。esemms階碼部分E尾數部分MK位N位1位1位北京理工大學計算機學院階碼部分E尾數部分Mesms2-1…

2-(n-1)2-n2k-1…

202.2機器數的定點表示與浮點表示0011111……1.浮點數的表示范圍當es=0，ms=0，階碼和尾數的數值位各位全為1（即階碼和尾數都為最大正數）時，該浮點數為最大正數。X最大正數=(1-2-n)×22k-1注意北京理工大學計算機學院階碼部分E尾數部分Mesms2-1…

2-(n-1)2-n2k-1…

202.2機器數的定點表示與浮點表示

當es=1，ms=0，尾數的最低位mn=1，其余各位為0（即階碼為絕對值最大負數，尾數為最小正數）時，該浮點數為最小正數。1100000……X最小正數=2-n×2-2k注意北京理工大學計算機學院階碼部分E尾數部分Mesms2-1…

2-(n-1)2-n2k-1…

202.2機器數的定點表示與浮點表示

當es=0，階碼的數值位為全1；ms=1，尾數的數值位為全0（即階碼為最大正數，尾數為絕對值最大的負數）時，該浮點數為絕對值最大負數。1110000……X絕對值最大負數=-1×22k-1注意北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示2.規格化的浮點數為了提高運算的精度，需要充分地利用尾數的有效數位，通常采取規格化的浮點數形式，即規定尾數的最高數位必須是一個有效值。

1/r≤|M|＜1

如果r=2，則有1/2≤|M|＜1。

北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示

在尾數用原碼表示時，規格化浮點數的尾數的最高數位總等于1。在尾數用補碼表示時，規格化浮點數應滿足尾數最高數位與符號位不同（ms⊕m1=1），即當1/2≤M＜1時，應有0.1xx…x形式，當-1≤M＜-1/2時，應有1.0xx…x形式。需要注意的是當M=-1/2，對于原碼來說，是規格化數，而對于補碼來說，不是規格化數；當M=-1時，對于原碼來說，這將無法表示，而對于補碼來說，這是一個規格化數。

北京理工大學計算機學院階碼部分E尾數部分Mesms2-1…

2-(n-1)2-n2k-1…

20階碼部分E尾數部分Mesms2-1…

2-(n-1)2-n2k-1…

202.2機器數的定點表示與浮點表示X規格化的最小正數=2-1×2-2k00011111……X規格化的絕對值最小負數=-(2-1+2-n)×2-2k……01000100注意注意北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示2.2.3浮點數階碼的移碼表示法

移碼就是在真值X上加一個常數（偏置值），相當于X在數軸上向正方向平移了一段距離，這就是“移碼”一詞的來由，移碼也可稱為增碼或偏碼。

[X]移=偏置值+X

字長n+1位定點整數的移碼形式為X0X1X2…Xn。北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示最常見的移碼的偏置值為2n。當字長8位時，偏置值為27。例1：X=1011101[X]移=27+X=10000000=11011101[X]補=01011101

例2：X=-1011101[X]移=27+X=10000000-1011101=00100011[X]補=10100011北京理工大學計算機學院

2.2機器數的定點表示與浮點表示北京理工大學計算機學院

2.2機器數的定點表示與浮點表示偏置值為2n的移碼具有以下特點：

(1)在移碼中，最高位為“0”表示負數，最高位為“1”表示正數。

(2)移碼為全0時，它所對應的真值最小，為全1時，它所對應的真值最大。

(3)真值0在移碼中的表示形式是唯一的，即[+0]移=[-0]移=100…0。

(4)移碼把真值映射到一個正數域，所以可將移碼視為無符號數，直接按無符號數規則比較大小。北京理工大學計算機學院

2.2機器數的定點表示與浮點表示(5)同一數值的移碼和補碼除最高位相反外，其他各位相同。浮點數的階碼常采用移碼表示最主要的原因有：便于比較浮點數的大小。階碼大的，其對應的真值就大，階碼小的，對應的真值就小。簡化機器中的判零電路。當階碼全為0，尾數也全為0時，表示機器零。注意北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示2.2.5IEEE754標準浮點數

大多數計算機的浮點數采用IEEE754標準，其格式如下，IEEE754標準中有三種形式的浮點數。msEm北京理工大學計算機學院

2.2機器數的定點表示與浮點表示

以短浮點數為例討論浮點代碼與其真值之間的關系。最高位為數符位；其后是8位階碼，以2為底，階碼的偏置值為127；其余23位是尾數。為了使尾數部分能表示更多一位的有效值，IEEE754采用隱含尾數最高數位1（即這一位1不表示出來）的方法，因此尾數實際上是24位。應注意的是，隱含的1是一位整數（即位權為20），在浮點格式中表示出來的23位尾數是純小數，并用原碼表示。北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示

例1：將(100.25)10轉換成短浮點數格式。

(1)十進制數→二進制數

(100.25)10=(1100100.01)2

(2)非規格化數→規格化數

1100100.01=1.10010001×26

(3)計算移碼表示的階碼（偏置值＋階碼真值）

1111111+110=10000101北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示

(4)以短浮點數格式存儲該數。符號位=0

階碼=10000101

尾數=00000

短浮點數代碼為

0;10000101;10010001000000000000000

表示為十六進制的代碼：42C88000H。北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示例2：把短浮點數C1C90000H轉換成為十進制數。

(1)十六進制→二進制形式，并分離出符號位、階碼和尾數。

C1C90000H=1;10000011;00000階碼符號位尾數北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示

(2)計算出階碼真值（移碼－偏置值）

10000011-1111111=100

(3)以規格化二進制數形式寫出此數

1.1001001×24

(4)寫成非規格化二進制數形式

11001.001

(5)轉換成十進制數，并加上符號位。

(11001.001)2=(25.125)10

所以，該浮點數=-25.125北京理工大學計算機學院2.2機器數的定點表示與浮點表示2.2.6定點/浮點表示法與定點/浮點計算機1.

定點/浮點表示法的區別