Wiener濾波概述

Wiener濾波器是從統(tǒng)計意義上的最優(yōu)濾波，它要求輸入信號是寬平穩(wěn)隨機序列，本章主

要集中在FIR結(jié)構(gòu)的Wiener濾波器的討論。

由信號當(dāng)前值與它的各階延遲*5），工5-1）L.，底"一"+1）｝,估計一個期望信號

d⑺,輸入信號武幾）是寬平穩(wěn)的，M"）和或〃）是聯(lián)合寬平穩(wěn)的，要求這個估計的均方

誤差最小。

在本章中，不特別說明，假設(shè)信號是零均值.

Wiener濾波器的兒個實際應(yīng)用實例如下：

①通信的信道均衡器。

圖1.信道均衡器的結(jié)構(gòu)示意

②系統(tǒng)辨識:

y(n)

+

d(n)

圖2.線性系統(tǒng)辨識的結(jié)構(gòu)

③一般結(jié)構(gòu):

u(n)

y(n)

Wienere(n)

A

濾撥器

+

▲

d(n)

圖3.Wiener濾波器的一般結(jié)構(gòu)

Wiener濾波器的目的是求最優(yōu)濾波器系數(shù)乙，使

J(n)=E[\e(n)I2]=E|j(n)-J(n)|

最小。

§3.1從估計理論觀點導(dǎo)出Wiener濾波

FIR結(jié)構(gòu)（也稱為橫向）的Wiener濾波器的核心結(jié)構(gòu)如圖4所示.

u(n-M+l)

Wm-lO

V

y(n)

圖4.橫向Wiener濾波器

FIR結(jié)構(gòu)的Wiener是一個線性Beyesian估計問題.

為了與第2講中估計理論一致，假設(shè)信號，濾波器權(quán)值均為實數(shù)

由輸入武〃)和它的1至(M-1)階延遲，估計期望信號"(〃)，確定權(quán)系數(shù)

{W"'=°,???M—1}使估計誤差均方值最小，均方誤差定義為：

J=E[(d(〃)一才(〃))2]

人M-1

這里估計2(〃)寫為：

k=0

除了現(xiàn)在是波形估計外，與線性Bayesian估計一一對應(yīng)。

人N7人MT

e=/)2(〃)=￡^kx(n-k)

A=0k=0

aJW=[此,嗎,???以一1],

x=[x(O),x(l),…x(N-l)]rx(n)=[x(n),x(n-I)<??,x(zz-A/+1)]7

0d(n)

RxxR(零均值假設(shè))

rr

RxeXd=E[x(n)d(H)]=[rxd(0),rxd(-1),???,rxd(-M+l)]

這里("(一左)=￡以5-Qd(〃)]),wiener濾波與線性Bayesian估計變量之間具有一一

對應(yīng)關(guān)系，設(shè)最優(yōu)濾波器系數(shù)為枚0,由線性Bayesian估計得到Wiener濾波器系數(shù)對應(yīng)式:

上式后一"1^方程稱為Wiener-Hopf方程，

或=匕)二火一匕

0=KeRRxn2(n)=R-ix(ri)=%x(n)

Bmse(0)=。劭-RK&en」min=o；-R'j

結(jié)論：

1)Wiener濾波器是線性FIR濾波器中的最優(yōu)濾波器，但非線性濾波可能會達(dá)到更好結(jié)果。

2)在聯(lián)合高斯條件下，Wiener濾波也是總體最優(yōu)的(①從Bayesian估計意義上講是這樣,

②要滿足平穩(wěn)條件)

3)從線性貝葉斯估計推導(dǎo)過程知，在濾波器系數(shù)取非最優(yōu)的w時，其誤差性能表示：

rr

J(w)=b；-wK-prxd+wRw

它是w的二次曲面，只有一個最小點，W=Wo時，J(w)=/min

§3.2維納濾波：從正交原理和線性濾波觀點分析Wiener濾波器

Wiener濾波器是一個最優(yōu)線性濾波器，濾波器核是IIR或FIR的。

導(dǎo)出最優(yōu)濾波器的正交原理，并從正交原理出發(fā)重新導(dǎo)出一般的Wiener濾波器方程

推導(dǎo)適應(yīng)于HR和FIR的一般結(jié)論，然后分別討論FIR和IIRo

討論一般的復(fù)數(shù)形式。

?x[0],…，對〃],…輸入過程。

.Wo，Wi，W2,?…濾波器系數(shù)，（權(quán)系數(shù)）

,希望的響應(yīng)d[n]

?輸出誤差：e[n]=d[n]-y[n]

?正交性原理

對復(fù)數(shù)據(jù)情況，推導(dǎo)一般結(jié)論，實數(shù)據(jù)是特例。

OO

OO

=Z戒Mi）e[n]=d[n]-y[n]=d[n\-^wkx(n-k)

k—0k=0

均方誤差是：J=E[e[n]e*[n]}=e[n]I2;

設(shè)權(quán)系數(shù)：Wk=ak+jbk

aa.a

定義遞度算子V=[Vo，Vi，…V%…]，其中時-----.....J-----

dwkdakdbk

dJ.dJ

vJ=------Fj---

符號VJ是遞度算子作用于J,其中第k項為：”

dakdbk

要求W（）,叫，…的值，使得J最小，即VJ=0

等價：=°-0,1,2--?

由/=E{e[〃]e*[2}

ykJ=Ee^[n]+e[n]+^11je[n]+~je[n]

何：dakdakdhkdbk

e[n]=d[n]-￡wx[n-k]

由k

k=0

de[n]de[n]_

得到：~d^~~X[n~k]jx[n-k]

叫

He*[〃]de*[n]

[」=r*[”曷=-jx^[n-k]

地

代入％表達(dá)式整理得：^kJ=-2E[x[n-k]e^[n]]

當(dāng)V/=°左二°1，…時，J達(dá)到最小。

設(shè)J達(dá)最小時，用%)，為[刈表示權(quán)系數(shù)和誤差e[n],且J=Jmin

*

則有：E[x[n-k]e0[n]]=Qk=。,1,???

以上為正交性原理，達(dá)到最優(yōu)濾波時，誤差和輸入正交。

*

推論：E[yQ[n]e()[n]]=O

?維納一霍夫方程(Wiener-Hopf)

■(8y

/由工用/曰Ex[n-k]d^[n]-\wQix^[n-i]=0—Q1.??

由正父性原理得々°,汽1,

_\[=0J_

OO

wOjE[x[n-k]x*[n-z]]=E[x[n-k]d[n]]

z=0

定義：廠」，—左]=E[x[n-k]x^[n-i]]%/一幻=E[x[n-k]d[n]]

有”?—]

k=0,1，…

這就是Wiener-Hopf方程，解此方程，可得到最優(yōu)權(quán)｛")J。

對于M階FIR濾波器，（橫向濾波器）Wiener-Hopf方程變?yōu)椋?/p>

M-1

^Qirx[i-k]=rxd[-k]左

z=0'

?矩陣形式：

令x[n]=[x[n],x[n-1],??丁x[n-M+1]]7

'r[0],r[l],…r[M-\]y

_r*[l],r[0],…r[M-2]

和H=￡[x[>z]x"[>z]]=:

j*[M—1],r*[M-2],…r[0],

rxd=E[x[n]d*[n]]=[rxd[0],rxJ[-1],???,rxd

r

Winer-Hopf方程：^^0-xd這里W。=[Woo,W01,W02,???

解方程求得：^0=Rirxd

?最小均方誤差：

人

在達(dá)最優(yōu)時，,0團]也寫成磯出X",表示由冗[汨，工團一1],……張成的空間對

d[n]的估計（最優(yōu)線性估計）。%卬=磯〃]一％[川=磯山一2卬X"

也可以寫成：d[n]=e0[n]+d[n\Xn]

由2卬X"和e0|X|正交性得：于=后卜。網(wǎng)|[+貨=/min+b]

j_八_2^_2

即：」min-Od~。公

人MT

nk

由d[n\Xn]=^^~^=wSx[n]

k—0

H

得aj=E[d[n\Xn]d^[n\Xn]]=E[w^x[n]x[n]w0]

H

=w^E[x[n]x[n]]w0=w/&/

HH[

=w/〃=rxdw0=rxdR-rxd

-2H―2H_1

則Jmin—°d~°D

=Od-'xd卯o=°d一心〃Rrxd

?誤差性能表面

M-1

由刎=d[n]-^[n-k]直接代入j=E[e[n]e叫叫

A/-1M-\M-\M-\

敕理滬，=一ZM0(一左)一Zw%*(一左)+z.Z戒嗎皿一人]

整理何：MMM

由上式，可以看出，J是Wk的二次曲面，是碗狀曲面，碗口向上，，加〃在碗底，其實，由

上式直接對Wk求導(dǎo)，得到一組方程，正是wiener-Hopf方程。

r\rrTjr

矩陣形式J(歹)=bd-wrxd-rxdw+wRw

HX

J(r)=^-r^R-^+(F-R-\d)R(w-R-rxd)

H[

在Wo=RT弓時,達(dá)最小，Jmm=mrnJ^=^-rxdR-rxd

性能表面,（獷）可以寫成：J（w）=/min+（枚一枚0）”氏（枚一Wo）

H

由于R=QKQ故J（獷）=Jmin+⑴_除）”QAQ〃（獷一/））

令"Q"(w-Wo)

MN

+O"A。='min+Z4/V女u'min+Z'/uM

mink=Tk=l

通過坐標(biāo)變換，得到如上規(guī)范形式，對于一個給定‘W/min,有:

M

4n=E1

k=l這是超楠圓，A為其一個軸。

4k

數(shù)值例子1:

io<N

有一信號可汨，它的自相關(guān)序列為4㈣二句［句,被一白噪聲所污染，噪

聲方差為2/3,被污染信號M2作為Wiener濾波器的輸入，求2階FIR

濾波器使輸出信號是可刈的盡可能的恢復(fù)。

解：本題中，=s[n]+v[n]d[n]=s[n]o

10(2

々伙]=r[k]-^-r[k]=---+-8[n]

sv，/IJ

1Q/1、岡

rxdVk}=E{x[n]s[n-r[k]=--

s2712J

由于只需要2階濾波器設(shè)計，因此

10210￡10

27327227

20￡io210￡

272273272

x

=R-rxd=[0.3359,0.1186y

10

2H10270.3359

=Odfd匕虧0.2240

min1010.1186

-------------------?,，，#

272

數(shù)值例子2：

①希望響應(yīng)磯M是一個AR⑴過程，=0.8458,口[川是白噪聲，of=o.27,由白

噪聲驅(qū)動的產(chǎn)生該過程的傳輸函數(shù)為：（Z）="（J用，？々

②磯川經(jīng)過了一個通信信通，信道的傳輸函數(shù)為“2（Z）,并加入了白噪聲。二0」即:

凡「

（Z）=O9；58ZTx[n]=s[n]+v2[n]

通道模型如圖5所示：

v2(n)

x(n)

圖5.通道模型

③求解：一個二階FIR結(jié)構(gòu)Wiener濾波器,目的是由x[n]盡可能恢復(fù)d[n\

解：

①是一個AR(1)過程，A(Z)=1+%]Z7,0；=0.27

0.27

可==0.9486

1-城―1—(0.8458)?

②在x[n]=s[n]-^-v2[n]中,s[n]是一個二階AT?(2)過程，相當(dāng)于

H(Z)=H](Z)“2(Z)

A(z)=(1+0.8458z-1)(1-0.9458z-1)

-122

=1-0.1Z-0.8Z-=1+2化一1+a22z~

由二階4R(z)參數(shù)，確定G(左)，由Yule-walker方程：

、

（rs（0）G⑴丫。21"⑴、

Jb；=r21G⑴+〃22G⑵

a1^(2)s(0)+〃

UJI)rs.(0)J\22)

反解G（0）,「⑴.得

1+a221-0.80.27

G（°）=二1

222

J—“22J[(1+a22)一〃；］1+0.8[(1-0.8)-0.1]

r⑴;一〃21.々(。)=2d21:0.5

$l+a221-0.8

，10.5、

R-

由上確定s［n］的自相關(guān)矩陣為：$、0.5

,10.5、，10、U.l0.5

+xO.l=

但：&=凡+1，=、0.51,<0b10.51.1

j

③求”

[k]rxd[k]=E{x[n-k]d[n]\

由：s[n]-0.9458s[n-l]=d[n]和升川=$[2|+?2]川代入上式

得："肉=小]一0?9458小-1]

故力⑼=田0]+(―0.9458x4[—1])=0.5272

rxd[1]=rs[l]+(-0.9458Xrs[0])=-0.4458

_F0.5272-

”--0.4458

最優(yōu)系數(shù)

^[0]r[l]V_1(r[0]—叩「

R—1

XdO]J一產(chǎn)⑼一戶[1][—叩]r[0],

_r1.1456—0.5208、'0.8368、

%=RFd=

一「0.52081.1456)10.7853,

最小均方誤差:

'0.8360、

一2T=0.9486-[0.5272,-0.4458]

min/、一0.7853,=0.1579

性能表面

HHHTT

J^wx)=(y;l-wrxd-rxdw+wRw=(j]-2wrxd+wRw

(1.10.5Yw^

=0.9486—205272,—0.4458]+[此,叼]0

(0.51.1人wj

=0.9486-l.O544wo+0.8916叼++1.1(WQ+w：)

規(guī)范誤差性能表面

1.1—A0.5

解囚-初=。05]]_/0=(LIT)?-(0.5)2=。

A,=1.6A2=0.6

2

/(匕,叱)=Jmin+1.6V1+0.6vf

1=

（，-，min）（，-，min）

4%2

1

-'min丫

JJmin

這是一個隨圓，主軸［義2J

副軸4>

?HRWiener濾波器

考慮Wiener-Hopf方程在IIR濾波器時的情況，為簡單，先討論非因果

IIR濾波器的設(shè)計式。為簡單，考慮實信號和實濾波器系數(shù)的情況。

在非因果條件下，Wiener-Hopf方程改寫為

E口=。［—幻k=-g,…,-1,0,1,…

i=-OQ

上式兩邊取Z變換，得

"(z)i；(z)=r；Kz)

晨(z)

"(z)=

或1Z)

這里”(z)是濾波器沖激響應(yīng)(權(quán)系數(shù))的z變換，「⑶是小］的z變換

心⑵是P伙］的z變換。

OO

最小均方誤差為/=-°°

例2.有一信號MM,它的自相關(guān)序列為a伙k)[司,被一白噪聲所污

染，噪聲方差為2/3,被污染信號作為Wiener濾波器的輸入，求HR

濾波器使輸出信號是5[汨的盡可能的恢復(fù)。

解：本題中，x[n]=s[n]+v[n]9d[n]=s[n]o

10(2

r[k]=r[k]+r[k]=—-+-3[n]

xsv，/I3

in<i、網(wǎng)

rxd[k]=E{x[n]s[n-k]\=rs[k]=--

1

「/、_5/182_20-6Z-6Z-

-

-(1--i^-1)(1--i^)318(l--\z-1)(l--iz)

「/、5/18

「xd(Z)—ji

乙⑵55

"(z)=

rv(z)20—6z—6/