課題：TC"§隨機變量的分布列、期望和方差"隨機變量的分布列、期望和方差教學目的：1．通過本課的教學，對本單元知識內容進行梳理，加深有關概念的理解，在綜合運用知識能力上提高一步。2．通過對幾道例題的講解、討論和進一步的練習，提高學生靈活運用本單元知識解決問題的能力。教學重點、難點：對于離散型隨機變量，我們關心的是它會取哪些值、取這些值的概率、取值的平均值、穩定性等．這部分內容的實用性較強，教學過程中，要重點引導學生分析、解決一些實際問題，提高學生綜合運用知識解決實際問題的能力．教學過程：1．通覽基礎知識項目內容隨機變量離散型隨機變量連續型隨機變量離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列的性質二項分布離散型隨機變量的期望及其計算公式離散型隨機變量的方差及其計算公式2.提出隨機變量ξ的分布列的概念，總結任一離散型隨機變量的分布列具有的兩個簡單性質在分析和研究上述例子的基礎上，概括出：一般地，設離散型隨機變量ξ可能取的值為x1,x2,…，xi,…,ξ取每一個值xi(I=1，2，…)的概率為P(ξ=xi)=Pi，則稱表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列。離散型隨機變量的分布列的兩個簡單性質：(1)Pi≥0，I=1，2，…；(2)P1+P2+…=1．3．講參考例題例1一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數是綠球個數的兩倍，黃球個數是綠球的一半，現從該盒中隨機取出一個球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得-1分，試寫出從該盒中隨機取出一球所得分數ξ的分布列。解：設黃球的個數為n，依題意知道綠球個數為2n，紅球個數為4n，盒中球的總數為7n。則從該盒中隨機取出一球所得分數ξ的分布列為ξ1-10P例2一個類似于細胞分裂的物體，一次分裂為二，兩次分裂為四，如此繼續分裂有限多次，而隨機終止。設分裂n次終止的概率是。記ξ為原物體在分裂終止后所生成的子塊數目。求P(ξ≤10)。解：依題意，原物體在分裂終止后所生成的子塊數目ξ的分布列為ξ23816……P……所以P(ξ≤10)=P(ξ=2)+P(ξ=4)+P(ξ=8)=++=例3((2000年高考題)某廠生產電子元件，其產品的次品率為5％?，F從一批產品中任意的連續取出2件，寫出其中次品數ξ的概率分布。 解：依題意，隨機變量ξ~B（2，5%）。所以，因此，次品數ξ的概率分布是ξ012P例4．重復拋擲一枚骰子5次，得到點數為6的次數記為ξ，求P(ξ>3)。解：依題意，隨機變量ξ~B（5，）例5涉及次品率；抽樣是否放回的問題．本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發生變化，即各次抽樣是不獨立的．如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨立的事件． 例5一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數的期望．解：設取得正品之前已取出的次品數為ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，1，2，3當ξ=0時，即第一次取得正品，試驗停止，則P（ξ=0）=當ξ=1時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則P（ξ=1）=當ξ=2時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則P（ξ=2）=當ξ=3時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則P（ξ=3）=所以，Eξ=例6涉及產品數量很大，而且抽查次數又相對較少的產品抽查問題．由于產品數量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認為各次抽查的結果是彼此獨立的．解答本題，關鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨立重復試驗，即ξ~B（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進行計算。例7有一批數量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續取出200件商品，設其中次品數為ξ，求Eξ，Dξ。解：因為商品數量相當大，抽200件商品可以看作200次獨立重復試驗，所以ξ~B（200，1%）。因為Eξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=例8是一道純數學問題．要求學生熟悉隨機變量的期望與方差的計算方法，關鍵還是掌握隨機變量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我們知道Dξ=是關于P(P≥0)的二次函數，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結論。例8設事件A發生的概率為p，證明事件A在一次試驗中發生次數ξ的方差不超過1/4。證明：因為ξ所有可能取的值為0，1。且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p。則Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)例9中的兩個隨機變量ξA和ξB&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5個不同的數值．ξA取較為集中的數值110，120，125，130，135；ξB取較為分散的數值100，115，125，130，145．直觀上看，猜想A種鋼筋質量較好．但猜想不一定正確，需要通過計算來證明我們猜想的正確性。例9有A、B兩種鋼筋，從中取等量樣品檢查它們的抗拉強度，指標如下：ξA110120125130135ξB100115125130145PP其中ξA、ξB分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強度．在使用時要求鋼筋的抗拉強度不低于120，試比較A、B兩種鋼筋哪一種質量較好。解：先比較ξA與ξB的期望值，因為EξA=110×+120×+125×+130×+135×=125, EξB=100×+115×+125×十130×+145×=125.所以，它們的期望相同．再比較它們的方差．因為DξA=(110-125)2×+(120-125)2×+(130-125)2×+(135-125)2×=50，DξB=(100-125)2×+(110-125)2×+(130-125)2×+(145-125)2×=165.所以，DξA<DξB.因此，A種鋼筋質量較好。例10學們身邊常遇到的現實問題，比如福利彩票、足球彩票、奧運彩票等等．一般來說，出臺各種彩票，政府要從中收取一部分資金用于公共福利事業，同時也要考慮工作人員的工資等問題．本題的“不考慮獲利”的意思是指：所收資金全部用于獎品方面的費用。例10在有獎摸彩中，一期(發行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元的，20個獎品是25元的，5個獎品是100元的．在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價格是多少元？解：設一張彩票中獎額為隨機變量ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，5，25，100。依題意，可得ξ的分布列為ξ0525100P 答：一張彩票的合理價格是0．2元． 3．課堂練習 (1)公共汽車站每隔5分鐘有一輛公共汽車通過，一乘客到達該站的任一時刻是等可能的．求①該乘客