概率論隨機變量分布第1頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五公元1651年法國著名數學家帕斯卡1623-1662收到法國大貴族德.美黑的一封信，信中請教了關于賭徒分賭金的問題：“兩個賭徒規定誰先贏3局就算贏了，如果一個人贏了2局,另一個人贏了1局，此時賭博終止，應該怎樣分配賭本才算公平合理？”帕斯卡將該問題和解答寄給法國數學家費馬1601-1665，費馬也給出了新的解法，他們不斷探討這類問題，擦出概率論最早的火花。概率論起源第2頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五之后荷蘭數學家惠更斯1629-1695也加入,并在1657年出版《OnCalculationsingamesofchance》，該書是概率論的第一部著作，由此概率論誕生了。 后來雅可比.伯努利1654-1705，棣莫弗1667-1754,貝葉斯1702-1761,拉普拉斯1749-1827,高斯1777-1855,泊松1781-1840對概率論的發展做出了重大貢獻,俄羅斯學院的切比雪夫1821-1894和他的學生馬爾科夫1856-1922、李雅普諾夫1857-1918對概率論發展做出了重大貢獻，提出了重要的大數定律。第3頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五 在18-19世紀概率論得到了實際應用和重大發展。而現今流行的基于公理化定義的概率論主要歸功于俄羅斯數學家柯爾莫哥洛夫。

1933年，柯爾莫哥洛夫發表了著名的《概率論的基本概念》，用公理化結構明確定義了概率論，這是概率論發展史上的一個重大里程碑，為以后的概率論的迅速發展奠定了基礎。第4頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五 在19世紀初，比利時的學者A.凱特勒率先將概率應用到統計中，并將統計方法從自然科學領域擴展到社會科學領域。他統計了歐洲大部分國家的死亡、犯罪、結婚、自殺等社會現象，得出一份調查報告，宣稱他可以預知每年的死亡、犯罪、結婚、自殺數量，此舉轟動了整個歐洲，為此他被冠以“近代統計學之父”的稱號。從此概率和統計在社會、經濟、科學等領域得到重大應用和發展。統計學起源第5頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五第一章隨機事件及其概率§1.1樣本空間與隨機事件§1.2概率的直觀定義§1.3概率的公理化定義§1.4條件概率與乘法公式§1.5事件的獨立性第6頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五為了研究隨機現象，就要對研究對象進行觀察試驗，即隨機試驗，簡稱試驗。1.試驗可以在相同條件下重復進行2.每次試驗的可能結果不只一個，且試驗之前不能肯定會出現哪一個結果3.試驗可能出現的結果可以預知試驗的特點隨機試驗§1.1樣本空間與隨機事件第7頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五

壽命試驗測試在同一工藝條件下生產出的燈泡的壽命.統計一天中進入某商店的顧客人數.第8頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五在隨機試驗中可能發生也可能不發生的事情稱為隨機事件，簡稱事件.隨機事件事件基本事件復合事件（試驗中不可再分解的事件）（兩個或一些基本事件并在一起，就構成一個復合事件）第9頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五在擲骰子試驗中，“點數小于7”和“點數為8”是隨機事件嗎？兩個特殊的事件：必件然事即在試驗中必定發生的事件，記為Ω;

不件可事能即在試驗中必定不發生的事件，記為φ

。第10頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五用集合表示事件樣本空間，樣本點.

ΩA樣本點ω.....事件就是由樣本點組成的某個集合.第11頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例1.拋兩顆骰子，觀察點數。樣本空間Ω={(x,y)|x,y=1,2,…,6}A=“兩顆點數相同”B=“兩顆點數之和大于10”C=“兩顆點數之和小于20”D=“兩顆點數之和為10，點數之差為4”第12頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五事件間的關系和運算1.事件的包含2.事件的相等3.事件的積（交）4.互不相容事件(互斥)第13頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五5.事件的和（并）7.逆事件（對立事件）6.差事件A-B第14頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五事件的運算法則1.交換律2.結合律3.分配律4.對偶原則第15頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例2：某人連續買了3期彩票，設表示事件“第i期中獎”(i=1,2,3）,試用及對立事件表示下列事件：

1.3期中至少有1期中獎；

2.3期都中獎；

3.3期中恰好有1期中獎；

4.3期都不中獎；

5.3期中最多有1期中獎。第16頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例3：化簡第17頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五

研究隨機現象，不僅要關心試驗中會出現哪些事件，更重要的是要知道事件出現的可能性大小。事率件概的第18頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五23479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，其中六個紅球，四個黑球，把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球，求取到紅球的概率。古典概率§1.2概率的直觀定義第19頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五

1.試驗有有限個基本事件e1,e2,…，eN古典概型試驗

2.每次試驗中各基本事件出現的可能性均相同第20頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五概率的古典定義若試驗中只有n個等可能的基本事件，而某個事件A包含m個基本事件,則m/n為事件A的概率，即P(A)=事件A包含的基本事件數所有可能的基本事件數=m/nn個基本事件m個第21頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五古典概率P(A)的性質？0≤P(A)≤1P(Ω)=1P(φ)=0非負性規范性有限可加性若事件A1，A2,…,An兩兩互不相容，則有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+…+P(An)第22頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五古典概率計算舉例例1.袋中裝有8只紅球，2只黑球，從中任取兩只。a.一紅一黑的概率。b.至少有一只黑球的概率。第23頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五（超幾何分布）一批產品共有N件，其中M件是次品?，F在從全部N件產品中隨機的抽取n件（n≤N),求恰好取到k（k≤M)件次品的概率。第24頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例2.有n(n≤365)個人，設每個人的生日是任一天的概率為1/365.求這n

個人中至少有兩個人的生日相同的概率.n2223243040505760P0.4760.5070.5380.7060.8910.9700.9900.994第25頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例3.從0，1，2,…，9共10個數字中任取1個，假定每個數字都以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出4個數字，試求下列各事件的概率。1．

“4個數字各不相同”2．

“4個數字全相同”3.“4個數字組成4位各不相同的4位數”4．

“4個數字組成一個3位數”5．

“4個數字組成一個4位偶數”6. “4個數字恰好有2個0”第26頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五在n次重復試驗中，事件A出現m次，則n次試驗中，事件A出現的頻率fn(A)=m/n統計概率第27頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五實驗者拋擲次數n正面出現次數m正面出現頻率m/n德摩爾根204810610.518蒲豐404020480.5069弗勒1000049790.4979皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998拋硬幣試驗第28頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五當各輪試驗次數n1,n2,…,ns

充分大時，在各輪試驗中事件A出現的頻率總在一個定值附近擺動.

而且，試驗次數越多，一般來說擺動越小.頻率穩定在某個值

附近頻率穩定性第29頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五在相同條件下對試驗E重復進行n次，其中事件A出現m次。當試驗次數n充分大時，事件A出現的頻率fn(A)=m/n的穩定值,稱為事件A的概率，記為P(A).P=P(A)≈fn(A)=m/n概率的統計定義第30頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五2.對于較大的n，n次試驗中事件A的頻率，一般與事件A的概率P相差不大，試驗次數n越大，頻率與概率有較大偏差的情形就越少見.因此人們常取試驗次數很大時事件的頻率或一系列頻率的平均值作為概率的估計值。頻率和概率有什么區別和聯系？1.頻率取決于試驗，而概率是先于試驗而客觀存在的。第31頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應對這個射手在同樣條件下大量射擊情況進行觀察記錄.若他射擊n發，中靶m發，當n很大時，可用頻率m/n作為他中靶概率的估計.第32頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五醫生在檢查完病人的時候搖搖頭,“你的病很重，在十個得這種病的人中只有一個能救活.”當病人被這個消息嚇得夠嗆時，醫生繼續說“但你是幸運的.因為你找到了我，我已經看過九個病人了，他們都死于此病.”第33頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五幾何概率A向該正方形隨機投針，求針落在紅色區域A的概率1.樣本空間是直線、平面或空間上的某個有限區域，含有無限多個樣本點；2.各個樣本點對應的基本事件的發生是等可能的。幾何概型試驗第34頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五設隨機試驗E的每一個可能結果是等可能地落在區域Ω上的一點M（稱為隨機點），且,則點M落在區域D（事件A)上的概率為幾何概率定義P(A)=D的幾何度量Ω的幾何度量其中“測度”即長度、面積或體積等。

ΩD第35頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五幾何概率應用1.設公共汽車每5分鐘一班，求乘客在車站等車不超過1分鐘的概率。3.在圓周上任取三個點A,B,C,求三角形ABC為銳角三角形的概率。2.甲、乙兩人相約在8時到9時

在某地會面.先到的人等候另一個人15分后即可離去.設每人在這1小時內各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不影響.求甲、乙兩人能會面的概率.第36頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五補：蒲豐投針試驗1777年,法國科學家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗問題.平面上畫有等距離為a(>0)的一些平行直線,現向此平面任意投擲一根長為b(<a)的針,試求針與任一平行直線相交的概率.第37頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五第38頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五第39頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五作業2.某人將四封寫好的信隨機裝入四個寫好地址的信封中(一個信封裝一封信)，問:a.四封信恰好都裝對的概率？b.沒有一封信裝對地址的概率是多少？c.恰好有幾封信裝對的概率最大？習題一：3、51.n雙相異的鞋(共2n只)隨機地分成n堆，每堆2只.求“各堆都自成一雙鞋”的概率。第40頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五一等獎：7個正選號碼全中二等獎：中6個正選號碼以及特別號碼三等獎：中6個正選號碼四等獎：中5個正選號碼以及特別號碼五等獎：中5個正選號碼六等獎：中4個正選號碼以及特別號碼七等獎：中4個正選號碼3.求“體彩31選7”中各獎項中獎概率及不中獎概率。第41頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五習題一：82.模擬題一：133.在一張畫滿邊長為4厘米的方格的紙上，隨機地投擲一枚半徑為1厘米的硬幣，求硬幣與方格線相交的概率。第42頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五§1.3概率的公理化定義概率的公理化定義安德雷·柯爾莫哥洛夫1903-1987第43頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五設隨機試驗E的樣本空間為Ω

，所有事件構成事件集合L，對于L上的任一事件A賦予一個實數P(A),滿足：1.0≤P(A)≤12.P(Ω)=13.對于E的兩兩不相容的事件A1,A2,…,有則稱實數P(A)為事件A的概率。第44頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五概率的重要性質1.不可能事件的概率為0。即P(φ)=02.(有限可加性）若隨機事件 互不相容，則3.對任一隨機事件A,有第45頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五對任意事件A、B，P(A-B)=P(A)-P(B)？？？對任意事件A、B，則有

P(A-B)=P(A)-P(AB)4.設兩個事件A、B滿足 ，則有P(A-B)=P(A)-P(B)第46頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五5.對任意事件A、B,則有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)第47頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例1：已知 1.若P(AB)=0.22.若A與B互不相容3.第48頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例2.52張撲克牌任取13張，求至少缺少一種花色的概率。第49頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五課后思考:把n

封信隨機地裝入n個寫好地址的信封中（一個信封一封信）,求沒有一封信配對的概率。第50頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五作業1.習題一：102.從5雙不同鞋中任意取4只，求這4只鞋中至少有兩只鞋配成一雙的概率。3.從1,2,…,9中可重復地任取n次，求n次所取數字的乘積能被10整除的概率。第51頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五1.A、B是兩個隨機事件，P(AB)=0，則必有()A、B為對立事件；

A、B為互不相容事件；

課堂練習第52頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五23479108615一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，將球編號為1－10.從中任取一球.Ｂ="取出的球號為偶數”C=“取到的球號是大于3的偶數”D=“已知取到的球號大于3，問它的球號為偶數”A=“取到的球號大于3”§1.4條件概率與乘法公式第53頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.如在事件A發生的條件下求事件B發生的概率，將此概率記作P(B|A).第54頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五設Ａ、B是隨機試驗E的兩個隨機事件，且P(A)>0,則稱為已知事件A發生條件下，事件B發生的條件概率。條件概率第55頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例1：一個家庭中有兩個小孩，已知其中有男孩，問兩個都是男孩的概率是多少（假設生男生女是等可能的）？

例2：設某種動物由出生活到10歲的概率為0.8，而活到15歲的概率為0.4，求現年為10歲的這種動物能活到15歲的概率。第56頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五推廣到n個事件的情況乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A),設A，B為任意事件，若P(A)>0P(AB)=P(B)P(A|B)若P(B)>0第57頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例3：箱中有5個紅球和3個白球，現不放回地取出2球，假設每次抽取時，箱中各球被取出是等可能的，問：

a.已知第一次取出紅球，則第二次仍取出紅球的概率是多少？

b.兩次都是紅球的概率。第58頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例4：10個考簽中有4個難簽，甲乙兩人依次抽簽。求a.甲乙都抽到難簽的概率。b.甲抽到難簽的概率。c.乙抽到難簽的概率。第59頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五完備事件組與全概率公式第60頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五設A1,A2,…,An是完備事件組，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且則對于事件B,有定理第61頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例1:某保險公司把被保險人分為三類：“安全的”、“一般的”與“危險的”。統計資料表明，對于上述3種人而言，在一年期間內發生事故的概率依次為0.05、0.15與0.30。如果在被保險人中“安全的”占15%，“一般的”占55%，“危險的”占30%，試問任一被保險人在一年中發生事故的概率是多少？第62頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結果”，每個原因對結果的發生有一定的“作用”，即結果發生的可能性與各種原因的“作用”大小有關.全概率公式表達了它們之間的關系.A1A2A3A4A5A6A7A8B諸Ai是原因B是結果第63頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五實際中還有下面一類問題，是“已知結果求原因”如果某被保險人在一年中發生了事故，則他屬于“危險的”一類人的概率是多少？第64頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五貝葉斯公式設A1,A2,…,An是完備事件組,P(Ak)>0(k=1,2,…,n),且 ，則B已發生的條件下，Ak發生的概率為第65頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例1：甲胎蛋白試驗法是早期發現肝癌的一種有效手段。據統計，肝癌患者甲胎蛋白試驗呈陽性反應的概率為95%，非肝癌患者甲胎蛋白試驗呈陽性反應的概率為4%。已知某地人群中肝癌患者占0.4%，現在此地有一人用甲胎蛋白試驗法進行檢查，結果顯示陽性，問這人確定是肝癌患者的概率是多少？第66頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例2：10個考簽中有4個難簽，甲乙兩人依次抽簽。求：a.已知甲抽到難簽，求乙抽到難簽的概率。b.已知乙抽到難簽，求甲抽到難簽的概率。第67頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率,它們實質上是加法公式和乘法公式的綜合運用.綜合運用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0第68頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五作業習題一：15、16、18、191.12個乒乓球中有9個新的，3個舊的，第一次比賽取出了3個，用完后放回去，第二次比賽又取出3個，（1）求第二次比賽取到的3個球全是新球的概率。（2）求在已知第二次比賽取到的3個球全是新球的條件下，第一次比賽所取3個球全都是新球的概率。第69頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五第70頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五23479108615一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，其中六個紅球，四個黑球，把球攪勻。分別在以下情況下求已知第一次是紅球時，第二次也是紅球的概率。無放回抽取有放回抽取a.連續兩次從中任取一球;b.取一球后放回袋中再任取一球;§1.5事件的獨立性第71頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五定義：若兩事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B)則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立.事件獨立性若兩事件A、B，P(A)>0,且有P(B)=P(B|A),則A、B獨立.概率為零的事件與任何事件相互獨立第72頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例1.

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}問事件A、B是否獨立？例2.

拋擲一枚均勻的硬幣，已知連續5次正面朝上，求第六次反面朝上的概率。例3.甲乙兩人獨立向同一目標射擊，其命中率分別為0.4,0.5,求該目標被命中的概率。第73頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五定理1若兩事件A、B獨立，則

也相互獨立.第74頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五

P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)給出以下等式成立的條件充要條件：第75頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五已知事件A、B，P(A)>0,P(B)>0若A、B互斥,它們相互獨立嗎？若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A

、B不互斥.第76頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五設A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)課堂練習第77頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五三個事件的獨立性區別兩兩獨立對于三個事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四個等式同時成立,則稱事件A、B、C相互獨立.

第78頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例3：如果將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正面H和反面T的出現情況，則此時樣本空間為設事件A表示“第一次正面朝上”；事件B表示“第二次正面朝上”；事件C表示“兩次出現情況相同”

討論A、B、C的獨立性。第79頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五多個事件的獨立性設A1,A2,…,An是n個事件，如果對任意k(1<k

n),任意1i1<i2<…<ik

n,具有等式則稱A1,A2,…,An為相互獨立的事件.第80頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五例4.設每支步槍射擊飛機命中的概率為0.004,求250支步槍同時獨立地進行一次射擊時，擊中飛機的概率。第81頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五a1a2an…例5各元件的可靠性均為r(0<r<1),求各系統的可靠性。a1...a2an第82頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五a1a2an…b1b2bn…a1b1a2b2anbn…第83頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五1.設射手每一次擊中目標的概率為0.3，現連續射擊4次，求恰好擊中2次目標的概率是多少？3.一批產品共有200個，其中6個是廢品?，F在有放回地抽取了6件，求恰好有三件廢品的概率。2.設生男孩的概率為0.49,生女孩的概率為0.51，現隨機抽查出生的10個嬰兒中男孩恰有4個的概率。第84頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五伯努利概型如果在相同的條件下進行n次獨立隨機試驗，且每次試驗的結果僅有兩個，稱這種最簡單的獨立試驗概型為n次伯努利概型。伯努利定理設一次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1)，則n次伯努利試驗中，事件A恰好發生k次的概率pn(k)為第85頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五作業習題一：21、22模擬題一：143.

三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

第86頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五1.概率的直觀定義(統計概率,古典概率和幾何概率)2.事件間的關系(包含、對立、互不相容和獨立)

事件間的運算(和、積和差)3.概率的性質,并應用性質計算事件的概率4.條件概率的定義、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式5.伯努利概型及其計算第87頁，共97頁，2023年，2月20日，星期五1.從1,2,3,4,5這5個數字中任取3個，組成沒有重復數字的三位數，則這個三位數大于400的概率為（）。