-PAGE1-第三章方程（組）與中考中考要求及命題趨勢一元一次方程與一元一次方程組是初中有關方程的基礎，在各地中考題中，多數以填空、選擇和解答題的形式出現，大多考查一元一次方程及一次方程組的概念和解法，一般占5%左右。方程和方程組的應用題是中考的必考題，考查學生建模能力和分析問題和解決問題的能力，以貼進生活的題目為主。占10%左右。2009年中考將繼續考查概念和解法這些基礎知識，類型仍以選擇、填空為主，也可能出現解答題，有時也會與一次函數、一次不等式相結合出題。一元二次方程是二次函數的一種特殊形式，兩者有著密切的關系，實驗區各地中考題主要以填充、選擇、解答題、綜合題的形式考查一元二次方程的概念、解法，一般占5%左右。2007年中考將繼續以考查概念和解法為主，形式基本相同。新課標中分式方程以簡化，只考查了化為一元一次方程的分式方程。大多以填空、解答題出現，以考查解法為主，一般占3%左右。2007年中考將以考查解法為主，題型仍不會變。方程和方程組的應用題是中考的必考題，近幾年主要考查學生建模能力和分析問題、解決問題的能力，以貼近生活的題目為主。一般占10%左右。2007年中考仍將以生活應用題為出題方向，或者與函數綜合出題。應試對策要弄清一元一次方程及二元一次方程組的定義，方程（組）的解（整數解）等概念。要熟練掌握一元一次方程，二元一次方程組的解法。要弄清一元一次方程與一次函數、一元一次不等式之間的關系。要弄清一元二次方程的定義，ax+bx+c=0(a 0),a,b,c均為常數，尤其a不為零要切記。要弄清一元二次方程的解的概念。要熟練掌握一元二次方程的幾種解法，如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程為一元一次方程的轉化思想。要加強一元二次方程與二次函數之間的綜合的訓練。讓學生理解化分式方程為整式方程的思想。熟練掌握解分式方程的方法。讓學生學會行程、工程、儲蓄、打折銷售等基本類型應用題的分析。讓學生掌握生活中問題的數學建模的方法，多做一些綜合性的訓練。〖知識點〗等式及基本性質、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二次方程、簡單的高次方程〖大綱要求〗理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；理解等式的基本性質，能利用等式的基本性質進行方程的變形，掌握解一元一次方程的一般步驟，能熟練地解一元一次方程；會推導一元二次方程的求根公式，理解公式法與用直接開平方法、配方法解一元二次方程的關系，會選用適當的方法熟練地解一元二次方程；了解高次方程的概念，會用因式分解法或換元法解可化為一元一次方程和一元二次方程的簡單的高次方程；體驗“未知”與“已知”的對立統一關系。內容分析1．方程的有關概念含有未知數的等式叫做方程．使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解(只含有—個未知數的方程的解，也叫做根)．2．一次方程(組)的解法和應用只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，系數不為零的方程，叫做一元一次方程．解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項和系數化成1．3.一元二次方程的解法(!)直接開平方法形如(mx+n)2=r(r≥o)的方程，兩邊開平方，即可轉化為兩個一元一次方程來解，這種方法叫做直接開平方法．(2)把一元二次方程通過配方化成(mx+n)2=r(r≥o)的形式，再用直接開平方法解，這種方法叫做配方法．(3)公式法通過配方法可以求得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)因式分解法如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左邊可以分解為兩個一次因式的積，那么根據兩個因式的積等于O，這兩個因式至少有一個為O，原方程可轉化為兩個一元一次方程來解，這種方法叫做因式分解法．〖考查重點與常見題型〗考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有關習題常出現在填空題和選擇題中。第一講一次方程（組）及應用【回顧與思考】【例題經典】掌握一元一次方程的解法步驟例1解方程：x－【點評】按去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，五步進行掌握二元一次方程組的解法例2已知方程組的解為，求2a－3b的值．【點評】將代入原方程組后利用加減法解關于a，b的方程組．例3、某電視臺在黃金時段的2min廣告時間內，計劃插播長度為15s和30s的兩種廣告，15s廣告每播1次收費0.6萬元，30s廣告每播1次收費1萬元。若要求每種廣告播放不少于2次。問：⑴兩種廣告的播放次數有幾中安排方式？⑵電視臺選擇哪種方式播放收益較大？點評：本題只能列出一個二元一次方程，因此需要學生對二元一次方程的解有深刻的理解。體現了“從知識立意向能力立意轉變”的新命題理念。解：（1）設15s廣告播放x次，30s廣告播放y次。15x+30y=120而x,y均為不小于2的正整數，∴或（2）方案14.4萬元；方案24.2萬元。一次方程的應用例1．下圖是學校化學實驗室用于放試管的木架，在每層長29cm的木條上鉆有6個圓孔，每個圓孔的直徑均為2．5cm．兩端與圓孔邊緣及任何相鄰兩孔邊緣之間的距離都相等并設為Xcm，則x為()A．2B．2．15C．2．33D．2．36分析：考查列一元一次方程并解方程答案：A例2據某統計數據顯示，在我國的664座城市中，按水資源情況可分為三類：暫不缺水城市，一般缺水城市和嚴重缺水城市，其中，暫不缺水城市數比嚴重缺水城市數的4倍少50座，一般缺水城市是嚴重缺水城市數的2倍，求嚴重缺水城市有多少座？【點評】一元一次方程或二元一次方程組都可解答此題．例3.小紅家春天粉刷房間，雇用了5個工人，干了10天完成；用了某種涂料150升，費用為4800元；粉刷的面積是150m方案一：按工算，每個工30元；(1個工人干1天是一個工)；方案二：按涂料費用算，涂料費用的30％作為工錢；方案三：按粉刷面積算，每平方米付工錢12元．請你幫小紅家出主意，選擇方案付錢最合算(最省)．分析：考查方程和方程的應用，方案一：5*10*30+4800=6300元方案二：4800*30%=1440元，方案三：12*150=1800元答案：方案二第二講一元二次方程及應用【回顧與思考】【例題經典】掌握一元二次方程的解法例1解方程：（1）3x2+8x－3=0；（2）9x2+6x+1=0；（3）x－2=x（x－2）；（4）x2－2x+2=0例2.用換元法解方程(x－)2－3x++2=0時，如果設x－=y，那么原方程可轉化為()D(A)y2+3y+2=O(B)y2—3y－2=0(C)y2+3y－2=0(D)y2－3y+2=0分析：考查用換元法解方程答案：D例3.若關于x的方程x2+px+1=0的一個實數根的倒數恰是它本身，則p的值是．分析：一個實數的倒數是它的本身，這個實數是±1答案：±2例4.關于x的一元二次方程的兩根為，，則分解因式的結果為_________________________；分析：考查一元二次方程和分解因式的綜合。將x1、x2的值代入方程求出b、c答案：(x－1)(x－2)會判斷一元二次方程根的情況例1不解方程判別方程2x2+3x－4=0的根的情況是（）A．有兩個相等實數根；B．有兩個不相等的實數根；C．只有一個實數根；D．沒有實數根【點評】根據b2－4ac與0的大小關系來判斷例2已知一元二次方程x2－4x+k=0有兩個不相等的實數根(1)求k的取值范圍;(2)如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x2－4x+k=0與x2+mx－1=0有一個相同的根，求此時m的值.點評：本題考查了解一元二次方程的解法、根的判別式、不等式的整數解等知識點。一元二次方程的應用例3某印刷廠1月份印刷了書籍60萬冊，第一季度共印刷了200萬冊，問2、3月份平均每月的增長率是多少？【點評】設2、3月份平均每月的增長率為x，即60+60（1+x）+60（1+x）2=200第三講分式方程及應用【回顧與思考】〖知識點〗分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根〖大綱要求〗了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把簡單的分式方程、二次根式方程轉化為一元一次方程、一元二次方程的一般方法，會用換元法解方程，會檢驗。內容分析1．分式方程的解法(1)去分母法用去分母法解分式方程的一般步驟是：

（i)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；

(ii)解這個整式方程；

(iii)把整式方程的根代入最簡公分母，看結果是不是零，使最簡公分母不為零的根是原方程的根，使最簡公分母為零的根是增根，必須舍去.在上述步驟中，去分母是關鍵，驗根只需代入員簡公分母.(2)換元法用換元法解分式方程，也就是把適當的分式換成新的未知數，求出新的未知數后求出原來的未知數．2．二次根式方程的解法(1)兩邊平方法用兩邊平方法解無理方程的—般步驟是：(i)方程兩邊都平方，去掉根號，化成有理方程；(ii)解這個有理方程；(iii)把有理方程的根代入原方程進行檢驗，如果適合，就是原方程的根，如果不適合，就是增根，必須舍去．在上述步驟中，兩邊平方是關鍵，驗根必須代入原方程進行．(2)換元法用換元法解無理方程，就是把適當的根號下臺有未知數的式子換成新的未知數，求出新的未知數后再求原來的未知數．〖考查重點與常見題型〗考查換元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查換元的能力，常出現在選擇題中另一部分習題考查完整的解題能力，習題出現在中檔解答題中。【例題經典】理解分式方程的有關概念例1指出下列方程中，分式方程有（）①=5②=5③x2－5x=0④+3=0A．1個B．2個C．3個D．4個【點評】根據分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知數．掌握分式方程的解法步驟例2解方程：（1）；（2）。【點評】注意分式方程最后要驗根。例3.解方程：分析：考查解分式方程答案：x1=3，x2=4/3都是原方程的根例4（1）、用換元法解分式方程EQ\F(3x,x2－1)＋EQ\F(x2－1,3x)＝3時，設EQ\F(3x,x2－1)＝y，原方程變形為（）（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0（2）、用換元法解方程x2＋8x＋EQ\R(,x2＋8x－11)＝23，若設y＝EQ\R(,x2＋8x－11)，則原方程可化為（）（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0分式方程的應用例5某服裝廠裝備加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技術，使每天的工作效率是原來的2倍，結果共用9天完成任務，求該廠原來每天加工多少套演出服．【點評】要用到關系式：工作效率＝。例6某公路上一路段的道路維修工程準備對外招標，現有甲、乙兩個工程隊競標，競標資料上顯示：若由兩隊合做，6天可以完成，共需工程費用10200元；若單獨完成此項工程，甲隊比乙隊少用5天．但甲隊每天的工程費用比乙隊多300元，工程指揮部決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成此項工程，若從節省資金的角度考慮，應該選擇哪個工程隊?為什么?解：設甲隊每天費用為a元，乙隊每天費用為b元，則(a+b)×6=10200a－b=300解：設甲隊獨做需x天完成，則乙隊獨做(x+5)天完成．由題意，列方程．整理得x2－7x－30=O．解之得x1=10，x2=－3．經檢驗x1'x2都是原方程的根，但x2=－3不合題意舍去．∴甲隊獨做需10天完成，乙隊獨做需15天完成．解之得a=1000b=700所以甲隊獨做的費用為1000×10=10000(元)，乙隊獨做的費用為700×15=10500(元)．∵10500>10000．．若從節省資金的角度考慮，應選擇甲工程隊．例7為滿足用水量不斷增長的需求，昆明市最近新建甲、乙、丙三個水廠，這三個水廠的日供水量共計11．8萬立方米，其中乙水廠的日供水量是甲水廠日供水量的3倍，丙水廠的日供水量比甲水廠日供水量的一半還多1(1)求這三個水廠的日供水量各是多少萬立方米?(2)在修建甲水廠的輸水管道的工程中要運走600噸土石，運輸公司派出A型、B型兩種載重汽車，A型汽車6輛、B型汽車4輛，分別運5次，可把土石運完；或者A型汽車3輛、B型汽車6輛，分別運5次，也可把土石運完．那么每輛A型汽車、每輛B型汽車每次運土石各多少噸?(每輛汽車運土石都以標準載重量滿載)解：(1)設甲水廠的日供水量是x萬立方米，則乙水廠的日供水量是3x萬立方米，丙水廠的日供水量是(x/2+1)萬立方米．由題意得：x+3x+x/4+1=11．8解得：x=2．4答：甲水廠日供水量是2．4萬立方米，乙水廠日供水量是7．2萬立方米，丙水廠日供水量是2．2萬立方米．(2)每輛A型汽車每次運土石lO噸、每輛B型汽車每次運土石15噸．第四講列出方程(組)解應用題〖知識點〗列方程（組）解應用題的一般步驟、列方程（組）解應用題的核心、應用問題的主要類型〖大綱要求〗能夠列方程（組）解應用題內容分析列出方程(組)解應用題的一般步驟是：(i)弄清題意和題目中的已知數、未知數，用字母表示題目中的一個(或幾個)未知數;(ii)找出能夠表示應用題全部含義的一個(或幾個)相等關系;(iii)根據找出的相等關系列出需要的代數式，從而列出方程(或方程組);(iv)解這個方程(或方程組)，求出未知數的值;(v)寫出答案(包括單位名稱)．〖考查重點與常見題型〗考查列方程（組）解應用題的能力，其中重點是列一元二次方程或列分式方程解應用題，習題以工程問題、行程問題為主，近幾年出現了一些經濟問題，應引起注意.一、填空題1.某商品標價為165元，若降價以九折出售（即優惠10％），仍可獲利10％（相對于進貨價），則該商品的進貨價是2.甲、乙二人投資合辦一個企業，并協議按照投資額的比例分配所得利潤，已知甲與乙投資額的比例為3：4，首年的利潤為38500元，則甲、乙二人可獲得利潤分別為元和元3.某公司1996年出口創收135萬美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a％，那么，1998年這個公司出口創匯萬美元4.某城市現有42萬人口，計劃一年后城鎮人口增加0.8％，農村人口增加1.1％，這樣全市人口將增加1％，求這個城市現有的城鎮人口數與農村人口數，若設城鎮現有人口數為x萬，農村現有人口y萬，則所列方程組為5.在農業生產上，需要用含鹽16％的鹽水來選種，現有含鹽24％的鹽水200千克，需要加水多少千克？解：設需要加水x千克根據題意，列方程為，解這個方程，得答：.6.某電視機廠1994年向國家上繳利稅400萬元，1996年增加到484萬元，則該廠兩年上繳的利稅平均每年增長的百分率7.某種商品的進貨價每件為x元，零售價為每件900元，為了適應市場競爭，商店按零售價的九折降價并讓利40元銷售，仍可獲利10％（相對于進價），則x＝元8．一個批發與零售兼營的文具店規定，凡是一次購買鉛筆301支以上（包括301支），可以按批發價付款；購買300支以下（包括300支）只能按零售價付款，現有學生小王來購買鉛筆，如果給學校初三年級學生每人買1支，則只能按零售價付款，需用(m2－1)元（m為正整數，且m2－1>100）；如果多買60支，則可以按批發價付款，同樣需用(m2－1)元.(1)設這個學校初三年級共有x名學生，則(a)x的取值范圍應為(b)鉛筆的零售價每支應為元，批發價每支應為元（用含x，m的代數式表示）(2)若按批發價每購15支比按零售價每購15少付款1元，試求這個學校初三年級共有多少名學生，并確定m的值。二．列方程解應用題某商店運進120臺空調準備銷售，由于開展了促銷活動，每天比原計劃多售出4臺，結果提前5天完成銷售任務，原計劃每天銷售多少臺？我省1995年初中畢業會考（中考）六科成績合格的人數為8萬人，1997年上升到9萬人，求則兩年平均增長的百分率（取eq\r(2)=1.41）甲、乙兩隊完成某項工作，甲單獨完成比乙單獨完成快15天，如果甲單獨先工作10天，再由乙單獨工作15天，就可完成這項工作的eq\f(2,3)，求甲、乙兩人單獨完成這項工作各需多少天？某校校長暑期將帶領該校市級“三好學生”去北京旅游，甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學生可享受半價優待”，乙旅行社說：“包括校長在內全部按全票價的6折優惠（即按全票價的60％收費），若全票為240元(1)設學生數為x，甲旅行社收費為y甲，乙旅行社收費為y乙，分別計算兩家旅行社的收費（建立表達式）(2)當學生數為多少時，兩家旅行社的收費一樣？(3)就學生數x討論哪家旅行社更優惠？現有含鹽15％的鹽水內400克，張老師要求將鹽水質量分數變為12％。某同學由于計算失誤，加進了110甲步行上午6時從A地出發于下午5時到達B地，乙騎自行車上午10時從A地出發，于下午3時到達B地，問乙在什么時間追上甲的？中華中學為迎接香港回歸，從1994年到1997年內師生共植樹1997棵，已知該校1994年植樹342棵，1995年植樹500棵，如果1996年和1997年植樹棵數的年增長率相同，那么該校1997年植樹多少棵？要建一個面積為150m2的長方形養雞場，為了節約材料，雞場的一邊靠著原有的一條墻，墻長為am，另三邊用竹籬笆圍成，如圖，如果籬笆的長為35m，（1）求雞場的長與寬各為多少？（2）題中墻的長度a對題目的解起著怎樣的作用？永盛電子有限公司向工商銀行申請了甲乙兩種款，共計68萬元，每年需付出利息8.42萬元，甲種貸款每年的利率是12％，乙種貸款每年的利率是13％，求這兩種貸款的數額各是多少？10．小明將勤工儉學掙得的100元錢按一年期存入少兒銀行，到期后取出50元用來購買學習用品，剩下的50元和應得的利息又全部按一年期存入。若存款的年利率保持不變，這樣到期后可得本金和利息共66元，求這種存款的年利率。11.某公司向銀行貸款40萬元，用來生產某種新產品，已知該貸款的年利率為15％（不計復利，即還貸前每年息不重復計息），每個新產品的成本是2.3元，售價是4元，應納稅款為銷售額的10％。如果每年生產該種