掌握利用向量方法解決面面的夾角的求法．重點：二面角與向量夾角的關系．難點：如何用直線的方向向量和平面的法向量來表達線面角和二面角．第一頁，共13頁。溫故知新1．回顧復習二面角及其平面角的定義，求法．思維導航2．怎樣用空間向量來求二面角的大小？知識點：二面角第二頁，共13頁。3．用向量方法求二面角平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，<n1，n2>＝θ，則二面角α－l－β為θ或π－θ．設二面角大小為φ，則|cosφ|＝__________＝__________．|cosθ|第三頁，共13頁。利用向量法求二面角的兩種方法

(1)若AB,CD分別是兩個平面α,β內與棱l垂直的異面直線,則兩個平面的夾角的大小就是向量與的夾角,如圖①.

(2)設n1,n2分別是平面α,β的法向量,則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是兩個平面夾角的大小,如圖②第四頁，共13頁。例題講解：正方體ABEF-DCE′F′中,M,N分別為AC,BF的中點(如圖),求平面MNA與平面MNB所成角的余弦值.

第五頁，共13頁。【解析】方法一：設正方體棱長為1.以B為坐標原點，BA，BE，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系B-xyz，則A(1，0，0)，B(0，0，0)．取MN的中點G，連接BG，AG，則

因為△AMN，△BMN為等腰三角形，

所以AG⊥MN，BG⊥MN.所以∠AGB為

二面角的平面角或其補角．

因為

所以

第六頁，共13頁。故所求兩平面所成角的余弦值為

方法二：設平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．令x＝1，解得y＝1，z＝1，所以n1＝(1，1，1)．同理可求得平面BMN的一個法向量n2＝(1，－1，－1)．所以

cos〈n1，n2〉=故所求兩平面所成角的余弦值為第七頁，共13頁。練習：如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分別為PC，PD，BC的中點．

(1)求證：PA⊥EF.

(2)求二面角D-FG-E的余弦值．

第八頁，共13頁。【解析】以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),F(0,0,1),G(-2,1,0).(1)證明：由于＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，則＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，所以PA⊥EF.第九頁，共13頁。(2)易知＝(0，0，1)，＝(1，0，0)，＝(－2，1，－1)，

設平面DFG的法向量m＝(x1，y1，z1)，

則解得

令x1＝1，得m＝(1，2，0)是平面DFG的一個法向量．

第十頁，共13頁。設平面EFG的法向量n＝(x2，y2，z2)，同理可得n＝(0，1，1)是平面EFG的一個法向量．因為cos〈m，n〉＝設二面角D-FG-E的平面角為θ，由圖可知θ＝π－〈m，n〉，所以cosθ＝所以二面角D-FG-E的余弦值為.第十一頁，共13頁。課后訓練：(1)在一個二面角的兩個面內都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0,-1,3),(2,2,4),則這個二面角的余弦值為(

)(2)PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝求二面角A-PB-C的余弦值．第十二頁，共13頁。課堂小結：利用空間向量求二面角的方法(1)若AB,CD分別是兩個平面α,β內與棱l垂直的異面直線,則兩個平面的夾角的大小就是向量與