八年級上冊數學北師大版知識點總結(精校版)第一章勾股定理第一節、探究勾股定理1、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2。2、勾股定理的逆定理假如三角形的三邊長a，b，c相關系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的合用范圍：僅限于直角三角形4、勾股數：知足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數。常有的勾股數有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12,13）（9,12,15）7,24,25）（9,40,41）。5、勾股數的規律1）短直角邊為奇數，另一條直角邊與斜邊是兩個連續的自然數，兩邊之和是短直角邊的平方。即當a為奇數且a＜b時，假如b+c=a2，那么a,b,c就是一組勾股數，如（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（9,40,41）等。（2）大于2的隨意偶數，2n(n＞1)都可構成一組勾股數分別是：2n,n2-1,n2+1，如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）等。第二節、必定是直角三角形嗎1、有一個角是直角（900）的三角形是直角三角形。2、直角三角形的性質①直角三角形的兩個銳角互余。②在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。③在直角三角形中，假如有一個銳角等于300，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。④在直角三角形中，假如有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于300。⑤直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。1/17⑥直角三角形斜邊上的高=兩直角邊乘積/斜邊。3、直角三角形的判斷①有一個角是900的三角形是直角三角形。②一條邊的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形。③有兩個角互余的三角形是直角三角形。④兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形是直角三角形。第三節、勾股定理的應用1、證明直角三角形及其余波及直角三角形的問題。2、判斷實質問題中兩線段能否垂直的問題。以已知線段為邊結構三角形，依據三邊的長度，利用勾股定理的逆定理解題。3、解立體圖形上兩點之間的最短距離問題1）將立體圖形展成平面圖形。2）依據“兩點之間線段最短”確立最短路線。3）最后以上邊的最短路線為邊結構直角三角形，利用勾股定理解決。圓柱表面螞蟻吃面包：圓柱高的平方+地面周長一半的平方=最短距離的平方。第二章實數第一節、認識無理數1、無理數：無窮不循環小數叫做無理數。2、在理解無理數時，要抓住“無窮不循環”這一時之，概括起來有5類：（1）開方開不盡的數。（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如3π+8等。（3）有特定結構的數，如0.1010010001等。（4）某些三角函數值，如sin60o等。（5）無窮不循環小數。3、無理數和有理數的差別①有理數指的是有限小數和無窮循環小數，而無理數則是無窮不循環小數。②全部的有理數都能寫成分數的形式（整數能夠當作是分母為1的分數），而無理數則不可以寫成分數形式。2/17第二節、平方根1、算術平方根：一般地，假如一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x就叫做a的算術平方根。特別地，0的算術平方根是0。表示方法：記作“”，讀作根號a。性質：正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。2、平方根：一般地，假如一個數x的平方等于a，即x2=a，那么這個數x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數a的平方根記做“”，讀作“正、負根號a”。性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。3、開平方：求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。注意a的兩重非負性：≥0且a≥0。第三節、立方根1、立方根：一般地，假如一個數x的立方等于a，即x3=a那么這個數x就叫做的立方根（或三次方根）。2、表示方法：記作。3、一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。4、，這說明三次根號內的負號能夠移到根號外面。第四節、估量1、用估量法確立無理數的大小①對于帶根號的無理數的近似值得確立，能夠經過平方運算或立方運算并采納“夾逼法”，即兩邊無窮迫近，逐級夾逼來達成。第一確立其整數部分的范圍，再確立十分位，百分位等小數部分。②決此類問題的要點是依照平方根（立方根）及開平方（開立方）的定義，進而采納兩邊夾逼的方法求解。2、“精準到”與“偏差小于”的差別①精準到1m，是指四舍五入到個位，答案獨一。②偏差小于1m，答案在其值左右1m內都切合題意，答案不獨一。3、用估量的方法比較數的大小3/17①用估量法比較兩個數的大小，一般起碼有一個是無理數，且在比較大小時，一般先采納剖析法，估量出無理數的大概范圍，再作詳細比較。②當比較兩個帶根號的無理數的大小時可用以下結論：若a＞b≥0,則＞若a＞b，則或a3＞b3若a、b都為正數，且a＞b時，則a2＞b2第五節、用計算器開方（本節內容為認識內容）1、會用計算器求平方根和立方根。2、運用計算器探究數學規律的活動，發展合情推理的能力。第六節、實數1、實數的觀點及分類數學上，實數定義為與數軸上的實數點相對應的正有理數有理數零有限小數和無窮循環小數負有理數實數正無理數無理數無窮不循環小數負無理數2、相反數實數與它的相反數時一對數（只有符號不一樣的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點對于原點對稱，假如a與b互為相反數，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。3、絕對值在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。（|a|≥0）。零的絕對值是它自己，也可當作它的相反數，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。4、倒數假如a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于自己的數是1和4/17-1。零沒有倒數。5、數軸規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的三因素缺一不行）。解題時要真實掌握數形聯合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈巧運用。6、實數大小的比較①實數比較大小：正數大于零，負數小于零，正數大于全部負數；數軸上的兩個點所表示的數，右側的總比左側的大；兩個負數，絕對值大的反而小。②實數大小比較的幾種常用方法1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右側的數總比左側的數大。2）求差比較：設a、b是實數。（3）求商比較法：設a、b。4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則5）平方法：設a、b是兩負實數，則第七節、二次根式1、含有二次根號“”；被開方數a一定是非負數。2、性質：1）3、最簡二次根式：運算結果若含有“”形式，一定知足：（1）被開方數5/17的因數是整數，因式是整式；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。4、非負數的狀況：根號下，平方，絕對值。5、實數的運算1）六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方。2）實數的運算次序先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，假如有括號，就先算括號里面的。（3）運算律加法互換律a+b=b+a加法聯合律(a+b)+c=a+(b+c)乘法互換律ab=ba乘法聯合律(ab)c=a(bc)乘法分派律a(b+c)=ab+ac第三章地點與坐標第一節、確立地點1、平面內確立一個物體的地點需要2個數據。2、確立地點的方法①隊列定位法：在這種方法中常把平面分紅若干行、列，而后利用行號和列號表示平面上點的地點，在此方法中，要切記某點的地點需要兩個相互獨立的數據，二者缺一不行。②方向角距離定位法：方向角和距離。③經緯定位法：它也需要兩個數據：經度和緯度。④地區定位法：只描繪某點所在的大概地點。如“解放路22號”3、弄清（a,b）中a與b各代表什么含義，次序不可以寫錯；圖形與語言的相互變換。（a是橫坐標，b是縱坐標）第二節、平面直角坐標系1、平面直角坐標系在平面內，兩條相互垂直且有公共原點的數軸，構成平面直角坐標系。其6/17中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統稱坐標軸。它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點；成立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。2、為了便于描繪坐標平面內點的地點，把坐標平面被x軸和y軸切割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點（坐標軸上的點），不屬于任何一個象限。3、點的坐標的觀點對于平面內隨意一點P，過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數對（a，b）叫做點的坐標。點的坐標用（a，b）表示，其次序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的地點不可以顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當把a≠b時，（a，b）和（b，a）是兩個不一樣點的坐標。平面內點的與有序實數對是一一對應的。4、不一樣地點的點的坐標的特色①各象限內點的坐標的特色點P(x,y)點P(x,y)點P(x,y)點P(x,y)②坐標軸上的點的特色點P(x,y)在x軸上，則y=0，x為隨意實數點P(x,y)在y軸上，則x=0，y為隨意實數點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上，則x，y同時為零，即點P坐標為0，0）即原點。③兩條坐標軸夾角均分線上點的坐標的特色點P(x,y)在第一、三象限夾角均分線（直線y=x）上，則x與y相等。點P(x,y)在第二、四象限夾角均分線上，則x與y互為相反數。④和坐標軸平行的直線上點的坐標的特色7/17位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標同樣。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標同樣。⑤對于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特色點P與點p’對于x軸對稱，則橫坐標相等，縱坐標互為相反數，即點P（x，y）對于x軸的對稱點為P’（x，-y）。點P與點p’對于y軸對稱，則縱坐標相等，橫坐標互為相反數，即點P（x，y）對于y軸的對稱點為P’（-x，y）。點P與點p’對于原點對稱，則橫、縱坐標均互為相反數，即點P（x，y）對于原點的對稱點為P’（-x，-y）。⑥點到坐標軸及原點的距離點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于y。（2）點P(x,y)到y軸的距離等于x。（3）點P(x,y)到原點的距離等于x2+y2。第三節、軸對稱與坐標變化坐標（x，y）的變化圖形的變化x×a或y×a被橫向或縱向拉長（壓縮）為本來的a倍x×a，y×a放大（減小）為本來的a倍x×（-1）或y×（-對于y軸或x軸對稱1）x×（-1），y×（-對于原點成中心對稱1）x+a或y+a沿x軸或y軸平移a個單位x+a，y+a沿x軸平移a個單位，再沿y軸平移a個單第四章一次函數第一節、函數1、函數的定義一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，假如給定一個x值，相應8/17地就確立了一個y值，那么我們稱y是x的函數，此中x是自變量，y是因變量。2、自變量取值范圍使函數存心義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實質意義幾方面考慮。3、函數的三種表示法及其優弊端①關系式（分析）法兩個變量間的函數關系，有時能夠用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關系式（分析）法。②列表法把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。③圖象法用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。4、由函數關系式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值。（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在座標平面內描出相應的點。（3）連線：依照自變量由小到大的次序，把所描各點用光滑的曲線連結起來。第二節、一次函數與正比率函數1、正比率函數和一次函數的觀點一般地，若兩個變量x，y間的關系能夠表示成y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。特別地，當一次函數y=kx+b中的b=0時（即y=kx）（k為常數，k≠0），稱y是x的正比率函數。2、一次函數的圖像:全部一次函數的圖像都是一條直線。3、一次函數、正比率函數圖像的主要特色：一次函數y=kx+b的圖像是經過點（0，b）的直線；正比率函數y=kx的圖9/17像是經過原點（0，0）的直線。4、正比率函數的性質一般地，正比率函數y=kx有以下性質：①當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大。②當k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。5、一次函數的性質一般地，一次函數y=kx+b有以下性質：①當k>0時，y隨x的增大而增大。②當k<0時，y隨x的增大而減小。6、正比率函數和一次函數分析式確實定確立一個正比率函數，就是要確立正比率函數定義式y=kx（k≠0）中的常數k。確立一個一次函數，需要確立一次函數定義式y=kx+b（k≠0）中的常數k和b。解這種問題的一般方法是待定系數法。第三節、一次函數的圖象10/17一次函數與一元一次方程的關系：任何一個一元一次方程都可轉變為：kx+b=0（k、b為常數，k≠0）的形式，而一次函數分析式形式正是y=kx+b（k、b為常數，k≠0）．當函數值為0時，即kx+b=0就與一元一次方程完整同樣。結論：因為任何一元一次方程都可轉變為kx+b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．因此解一元一次方程能夠轉變為：當一次函數值為0時，求相應的自變量的值。從圖象上看，這相當于已知直線y=kx+b確立它與x軸交點的橫坐標值。第四節、一次函數的應用1、確立分析式的幾種方法①依據實質意義直接寫出一次函數表達式，而后解決相應問題。（直表法）②已經明確函數種類，利用待定系數法建立函數表達式。（待定系數法）③利用問題中各個量之間的關系，變形推導所求兩個變量之間的函數關系式。（等式變形法）2、要點題型①依據各種信息猜想函數種類為一次函數，并考證猜想。②運用函數思想，建立函數模型解決（最值、決議）問題。依據實質意義直接寫出一次函數表達式，而后解決相應問題。特色：當所給問題中的兩個變量間的關系特別了然時，能夠依據二者之間的關系直接寫出關系式，而后解決問題。明確函數種類，利用待定系數法建立函數表達式。特色：所給問題中已經明確見告為一次函數關系或許給出函數的圖像為直11/17線或直線的一部分時，．．．．就等于告訴我們此函數為“一次函數”，此時能夠利用待定系數法，設關系式為：y=kx+b,而后找尋知足關系式的兩個x與的值或兩個圖像上的點，代入求解即可。第五章二元一次方程組第一節、認識二元一次方程組1、含有兩個未知數，而且所含未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程。比如：y=x+1,x-y=3,2x+4y=8都是二元一次方程。注意：①方程中的“元”是指未知數，“二元”是指方程中有且只有兩個未知數。②“含未知數的項的次數是1”是指含有未知數的項的次數是1，如3xy=8的次數是2，因此不是二元一次方程。③二元一次方程左右兩邊一定是整式。2、使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解。3、含有兩個未知數的兩個一次方程所構成的一組方程，叫做二元一次方程組。4、二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。第二節、求解二元一次方程組1、解二元一次方程組的基本思路是經過消元將二元一次方程組轉變為一元一次方程求解。消元的兩大基本方法為帶入消元法和加減消元法。2、帶入消元法和加減消元法類定義合用種類步驟型將方程中的一個未知數多合用于方①變形：從方程組中選一個未知數的系數比較簡代用含有另一個未知數的單的方程，將這個方程中的一個未知數用含有另程組中的方入代數式表示出來，并帶一個未知數的代數式表示出來。②代入：將變形程有一個未消入另一個方程中，消去后的代入沒變形的方程，獲得一個一元一次方知數的系數元一個未知數。化二元一程。③解方程：解這個一元一次方程，求出一個是1或-1的法次方程朱為一元一次方未知數的值。④求解：將求得的未知數的值代入情況。程求解，這種方法叫做變形后的方程求出另一個未知數的值，從而獲得12/17代入消元法，簡稱代入方程組的解法。將方程組中的兩個方程①變形：先察看系數特色，將同一個未知數的系多合用于方經過適合變形后相加數化為相等的數或相反的數。②加減：用加減法加程組中兩個（或相減），消去此中消去系數互為相反數或相等的同一個未知數，把減方程的未知的一個未知數，化二元二元一次方程組轉變為一元一次方程。③解方消數系數同樣一次方程朱為一元一次程：解這個一元一次方程，求出一個未知數的元或許互為相方程求解，這種方法叫值。④求解：將求得的未知數的值代入原方程組法反數的情做加減消元法，簡稱加中隨意一個方程，求出另一個未知數的值，從而形。減法。獲得方程組的解。第三節、應用二元一次方程組——雞兔同籠列方程組解應用題的步驟：①審題:弄清題目中所給出的等量關系和已知量、未知量。②找等量關系和設未知數：直接設未知數、間接設未知數。③列方程組：依據給定的等量關系成立方程組，一般來說，設幾個未知數，就應當列出幾個方程并構成方程組。④解方程組。⑤查驗并作答：所求出的方程組的解在正確的基礎上還要切合實質意義，答案要帶單位。第四節、應用二元一次方程組——增收節支表格法解應用題將題目中的相關數目關系及其關系填在預先設計好的一個表格內，而后再依照表格逐層剖析，找出各量之間的內在聯系，從而找到等量關系，列出方程。第五節、應用二元一次方程組——里程碑上的數圖表法解應用題對于一些較直觀的問題，可將題目中的條件及它們之間的關系用簡單了然的表示圖表示出來，而后依據圖示中相關數目的內在聯系，找到等量關系，列出方程。13/17第六節、二元一次方程與一次函數一次函數與二元一次方程的關系：直線y=kx+b上隨意一點的坐標都是它所對應的二元一次方程kx-y+b=0的解。第七節、用二元一次方程組確立一次函數表達式1、一次函數與二元一次方程組的關系：二元一次方程組的解可看作兩個一次函數和的圖象的交點。2、當函數圖象有交點時，說明相應的二元一次方程組有解；當函數圖象（直線）平行即無交點時，說明相應的二元一次方程組無解。第八節、※三元一次方程組1、假如方程組中含有三個未知數，每個方程中含有未知數的項的次數都是一，而且方程組中一共有兩個或兩個以上的方程，這樣的方程組叫做三元一次方程組。2、三元一次方程組的解題思路是：先消去一個未知數，把它變為二元一次方程組求解。簡單步驟：①先依據詳細題目確立一下要消哪個未知數(假定你看好要消的是未知數x)，而后將三個方程(下邊用A、B、C表示三個方程)中的兩個組合起來(在A和B，或許B和C，或許A和C，三種情況中取一種比較簡單的組合)，消去未知數x。獲得一個含未知數y、z的二元一次方程D。②再此外取兩個方程(注意不可以是第一次已經取過的一種組合。如第一次取A和B，那么這一次你只好取B和C或A和C，這是要點，不然你不可以達到消去一個未知數的目的)，也消去未知數x(這時不可以消此外的未知數y或z，不然半途而廢)，又得一個含未知數y、z的二元一次方程E。③將D和E兩個方程組合成二元一次方程組，再消去一個未知數，比方y，從而解出z，從而求出y，最后求出x。3、至于消元的方法，你能夠用“代入消元法”或“加減消元法”中的一種，一般依據系數的特色確立用哪一種消元法。往常系數有未知數“1”的用“代入消元法”比較方便，而同一未知數系數有倍數關系的用“加減消元法”比較方便。14/17第六章數據的剖析第一節、均勻數1、刻畫數據的集中趨向（均勻水平）的量：均勻數、眾數、中位數。2、均勻數：一般地，對于n個數X1,X2,X3···Xn我們把（X1+X2+X3+···+Xn）/n叫做這n個數的算術均勻數，簡稱均勻數，記著。3、加權均勻數：加權均勻數是將各數值乘以相應的權數，而后加總乞降獲得總體值，再除以總的單位數。第二節、中位數與眾數1、一般地，將一組數據按大小次序擺列，處于最中間地點的一個數據（或最中間兩個數據的均勻數）叫做這組數據的中位數。2、一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數。一組數據中的眾數可能不只一個。第三節、從統計圖剖析數據的集中趨向1、折線統計圖眾數：同一水平線上出現次數最多的數據。中位數：從上到下找到中間點所對的數。均勻數：能夠用中位數和眾數估測均勻數。2、條形統計圖眾數：是柱子最高的數據。中位數：從左到右找到中間數。均勻數：能夠用中位數和眾數估測均勻數。3、扇形統計圖眾數：為扇形面積最大的數據。中位數：按次序，看相應百分比，第50%與51%兩個數據的均勻數。均勻數：能夠利用加權均勻數進行計算。第四節、數據的失散程度1、極差：一組數據中的最大值與最小值的差稱為極差。2、方差：方差是反應一組數據的整體顛簸大小的指標，它是指一組數據中各