第二章等式與不等式《2.2.2不等式的解集》教學設計教學目標1．掌握不等式組的解集．2．掌握用絕對值不等式的解法．教學重難點教學重點：1．掌握不等式組解集的方法．2．理解絕對值的定義，借助數軸解決簡單絕對值不等式．3．掌握并理解數軸上兩點之間的距離公式和數軸上的中點坐標公式．4．學會如何求絕對值不等式．教學難點：1．正確用數軸來理解絕對值不等式；2．求解復雜絕對值不等式．課前準備PPT課件．教學過程一、整體概述問題1：閱讀課本第64~67頁，回答下列問題：（1）本節將要研究哪類問題？（2）本節研究的起點是什么？目標是什么？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，并在本節課中回答相應問題．預設的答案：（1）本節將要研究不等式的解集．（2）起點是不等式的性質以及初中學過的不等式的解，目標是掌握不等式組解集的方法；會借助數軸解決簡單絕對值不等式．進一步提升數學運算、直觀想象等素養．設計意圖：通過閱讀讀本，讓學生明晰本階段的學習目標，初步搭建學習內容的框架．二、探索新知1．情境與問題問題1：什么叫不等式的解？如何解不等式？師生活動：學生回答：能夠使不等式成立的未知數的值稱為不等式的解．解不等式的過程中要不斷地使用不等式的性質．設計意圖：復習初中所學不等式的內容，引入新課！2．探究新知知識點1不等式的解集與不等式組的解集師生活動：一般地，不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集．對于由若干個不等式聯立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集．設計意圖：給出不等式的解集及不等式組的解集的概念，據此可以利用不等式的性質求相應解集．知識點2絕對值不等式問題1：什么叫絕對值？絕對值的意義是什么？師生活動：學生回答：數軸上表示數a的點與原點的距離稱為數a的絕對值，記作|a|．而且：一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0．教師點評：一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式．例如．|x|>3，|x－1|≤2都是絕對值不等式．追問1：你能給出|x|>3的解集嗎？師生活動：教師引導，學生回答．根據絕對值的定義可知，|x|>3等價于或．即x>3或x<－3，因此|x|>3的解集為（－oo，－3）∪（3，+oo）．追問2：如何利用絕對值的幾何意義求解不等式|x|>3？師生活動：教師引導，學生回答．不等式|x|>3的解集也可由絕對值的幾何意義得到：因為|x|是數軸上表示數x的點與原點的距離，所以數軸上與原點的距離大于3的點對應的所有數組成的集合就是|x|>3的解集，從而由下圖可知所求解集為（－oo，－3）∪（3，+oo）．追問3：試總結出m>0時，關于x的不等式|x|>m和|x|≤m的解集．師生活動：教師引導，學生回答．用類似方法可知，當m>0時，關于x的不等式|x|>m的解為x>m或x<－m，因此解集為（－oo，－m）∪（m，+oo）；關于x的不等式|x|≤m的解為－m≤x≤m，因此解集為[－m，m]．追問4：你能給出|a－1|≤2的解集嗎？師生活動：教師引導，學生回答．如果將a－1當成一個整體，比如令x=a－1，則|a－1|≤2|x|≤2．因此|a－1|≤2的解集可以通過求解|x|≤2得到，所以原不等式的解集為[－1，3]．追問5：如何利用|a－1|的幾何意義，得出不等式|a－1|≤2的解集？師生活動：教師引導，讓學生先任意給出幾個a的值，求出對應的|a－1|的值，并借助數軸考慮|a－1|的幾何意義．然后與學生一起研究不等式的解集．當a=－2時，|a－1|=|－2－1|=3，而且在數軸上，表示－2的點與表示1的點的距離是3；當a=3時，|a－1|=|3－1|=2，而且在數軸上，表示3的點與表示1的點的距離是2．因此，如果數軸上表示a的點為A，表示1的點為B，則A，B之間的距離為|a－1|，如下圖所示．這樣一來，數軸上與表示1的點的距離小于或等于2的點對應的所有數組成的集合就是|a－1|≤2的解集，又因為數軸上與表示1的點的距離等于2的點對應的數分別為－1和3，因此由上圖可知|a－1|≤2的解集為[－1，3]．教師總結：一般地，如果實數a，b在數軸上對應的點分別為A，B，即A（a），B（b），則線段AB的長為AB=|a－b|．這就是數軸上兩點之間的距離公式．更進一步，如果線段AB的中點M對應的數為x，則由AM=MB可知|a－x|=|x－b|，因此：當a<b時，有a<x<b，從而x－a=b－x．所以，當a≥b時，類似可得上式仍成立．這就是數軸上的中點坐標公式．設計意圖：從絕對值的概念、絕對值的意義以及絕對值的幾何意義出發，探討含絕對值不等式的解法，層層遞進，由淺入深，從易到難，讓學生學起來得心應手．同時由絕對值的幾何意義給出了兩點間的距離公式以及中點坐標公式．三、初步應用例1求不等式組的解集．師生活動：學生回答．教師書寫規范解答．預設的答案：解：①式兩邊同時加上一1，得2x≥－10．這個不等式兩邊同時乘以．得x≥－5，因此①的解集為[－5，+∞）．類似地，可得②的解集為（－∞，－3）．又因為[－5，+∞）∩（－∞，－3）=[－5，－3）．以原不等式組的解集為[－5，－3）．方法總結：（1）解不等式時一定要注意同解變形；（2）去分母時，不等式兩端每一項均乘以最簡公分母；（3）系數化成1時，如果兩端乘以（或除以）一個負數，不等號的方向要改變；（4）在求不等式組的解集即求幾個不等式的交集時，可以借助數軸來求解；（5）寫解集時要特別注意端點是否能取到．設計意圖：通過該例說明不等式組的解集求法．注意所得結果要寫成解集的形式．例2設數軸上點A與數3對應，點B與數x對應，已知線段AB的中點到原點的距離不大于5，求x的取值范圍．師生活動：學生回答．教師書寫規范解答．預設的答案：解：因為AB的中點對應的數為，所以由題意可知即|3+x|≤10，因此－10≤3+x≤10，所以－13≤x≤7，因此x的取值范圍是[－13，7]．方法總結：一般地，當c>0時．（1）（2）．思考：若去掉c>0，結論是否仍成立？預設的答案：能成立！設計意圖：該題是利用絕對值的幾何意義，將數軸上兩點間距離轉化為絕對值不等式，再解絕對值不等式．它是絕對值不等式的簡單應用，培養學生將文字語言轉化為數學符號、不等式的能力，也是培養學生的數學抽象素養．例3求下列不等式的解集：（1）|x－1|+|x－2|<5；（2）|x－1|+|x－2|≥3；（3）|x－1|+|x－2|>：（4）|x－1|+|x－2|＜師生活動：教師引導，與學生一起解決．教師書寫規范解答．預設的答案：解：（1）x>2時，原不等式化為x－1+x－2<5，則x<4，所以2<x<4；時，原不等式化為x－1－（x－2）<5，即1<5，所以；x<1時，原不等式化為－（x－1）－（x－2）<5，則x>－1，所以－1<x<1．綜上：原不等式的解集為（－1，4）．法二：利用絕對值的幾何意義求解：設P（x），A（1），B（2），原不等式表示數軸上點P到兩點A、B的距離和小于5的點P的坐標范圍，畫出數軸可知，到A、B兩點的距離和為5的點為C（－1）、D（4），當點P位于線段AB內時滿足不等式，所以－1<x<4，所以原不等式的解集為（－1，4）．余下習題讓學生練習．預設的答案：；（2）；（3）R；（4）．設計意圖：通過此題說明求解含多個絕對值的不等式．從代數上說，關鍵是如何去掉絕對值符號，分界點是絕對值為時對應的x的值，需要分類討論，將多種討論結果綜合起來，也就是相應的集合取并集；從幾何上來說，關鍵是能否找到對應式子的幾何意義，并根據幾何意義得出問題的答案．練習：教科書P67練習A1，2，3，4四、歸納小結，布置作業1．板書設計：2.2.