2003年全國碩士入學統考數學(三)試題及答案一、填空題（此題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）設f(x)xcos1,若x0,2.x若x其導函數在x=0處連續，則的取值范圍是0,0,【剖析】當x0可直接按公式求導，當x=0時要求用定義求導.【詳解】當1時，有f(x)x1cos1x2sin1,若x0,xx若x0,0,明顯當2時，有limf(x)0f(0)，即其導函數在x=0處連續.x0（2）已知曲線yx33a2xb與x軸相切，則b2能夠經過a表示為b24a6.【剖析】曲線在切點的斜率為0，即y0，由此可確立切點的坐標應知足的條件，再依據在切點處縱坐標為零，即可找到b2與a的關系.【詳解】由題設，在切點處有y3x23a20，有x02a2.又在此點y坐標為0，于是有0x033a2x0b0,故b2x02(3a2x02)2a24a44a6.（3）設a>0，f(x)g(x)a,若0x1,而D表示全平面，則0,其余，If(x)g(yx)dxdy=a2.D【剖析】此題積分地區為全平面，但只有當0x1,0yx1時，被積函數才不為零，所以實質上只要在知足此不等式的地區內積分即可.【詳解】If(x)g(yx)dxdy=a2dxdyD0x1,0yx1=a21x1a211)x]dxa2.dxdy[(x0x0（4）設n維向量(a,0,,0,a)T,a0；E為n階單位矩陣，矩陣1AET，BE1T，此中A的逆矩陣為B，則a=-1.a【剖析】這里T為n階矩陣，而T2a2為數，直接經過ABE進行計算并注意利用乘法的聯合律即可.【詳解】由題設，有AB(ET)(E1T)aEEE

TTT

1a1a1a

TTT

1TTa1(T)TaT2a=E(12a1TE,)1a1于是有12a0，即2a2a10，解得a,a1.因為A<0,故a=-1.a2（5）設隨機變量X和Y的有關系數為0.9,若ZX0.4，則Y與Z的有關系數為0.9.【剖析】利用有關系數的計算公式即可.【詳解】因為cov(Y,Z)cov(Y,X0.4)E[(Y(X0.4)]E(Y)E(X0.4)E(XY)0.4E(Y)E(Y)E(X)0.4E(Y)=E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y),且DZDX.于是有cov(Y,Z)=cov(Y,Z)=cov(X,Y)DYDZDXDY

XY0.9.（6）設整體X聽從參數為2的指數散布，X1,X2,,Xn為來自整體X的簡單隨機樣本，則當n1n2依概率收斂于1時，YnXi.ni12【剖析】此題考察大數定律：一組互相獨立且擁有有限希望與方差的隨機變量X1,X2,,Xn，當方差一致有界時，其算術均勻值依概率收斂于其數學希望的算術均勻值：1np1n).XiEXi(nni1ni12【詳解】這里X12,X22,,Xn2知足大數定律的條件，且EXi2DXi(EXi)2=1(1)21，所以依據大數定律有422Yn1nXi2依概率收斂于1nEXi21.ni1ni12二、選擇題（此題共6小題，每題4分，滿分24分.每題給出的四個選項中，只有一項切合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（1）設f(x)為不恒等于零的奇函數，且ff(x)(0)存在，則函數g(x)x(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍中斷點x=0.(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去中斷點x=0.[D]【剖析】由題設，可推出f(0)=0,再利用在點x=0處的導數定義進行議論即可.【詳解】明顯x=0為g(x)的中斷點，且由f(x)為不恒等于零的奇函數知，f(0)=0.于是有limg(x)limf(x)limf(x)f(0)f(0)存在，故x=0為可去中斷點.x0x0xx0x0（2）設可微函數f(x,y)在點(x0,y0)獲得極小值，則以下結論正確的選項是(A)f(x0,y)在yy0處的導數等于零.（B）f(x0,y)在yy0處的導數大于零.(C)f(x0,y)在yy0處的導數小于零.(D)f(x0,y)在yy0處的導數不存在.[A]【剖析】可微必有偏導數存在，再依據取極值的必需條件即可得結論.【詳解】可微函數f(x,y)在點(x0,y0)獲得極小值，依據取極值的必需條件知fy(x0,y0)0，即f(x0,y)在yy0處的導數等于零,故應選(A).anananan（3）設pn，qn，n1,2,，則以下命題正確的選項是22(A)若an條件收斂，則pn與qn都收斂.n1n1n1(B)若an絕對收斂，則pn與qn都收斂.n1n1n1(C)若an條件收斂，則pn與qn斂散性都不定.n1n1n13(D)若an絕對收斂，則pn與qn斂散性都不定.[B]n1n1n1【剖析】依據絕對收斂與條件收斂的關系以及收斂級數的運算性質即可找出答案.【詳解】若an絕對收斂，即an收斂，自然也有級數an收斂，再依據n1n1n1anan，qnananpn與qn都收斂，故應選pn22及收斂級數的運算性質知，n1n1(B).abb（4）設三階矩陣Abab，若A的陪伴矩陣的秩為1，則必有bba(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.[C]【剖析】A的陪伴矩陣的秩為1,說明A的秩為2，由此可確立a,b應知足的條件.【詳解】依據A與其陪伴矩陣A*秩之間的關系知，秩(A)=2，故有abbbab(a2b)(ab)20，即有a2b0或a=b.bba但當a=b時，明顯秩(A)2,故必有ab且a+2b=0.應選(C).（5）設1,2,,s均為n維向量，以下結論不正確的選項是(A)若關于隨意一組不全為零的數k1,k2,,ks，都有k11k22kss0，則1,2,,s線性沒關.(B)若1,2,,s線性有關，則關于隨意一組不全為零的數k1,k2,,ks，都有k11k22kss0.(C)1,2,,s線性沒關的充分必需條件是此向量組的秩為s.(D)1,2,,s線性沒關的必需條件是此中隨意兩個向量線性沒關.[B]【剖析】此題波及到線性有關、線性沒關觀點的理解，以及線性有關、線性沒關的等價表現形式.應注意是找尋不正確的命題.【詳解】(A):若對于隨意一組不全為零的數k1,k2,,ks,都有k11k22kss0，則1,2,,s必線性沒關，因為若1,2,,s線性有關，4則存在一組不全為零的數k1,k2,,ks,使得k11k22kss0，矛盾.可見（A）建立.(B):若1,2,,s線性有關，則存在一組，而不是對隨意一組不全為零的數k1,k2,,ks，都有k11k22kss0.(B)不建立.(C)1,2,,s線性沒關,則此向量組的秩為s；反過來，若向量組1,2,,s的秩為s，則1,2,,s線性沒關，所以(C)建立.(D)1,2,,s線性沒關,則其任一部分組線性沒關，自然此中隨意兩個向量線性無關，可見(D)也建立.綜上所述，應選(B).（6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：A1={擲第一次出現正面}，A2={擲第二次出現正面}，A3={正、反面各出現一次}，A4={正面出現兩次}，則事件(A)A1,A2,A3互相獨立.(B)A2,A3,A4互相獨立.(C)A1,A2,A3兩兩獨立.(D)A2,A3,A4兩兩獨立.[C]【剖析】依據互相獨立與兩兩獨立的定義進行驗算即可，注意應先檢查兩兩獨立，若成立，再查驗能否互相獨立.【詳解】因為P(A1)1，P(A2)1，P(A3)1122，P(A4)，24且P(A1A2)1，P(A1A3)1，P(A2A3)1，P(A2A4)1P(A1A2A3)0，4444可見有P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(A1A3)P(A1)P(A3)，P(A2A3)P(A2)P(A3)，P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)，P(A2A4)P(A2)P(A4).故A1,A2,A3兩兩獨立但不互相獨立；A2,A3,A4不兩兩獨立更不互相獨立，應選(C).三、（此題滿分8分）設f(x)111,x1xsinx(1[,1).x)2試增補定義f(1)使得f(x)在[1,1]上連續.25【剖析】只要求出極限limf(x)，而后定義f(1)為此極限值即可.x1【詳解】因為limf(x)=lim[111]x1x1xsinx(1x)=11lim(1x)sinxx1(1x)sinx=11limsinx(1cosxx1x)cosx112sinx=limcosxcosx(1x)2sinxx11.因為f(x)在[1,1)上連續，所以定義2f(1)1，使f(x)在[1,1]上連續.2四、（此題滿分8分）設f(u,v)擁有二階連續偏導數，且知足2f2f1，又g(x,y)f[xy,1(x2y2)],u2v222g2gx2y.求【剖析】此題是典型的復合函數求偏導問題：gf(u,v)，uxy,v1(x2y2)，2直接利用復合函數求偏導公式即可，注意利用2f2f.uvvu【詳解】gyfxf，xuvgxfyf.yuv故2gy22f2xy2fvx22ff，x2u2uv2v62gx22f2xy2f22ffy2u2yv2.vuv所以2g2g(x2y2)2f(x2y2)2fx2y2u2v2x2y2.、（此題滿分8分）計算二重積分Ie(x2y2)sin(x2y2)dxdy.D此中積分地區D={(x,y)x2y2}.【剖析】從被積函數與積分地區能夠看出，應當利用極坐標進行計算.【詳解】作極坐標變換：xrcos,yrsin，有Iee(x2y2)sin(x2y2)dxdyD=e2dre2sinr2dr.0r0令tr2，則Ieetsintdt.0記Aetsintdt，則0Aetintdet0=[etsintetcostdt]00=costdet0=[etcost0etsintdt]0=e1A.所以A1(1e)，2Ie(1e)(1e).22六、（此題滿分9分）7求冪級數1(1)nx2n(x1)的和函數f(x)及其極值.n12n【剖析】先經過逐項求導后乞降，再積分即可得和函數，注意當x=0時和為1.求出和函數后，再按往常方法求極值.【詳解】f(x)(1)nx2n11x.n1x2上式兩邊從0到x積分，得f(x)f(0)xtdt1ln(1x2).t2由f(0)=1,012得f(x)11ln(1x2),(x1).2令f(x)0，求得獨一駐點x=0.因為f(x)1x2,(1x2)2f(0)10，可見f(x)在x=0處獲得極大值，且極大值為f(0)=1.七、（此題滿分9分）設F(x)=f(x)g(x),此中函數f(x),g(x)在(,)內知足以下條件：f(x)g(x)，g(x)f(x)，且f(0)=0,f(x)g(x)2ex.求F(x)所知足的一階微分方程；求出F(x)的表達式.【剖析】F(x)所知足的微分方程自然應含有其導函數，提示應先對F(x)求導，并將其余部分轉變為用F(x)表示，導出相應的微分方程，而后再求解相應的微分方程.【詳解】(1)由F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)=g2(x)f2(x)=[f(x)g(x)]22f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x),可見F(x)所知足的一階微分方程為8F(x)2F(x)4e2x.(2)F(x)2dx[4e2xe2dxedxC]=e2x[4e4xdxC]e2xCe2x.將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是F(x)e2xe2x.八、（此題滿分8分）設函數f(x)在[0，3]上連續，在（0，3）內可導，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.試證必存在(0,3)，使f()0.【剖析】依據羅爾定理，只要再證明存在一點c[0,3)，使得f(c)1f(3)，而后在[c,3]上應用羅爾定理即可.條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價于f(0)f(1)f(2)1，問題轉3化為1介于f(x)的最值之間，最后用介值定理能夠達到目的.【詳解】因為f(x)在[0，3]上連續，所以f(x)在[0，2]上連續，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M.故mf(0)f(1)f(2)3M.由介值定理知，起碼存在一點c[0,2]，使f(c)f(0)f(1)f(2)31.因為f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上連續，在(c,3)內可導，所以由羅爾定理知，必存在(c,3)(0,3)，使f()0.九、（此題滿分13分）已知齊次線性方程組9(a1b)x1a2x2a3x3anxn0,a1x1(a2b)x2a3x3anxn0,a1x1a2x2(a3b)x3anxn0,a1x1a2x2a3x3(anb)xn0,n此中ai0.試議論a1,a2,,an和b知足何種關系時，i1方程組僅有零解；方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系.【剖析】方程的個數與未知量的個數同樣，問題轉變為系數矩陣隊列式能否為零，而系數隊列式的計算擁有明顯的特點：全部列對應元素相加后相等.可先將全部列對應元素相加，而后提出公因式，再將第一行的（-1）倍加到其余各行，即可計算出隊列式的值.【詳解】方程組的系數隊列式a1ba2a3ana1a2ba3anAa1a2a3bana1a2a3anb=bn1(bnai).i1(1)當b0時且bnai0時，秩(A)=n，方程組僅有零解.1當b=0時，原方程組的同解方程組為a1x1a2x2anxn0.n0可知，ai(i由ai1,2,,n)不全為零.不如設a10，得原方程組的一個基礎i1解系為1(a2,1,0,,0)T，2(a3,0,1,,0)T，,n(an,0,0,,1)T.a1a1a1n當bai時，有b0，原方程組的系數矩陣可化為i110na1aia2a3ani1na1a2aia3ani1na1a2a3aiani1na1a2a3anaii1（將第1行的-1倍加到其余各行，再從第2行到第n行同乘以1倍）naii1na1aia2a3ani1110010101001（將第n行an倍到第2行的a2倍加到第1行，再將第1行移到最后一行）11001010.10010000由此得原方程組的同解方程組為x2x1，x3x1，,xnx1.原方程組的一個基礎解系為(1,1,,1)T.十、（此題滿分13分）設二次型f(x1,x2,x3)XTAXax122x222x322bx1x3(b0)，中二次型的矩陣A的特點值之和為1，特點值之積為-12.(1)求a,b的值；(2)利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.【剖析】特點值之和為A的主對角線上元素之和，特點值之積為A的隊列式，由此可求出a,b的值；進一步求出A的特點值和特點向量，并將同樣特點值的特點向量正交化（若11有必需），而后將特點向量單位化并以此為列所結構的矩陣即為所求的正交矩陣.【詳解】（1）二次型f的矩陣為a0bA020.b02設A的特點值為i(i1,2,3).由題設，有123a2(2)1，a0b1230204a2b212.b02解得a=1,b=-2.由矩陣A的特點多項式102EA020(2)2(3)，202得A的特點值122,33.關于122,解齊次線性方程組(2EA)x0，得其基礎解系1(2,0,1)T，2(0,1,0)T.關于33，解齊次線性方程組(3EA)x0，得基礎解系3(1,0,2)T.因為1,2,3已經是正交向量組，為了獲得規范正交向量組，只要將1,2,3單位化，由此得1(2,0,1)T，2(0,1,0)T，3(1,0,2)T.5555令矩陣20155Q123010，10255則Q為正交矩陣.在正交變換X=QY下，有12200QTAQ020，003且二次型的標準