2023屆一輪復(fù)習(xí)人教A版高考中的概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)案1.(2023河北衡水中學(xué)一模,18)某高校為了對(duì)2023年錄取的大一理工科新生有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué),從大一理工科新生中隨機(jī)抽取40名,對(duì)他們2023年高考的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)進(jìn)行分析,研究發(fā)現(xiàn)這40名新生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x在[100,150]內(nèi),且其頻率y滿足y=10a-n20(其中10n≤x<10(n+1),n∈N+)(1)求a的值;(2)請(qǐng)畫(huà)出這20名新生高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,并估計(jì)這40名新生的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(3)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率,隨機(jī)調(diào)查4名該校的大一理工科新生,記調(diào)查的4名大一理工科新生中“高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不低于130分”的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求ξ的均值.2.(2023山東青島調(diào)研,18)近期,某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車(chē)活動(dòng),活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付.某線路公交車(chē)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,用x表示活動(dòng)推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示:表1x1234567y611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了如下圖所示的散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,在推廣期內(nèi),y=a+bx與y=c·dx(c,d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次;(3)推廣期結(jié)束后,車(chē)隊(duì)對(duì)乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表2.表2支付方式現(xiàn)金乘車(chē)卡掃碼比例10%60%30%已知該線路公交車(chē)票價(jià)為2元,使用現(xiàn)金支付的乘客無(wú)優(yōu)惠,使用乘車(chē)卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠,掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠,根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知,使用掃碼支付的乘客,享受7折優(yōu)惠的概率為,享受8折優(yōu)惠的概率為,享受9折優(yōu)惠的概率為12.參考數(shù)據(jù):∑i=17xi∑i=17xi100.5462.141.54253550.123.47其中vi=lgyi,v=13.(2023廣東化州一模,18)2018年9月16日下午5時(shí)左右,今年第22號(hào)臺(tái)風(fēng)“山竹”在廣東江門(mén)川島鎮(zhèn)附近正面登陸,給當(dāng)?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢?cái)產(chǎn)損失,某記者調(diào)查了當(dāng)?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成[0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000]五組,并作出如下頻率分布直方圖.(1)臺(tái)風(fēng)后居委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,記者調(diào)查的100戶居民捐款情況如下表格,在下面表格空白處填寫(xiě)正確數(shù)字,并說(shuō)明是否有95%的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)?經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)4000元經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元合計(jì)捐款超過(guò)500元60捐款不超過(guò)500元10合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1戶居民,抽取3次,記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元的人數(shù)為ξ,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求ξ的分布列,均值Eξ和方差Dξ.參考公式:χ2=n(adP(χ2>k0)0.0500.010k03.8416.6354.(2023長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)一,18)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25℃,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20℃,需求量為200瓶最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的均值達(dá)到最大值?5.(2023廣東省六校第一次聯(lián)考,19)某市大力推廣純電動(dòng)汽車(chē),對(duì)購(gòu)買(mǎi)用戶依照車(chē)輛出廠續(xù)駛里程R的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn),予以地方財(cái)政補(bǔ)貼.其補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表:出廠續(xù)駛里程R(千米)補(bǔ)貼(萬(wàn)元/輛)150≤R<2503250≤R<3504R≥3504.52023年底隨機(jī)調(diào)査該市1000輛純電動(dòng)汽車(chē),統(tǒng)計(jì)其出廠續(xù)駛里程R,得到頻率分布直方圖如下圖所示.用樣本估計(jì)總體,頻率估計(jì)概率,解決如下問(wèn)題:(1)求該市每輛純電動(dòng)汽車(chē)2023年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值;(2)某企業(yè)統(tǒng)計(jì)2023年其充電站100天中各天充電車(chē)輛數(shù),得到如下的頻數(shù)分布表:輛數(shù)[5500,6500)[6500,7500)[7500,8500)[8500,9500)天數(shù)20304010(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)2023年2月,國(guó)家出臺(tái)政策,將純電動(dòng)汽車(chē)財(cái)政補(bǔ)貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來(lái).該企業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補(bǔ)貼資金用于添置新型充電設(shè)備.現(xiàn)有直流、交流兩種充電樁可供購(gòu)置.直流充電樁5萬(wàn)元/臺(tái),每臺(tái)每天最多可以充電30輛車(chē),每天維護(hù)費(fèi)用500元/臺(tái);交流充電樁1萬(wàn)元/臺(tái),每臺(tái)每天最多可以充電4輛車(chē),每天維護(hù)費(fèi)用80元/臺(tái).該企業(yè)現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案:方案一:購(gòu)買(mǎi)100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁;方案二:購(gòu)買(mǎi)200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁.假設(shè)車(chē)輛充電時(shí)優(yōu)先使用新設(shè)備,且充電一輛車(chē)產(chǎn)生25元的收入,用2023年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),分別估計(jì)該企業(yè)在兩種方案下使用新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn).(日利潤(rùn)=日收入-日維護(hù)費(fèi)用)6.2023年是某市大力推進(jìn)居民生活垃圾分類(lèi)的關(guān)鍵一年,有關(guān)部門(mén)為宣傳垃圾分類(lèi)知識(shí),面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類(lèi)知識(shí)”的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì),通過(guò)抽樣,得到參與問(wèn)卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示:(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問(wèn)卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ,210),μ近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布求P(50.5<Z<94);(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門(mén)為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:①得分不低于μ可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi);得分低于μ,則只有1次;②每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下:贈(zèng)送話費(fèi)(單位:元)1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求X的分布列.附:210≈14.5.若Z~N(μ,δ2),則P(μ-δ<Z<μ+δ)=68.3%,P(μ-2δ<Z<μ+2δ)=95.4%參考答案高考大題專(zhuān)項(xiàng)六高考中的概率與統(tǒng)計(jì)1.解(1)由題意知:10≤n≤14,所以n的取值為10,11,12,13,14,代入y=10a-n20,可得(10a-0.5)+(10a-0.55)+(10a-0.6)+(10a-0.65)+(10a-0.7)(2)由(1),得y=0.3,0.25,0.2,0.15,0.1,頻率分布直方圖如圖:這40名新生的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為105×0.30+115×0.25+125×0.20+135×0.15+145×0.10=120.(3)由題意可知,ξ=0,1,2,3,4,且“高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不低于130分”的概率為0.15+0.1=0.25,所以ξ~B4,14,所以Eξ=4×14=1.2.解(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=c·dx適宜作為掃碼支付的人數(shù)y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類(lèi)型.(2)∵y=c·dx,兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得:lgy=lg(c·dx)=lgc+lgd·x;設(shè)lgy=v,∴v=lgc+lgd·x.∵x=4,v=1.54,∑i=1∴l(xiāng)gd=∑i=150.12-7×4×1把樣本中心點(diǎn)(4,1.54)代入v=lgc+lgd·x,得:lgc=0.54,∴v=0.54+0.25x,∴l(xiāng)gy=0.54+0.25x,∴y關(guān)于x的回歸方程式為y=100.54+0.25x=100.54×(100.25)x=3.47×100.25x.把x=8代入上式,得y=3.47×102=347;活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為3470.(3)記一名乘客乘車(chē)支付的費(fèi)用為Z,則Z的取值可能為:2,1.8,1.6,1.4;P(Z=2)=0.1;P(Z=1.8)=0.3×12=0.P(Z=1.6)=0.6+0.3×13=0.7,P(Z=1.4)=0.3×16=0.分布列為:Z21.81.61.4P0.10.150.70.05所以,一名乘客一次乘車(chē)的平均費(fèi)用為:2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66(元).3.解(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)4000元的有0.7×100=70人,經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元的有100-70=30人,則表格數(shù)據(jù)如下經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)4000元經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元合計(jì)捐款超過(guò)500元602080捐款不超過(guò)500元101020合計(jì)7030100χ2=100×(60×10-由于4.762>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān).(2)由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元的居民的頻率為0.3,將頻率視為概率.由題意知ξ的可能取值有0,1,2,3,ξ~B3,310,P(ξ=0)=C303100×7103=3431P(ξ=1)=C313101×7102=4411P(ξ=2)=C323102×7101=1891P(ξ=3)=C333103×7100=271從而ξ的分布列為ξ0123P34344118927Eξ=np=3×310=0.Dξ=np(1-p)=3×310×710=0.4.解(1)由題意知,X所有的可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知,P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=25+7+490=0因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200≤n≤500.當(dāng)300≤n≤500時(shí),若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n.若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.當(dāng)200≤n<300時(shí),若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n.若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300時(shí),Y的均值達(dá)到最大值,最大值為520元.5.解(1)依題意可得純電動(dòng)汽車(chē)地方財(cái)政補(bǔ)貼的分布列為:補(bǔ)貼(萬(wàn)元/輛)344.5概率0.20.50.3純電動(dòng)汽車(chē)2023年地方財(cái)政補(bǔ)貼的平均數(shù)為3×0.2+4×0.5+4.5×0.3=3.95(萬(wàn)元).(2)由充電車(chē)輛天數(shù)的頻數(shù)分布表得每天需要充電車(chē)輛數(shù)的分布列:輛數(shù)6000700080009000概率0.20.30.40.1若采用方案一,100臺(tái)直流充電樁和900臺(tái)交流充電樁每天可充電車(chē)輛數(shù)為30×100+4×900=6600(輛).可得實(shí)際充電車(chē)輛數(shù)的分布列如下表:實(shí)際充電輛數(shù)60006600概率0.20.8于是方案一下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)均值為25×(6000×0.2+6600×0.8)-500×100-80×900=40000(元).若采用方案二,200臺(tái)直流充電樁和400臺(tái)交流充電樁每天可充電車(chē)輛數(shù)為30×200+4×400=7600(輛);可得實(shí)際充電車(chē)輛數(shù)的分布列如下表:實(shí)際充電輛數(shù)600070007600概率0.20.30.5于是方案二下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(rùn)均值為25×(6000×0.2+7000×0.3+7600×0.5)-500×200-80×400=45500(元).6.解(1)EZ=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05