本文格式為Word版，下載可任意編輯——100測評網(wǎng)高二數(shù)學(xué)典型例題三歡迎登錄100測評網(wǎng).100進(jìn)行學(xué)習(xí)檢測，有效提高學(xué)習(xí)成績.

典型例題一

例1正六棱錐的底面周長為24，側(cè)面與底面所成角為60，求：（1）棱錐的高；（2）斜高；（3）側(cè)棱長；（4）側(cè)棱與底面所成角．

分析：此題涉及了正棱錐的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量．

解：正六棱錐的底面周長為24．∴正六棱錐的底面邊長為4．在正棱錐S-ABCDEF中，

取BC中點(diǎn)H，連SH，SH?BC，O是正六邊形ABCDEF的中心．連SO，則SO?底面ABCDEF∴OH?BC．

∴?SHO是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，即?SHO?60．（1）在Rt△SOH中，OH?∴SO?OHtan60?6．

（2）同樣在△SOH中，斜高SH?2OH?43，（3）Rt△SOH中，SO?6，OB?BC?4．∴SB?SO2?OB2?213．

（4）∵SO?底面ABCDEF，∴?SBO是側(cè)棱與底面所成角，同樣在△SOB中，tan?SBO????3BC?23，?SHO?60?，2SO33?，∴?SBO?arctan，BO22說明：在立體幾何中，要擅長把長度和角度放到三角形中去解決，正棱錐中有關(guān)長度、

角度主要在兩上重要的直角三角形中，此題中的方法也可用于其它正棱錐中．譬如：已知正四棱錐底面邊長為a，相鄰兩側(cè)面所成二面角為120，求正棱錐的高、斜高、側(cè)棱長．正四棱錐相鄰側(cè)面是全等的等腰三角形，利用這特性質(zhì)先落實(shí)相鄰側(cè)面所成二面的平面角，先計(jì)算側(cè)棱長為

?3a，然后利用底面邊長和側(cè)棱長在兩個(gè)重要的直角三角形中，計(jì)算出高為212a，斜高為a．22典型例題二

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例2如下圖，正四棱錐P-ABCD棱長均為13，M，N分別是PA，BD上的點(diǎn)，

8．且PM：MA?BN：ND?5：（1）求證：直線MN//平面PBC；

（2）求直線MN與底面ABCD所成角的正弦．分析：（1）要證明MN//平面PBC，只需證明MN與平面PBC內(nèi)某一條直線平行．為此連AN并延長交BC于E，連PE．可考慮證明MN//PE．（2）若能證明MN//PE，則?PEO即為直線MN與底面所成的角．

解：（1）連AN并延長交BC于E，再連PE．∵BE//AD，∴EN：AN?BN：ND，又BN：ND?PM：MA，∴EN：AN?PM：MA，∴PE//MN，

又PE?平面PBC，MN?平面PBC，∴MN//平面PBC．（2）設(shè)O為底面中心，連PO，EO，則PO?平面ABCD．又MN//PE，則?PEO為直線MN與平面ABC所成的角．

8及AD?13，由BE：AD?BN：ND?5：得BE?PB?13，BE?65?PBE?60?，，在△PBE中，

8659191132PE?，，由余弦定理，得PE?．在Rt△POE中，，PO?8882則sin?PEP?PO42．?PE7說明：此題（2）若直接求MN與平面ABCD所成的角，計(jì)算就比較繁雜，而平移為

求PE與底面所成的角，計(jì)算就易得多．可見，平移是求線線、線面所成角的重要方法．

典型例題三

例3斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC是直角三角形，?C?90，側(cè)棱與底面成

?60?角，點(diǎn)B1在底面的射影D為BC的中點(diǎn)，BC?2cm．

（1）求證AB1?BC1；

（2）若A-BB1-C為30的二面角，求四棱錐A-B1BCC1的體積．

分析：證AB1?BC1關(guān)鍵在于證出其中一條線垂直于另一條線所在的平面；而求棱錐的體積關(guān)鍵在于求出其底面積和高．這兩個(gè)問題可由題設(shè)及線與線、線與面的位置關(guān)系求得．

解：如下圖，

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（1）∵B1D?平面ABC，

AC?底面ABC，

∴AC?B1D．∵AC?BC，∴AC?平面B1BC，∴AC?BC1．

∵B1在底面ABC上的射影D為BC的中點(diǎn)，側(cè)棱與底面成60角，∴四邊形BCC1B1是菱形，∴CB1?BC1，∴BC1?平面ACB1，∴BC1?AB1．

（2）過C作CE?B1B，連結(jié)AE．∵AC?平面BB1C1C，

∴CE是AE在平面BB1C1C上的射影，∴AE?B1B，

∴?AEC是二面角A-B1B-C的平面角，∴?AEC?30．

??在Rt△BEC中，EC?BC?sin60?3，在Rt△ACE中，由ACE?90可得

??AC?ECtan?AEC?3tan30??1．

∴S?ACE?113AC?CE??1?3?，222∴VA-B1BC?VB1-ACE?VB-ACE?11S?ACE?B1E?S?ACE?EB33歡迎登錄100測評網(wǎng).100進(jìn)行學(xué)習(xí)檢測，有效提高學(xué)習(xí)成績.

1S?ACE?B1E?EB?31?S?ACE?BB1

3??13??2323．323（體積單位）．3?∴VA-B1BCC1?2VA-B1BC?說明：證明線線垂直轉(zhuǎn)化成證線面垂直是證明時(shí)常用的方法之一，而證線面垂直時(shí)又涉及線與線的垂直，因此線與面各種位置關(guān)系經(jīng)常貫穿問題的始終．當(dāng)遇到一線垂直于一截面，而截面面積又能計(jì)算時(shí)，將幾何體分割成兩個(gè)體積之和計(jì)算也是一種常用的方法．結(jié)果便轉(zhuǎn)化成截面與此線相乘的關(guān)系，因而使問題得到簡化．

典型例題四

例4如圖，在三棱錐P-ABC中，PA?底面ABC，AC?BC，D、G分別是PA和

AB的中點(diǎn)，E為PB上一點(diǎn)，且BE?1PB，AP：AB?1：2．3（1）求證：EG?平面CDG；

（2）求截面CDE分棱錐P-ABC所成兩部分的體積之比．分析：由PA?底面ABC，可以判定平面PAB?平面ABC，且相交于AB，由于G是AB的中點(diǎn)，且BC?AC，所以CG?AB，于是有CG?平面PAB，CG?EG．

若證EG?平面CDG，只需EG與平面CDG中的另一條直線垂直就可以了．為此，就要從已知的數(shù)量關(guān)系著手，找到新的線與線的垂直關(guān)系．

平面CDE把三棱錐P-ABC分成兩部分，顯然這兩部分具有一致的高線CG．所以，只要找到△PDE和四邊形ABED的面積之比，就可以確定兩部分的體積之比了．

證明：

（1）∵PA?平面ABC，且PA?平面PAB∴平面PAB?平面ABC，且相交于AB

在△ABC中，∵AC?BC，CG是AB邊上的中線∴CG?AB．∴CG?平面PAB∵EG?平面PAB，∴EG?CG

利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可以證明CG?平面PAB在Rt△PAB和△GEB中

設(shè)PA?x，則AB?2x，PB?3x，BE?32x，BG?x32歡迎登錄100測評網(wǎng).100進(jìn)行學(xué)習(xí)檢測，有效提高學(xué)習(xí)成績.

32xxBG1BE132????∵，PBAB3x62x6∵?GBE??PBA，∴△PAB～△GEB∵?PAB?90，∴?GEB?90∴EG?PB．∵DG//PB

利用相像三角形的性質(zhì)，得到?GEB?90∴EG?DG

∵DG?CG?G，∴EG?平面CDG．解：（2）∵S?PDE????1?PE?PD?sin?APB21?PA?PB?sin?APB212∵PD?PA，PE?PB

231?PA?PB?sin?APBS?PAB23∴??S?PDE1?PD?PE?sin?APB121V三棱錐C-PAB3?CG?S?PAB3∴??

1V三棱錐C-PDE?CG?S?PDE13S?PAB?∴

V三棱錐C-PAB?V三棱錐C-PDE2?

V三棱錐C-PDE1∴截面CDE分棱錐P-ABC為兩部分，三棱錐C-PDE與四棱錐C-ABED的體積之

比為1：2．

典型例題五

例5四棱錐P-ABCD，側(cè)面PCD是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面ABCD?ADC為菱形的銳角．PA?CD；是面積為23的菱形，（1）求證：（2）求二面角P-AB-D的大小；（3）求棱錐P-ABCD的側(cè)面積與體積．

分析：取CD中點(diǎn)H，側(cè)面PCD?底面ABCD，從而PA?CD可利用三垂線定理轉(zhuǎn)化為證明HA?CD，線面垂直也為二面角P-AB-D平面角的落實(shí)創(chuàng)造了有利條件，棱錐的側(cè)面積可通過抓側(cè)面三角形的特別性來解決．

證明：（1）取CD中點(diǎn)H，連PH、AH，

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∵△PCD是等邊三角形，∴PH?CD，

∵面PCD?底面ABCD，∴PH?底面ABCD，∵等邊△PCD的邊長為2，∴CD?2

∴菱形ABCD的邊長為2，又菱形的面積是23，

∴2?2sin?ADC?23，∴sin?ADC??3，又?ADC是銳角，2∴?ADC?60，∴△ADC是等邊三角形，

∴AH?CD，PA在平面AC上射影為HA，∴PA?CD．解：（2）∵CD//AB，由（1）CD?HA，CD?PA，∴AB?AH，AB?PA．

∴?PAH是二面角P-AB-D的平面角，在Rt△PHA中PH?AH?2sin60?3，∴?PHA?45，即二面角P-AB-D的大小為45．（3）由（2）在Rt△PHA中，可得PA?在Rt△PAB中，PA????6，

16，AB?2，∴PB?10，S?PAB??2?6?6，

2在△PDA中，PD?DA?2，PA?6，可得S?PAD?15，215，2在△PCD中，PC?BC?2，PB?10，可得S?PBC?又正△PCD邊長為2，∴S?PCD?32?2?3，4∴S側(cè)?6?2?15?3?6?15?3，211S菱形?PH??23?3?2．33∵PH?3，∴V?說明：抓線面垂直關(guān)系是解決立體幾何問題的關(guān)鍵，非特別棱柱、棱錐的側(cè)面積，往往

要通過逐個(gè)計(jì)算每個(gè)側(cè)面的面積相加而得到，這就需要分析每個(gè)側(cè)面的具體特點(diǎn)，譬如是否為矩形、直角三角形、等邊三角形等．可以舉一個(gè)類似的例子，四棱錐V-ABCD的高為1，底面為菱形，側(cè)面VDA和側(cè)面VDC所成角為120，且都垂直于底面，另兩側(cè)面與底面都成45角，求棱錐的全面積．這里由相交平面VDC與VDA都與底面垂直得到VD垂直于底面，利用VD?底面ABCD，一方面落實(shí)了棱錐的高為VD?1，另一方面幾個(gè)二面角的平

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面角都能便利地落實(shí)，四個(gè)側(cè)面中，有兩個(gè)是等腰三角形，有兩個(gè)是直角三角形，通過計(jì)算可得，全面積為

232?2．3??典型例題六

?CAB?90，例6已知三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC與底面ABC所成角相等，

AC?AB?PB?a，D為BC中點(diǎn)，E點(diǎn)在PB上且PC//截面EAD，（1）求AE與底

面ABC所成角；（2）求PC到平面EAD的距離．

分析：由PA、PB、PC與底面所成角相等可得P點(diǎn)在面ABC上射影為△ABC的外心，由于△ABC是直角三角形，可以得到PD?面ABC，PC//面EAD可轉(zhuǎn)化為PC//DE，E是PB中點(diǎn)，找出E到面ABC的垂線落實(shí)EA與面ABC所成角．C到面EAD的距離可從兩方面得到，一方面直接找C到面EAD的垂線，另一方面，用等積法可求點(diǎn)

到面的距離．

解：（1）∵PA、PB、PC與底面ABC成相等的角，設(shè)P在面ABC上射影為O，則有?PAO??PBD??PCO，

∴△PAO≌△PBO≌△PCO，

∴PA?PB?PC且OA?OB?OC，∴O是△ABC的外心．

∵△ABC是直角三角形，且O是斜邊BC的中點(diǎn)，∴O點(diǎn)和D點(diǎn)重合，即PD?面ABC，

∵PC//截面EAD，過PC的平面PBC與平面EAD交于ED，∴PC//ED，∵D是BC中點(diǎn)，∴E是PB中點(diǎn)，取BD中點(diǎn)F，則EF//PD，∴EF?平面ABC，∴?EAF為EA與底面ABC所成角．

∵AB?PA?PB?a，∴AE??3a，2?∵AB?AC?a且?BAC?90，∴BC?2a．

又PB?PC?a，∴△BPC也是等腰直角三角形，∴PD?122BC?a，∴EF?a，224236a?a?，426在Rt△AEF中，sin?EAF?∴?EAF?arcsin66，即AE與平面ABC所成角為arcsin．66歡迎登錄100測評網(wǎng).100進(jìn)行學(xué)習(xí)檢測，有效提高學(xué)習(xí)成績.

（2）方法一：∵PD?平面ABC，∴PD?AD．又∵AD?BC，∴AD?平面PBC，∴AD?PB．

?由（1）△PBC是直角三角形，?BPC?90，∴PB?PC，

∵ED?PC，∴PB?ED，∴PB?平面EAD．

1a．21即PC到平面EAD的距離為a．

2方法二：∵AD?PD，AD?BC，∴AD?平面PBC，

∵PB?AB?a，∴PE?∴AD?DE，又AD?1112BC?a，DE?PB?a．

2222∴S?ADE?12122?a?a?a，22281112S?ABC?a2，EF?PD?a，2424∵S?ACD?設(shè)C到面EAD的距離為h，∴S?ADE?h?S?ACD?EF，∴

2212ah?a2?a．844h?

11a，即PC到平面EAD的距離為a．22典型例題七

例7如下圖，在三棱錐S?ABC中，SA?底面ABC，AB?BC，DE垂直平

分SC，且分別交AC、SC于D、E，又SA?AB，SB?BC．求以BD為棱，以BDE和BDC為面的二面角的度數(shù)．

分析：從尋覓二面角的平面角入手．二面角的平面角有時(shí)圖形中沒有給出，需要我們自己作出，有時(shí)平面角在圖形中已經(jīng)存在，只需要將其找出來．

解：∵SA?平面ABC，BD?平面ABC，∴SA?BD．∵DE是SC的垂直平分線，∴DE?SC，且E是SC的中點(diǎn)．

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又SB?BC，∴BE?SC．

又BE?DE?E，∴SC?平面BDE，∴SC?BD．

又SC?SA?S，∴BD?平面SAC，∴BD?CD，BD?DE．從而?EDC為二面角E?BD?C的平面角．設(shè)SA?a，則AB?a．

∵SA?平面ABC，∴SA?AB，SA?AC，從而BC?SB?又AB?BC，∴AC?3a．在Rt?SAC中，tan?SCA?2a．

SAa3，∴?SCA?30?，??AC33a又DE?SC，∴?EDC?60?．

因此所求的二面角的度數(shù)為60?．

說明：此題是通過三棱錐來考察直線與直線、直線與平面、二面角、解三角形等知識，并考察了空間想像能力和規(guī)律推理能力．解答此題的關(guān)鍵是認(rèn)定?EDC是二面角E?BD?C的平面角．這需要具有一定的觀測能力和判斷能力，而且要給出嚴(yán)格的證明．學(xué)生很可能發(fā)現(xiàn)不了?EDC即是所求二面角的平面角，自己再作二面角的平面角，使問題繁雜化．此題所給條件較多，所以恰當(dāng)?shù)剡x擇所需條件進(jìn)行論證和計(jì)算也是解決此題的一個(gè)難點(diǎn)．

典型例題八

P是?ABC所在平面外的一點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，

PA?PB?PC?3．求P到平面ABC的距離．

例8

分析：利用三棱錐的性質(zhì)、體積以及線面關(guān)系求解．

解法一：∵PA?PB?PC?3，∴P在底面ABC內(nèi)的射影O是?ABC的外心．又PA、PB、PC兩兩相互垂直，∴?ABC是等邊三角形，∴O是?ABC的重心．

如圖，在?POA中，PA?3，

223AO??AB?sin60???32??6

332∴PO?PA2?AO2?32?(6)2?3．

解法二：設(shè)P點(diǎn)到平面ABC的距離為h．

∵PA、PB、PC兩兩垂直，PA?PB?PC?3，

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∴VA?PBC?119??3?3?3?，322AB?BC?AC?32，

S?ABC?39(32)2?3．42又VA?PBC?VP?ABC，∴

919??3?h，∴h?3．232∴P到平面ABC的距離為3．

解法三：取BC的中點(diǎn)D，連PD、AD．

∵PB?PC，AB?AC，∴AD?BC，PD?BC，∴BC?平面PAD，BC?平面ABC，

?平面ABC?平面PAD.??平面ABC?平面PAD?AD??PO?平面ABC，過P作PO?AD交AD于O??∴PO就是P到平面ABC的距離．在?PAD中，PA?3，PD?32，2AD?3336AB??32?．222又∵?APD?90?，

32PD2∴PO?PA?sin?PAD?PA??3??3．

3AD62說明：此題難度并不大．但是這里所給出的三種方法十分典型．方法一利用PA?PB?PC確定P在底面內(nèi)射影為?ABC的外心；方法二利用體積轉(zhuǎn)化的方法；方法三利用面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行垂足定位．

典型例題九

BC?4例9如下圖，在三棱錐P?ABC中，底面為直角三角形，兩直角邊AC?3，

三棱錐側(cè)面與底面所成二面角都為60?．求此三棱錐的側(cè)面積．

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角?，三棱錐的底面積為S底，側(cè)面積為S側(cè)，那么S底?S側(cè)?cos?．

(2)可以進(jìn)一步證明：假使棱錐的各個(gè)側(cè)面與底面成等角?，那么S底?S側(cè)?cos?．

典型例題十七

例17如圖，已知正三棱錐S?ABC的高SO?h，斜高SM?l．求經(jīng)過SO的中點(diǎn)平行于底面的截面?ABC的面積．

'''

分析：求出底面正三角形的邊可得其面積，再利用棱錐截面性質(zhì)，得截面面積．解：連結(jié)OM、OA．

在Rt?SOM中，OM?l2?h2．

由于棱錐S?ABC是正棱錐，所以點(diǎn)O是正三角形ABC的中心．

AB?2AM?2?OM?tan60??23l2?h2，

S?ABC?33AB2??4?3(l2?h2)?33(l2?h2)．442據(jù)一般棱錐截面的性質(zhì)，有

S?A'B'C'S?ABC332h'1(l?h2)．?2?．∴S?A'B'C'?4h4說明：過高的中點(diǎn)且平行于底面的截面叫做中截面．

典型例題十八

22例18如圖，已知棱錐V?ABC的底面積是64cm，平行于底面的截面面積是4cm，

O，棱錐頂點(diǎn)V在截面和底面上的射影分別是O1、過O1O的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，

求各截面的面積．

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分析：頂點(diǎn)到已知截面的距離h1與原棱錐高h(yuǎn)的關(guān)系，可由已知截面面積與底面積的量的關(guān)系得到，從而各截面對應(yīng)的高與原棱錐的高的關(guān)系可以求出，再運(yùn)用一般棱錐截面性質(zhì)可以求得各截面面積．

解：設(shè)棱錐的高為h，其頂點(diǎn)到已知截面之距VO1?h1，OO1的三等分點(diǎn)為O2、O3，

h11h4由已知得12?，∴1?，∴h1?h

h44h64∴O1O?VO?VO1?h?213h?h，44131?h?h．34411h1113∴VO2?h?h?，VO3?h?h?h?h．

4424444而O1O2?O2O3?O3O，則O1O2?O2O3?O3O?設(shè)過O2、O3的截面面積分別為S2、S3，底面面積為S則

11S2∶S?(h)2∶h2，∴S2?S?16(cm2)．

2439S3∶S?(h)2∶h2，∴S3??64?36(cm2)．

416∴兩截面的面積分別為16cm和36cm．

說明：此題還可以求得以V為頂點(diǎn)，分別以過O1的截面、過O2的截面、過O3的截面為底面的棱錐，以及原棱錐的側(cè)面積之比，這四個(gè)棱錐的側(cè)面積之比依次為

22S錐1∶S錐2∶S錐3∶S錐4?4∶16∶36∶64?1∶4∶9∶16．

典型例題十九

例19正三棱錐底面邊長和高都是4，它的一個(gè)內(nèi)接三棱柱的三個(gè)側(cè)面都是正方形．求

內(nèi)接三棱柱的全面積．

分析：如下圖．三棱柱的上底面?DEF與正三棱錐的底面?ABC相像，它們的相

'''PO．設(shè)三棱柱的棱長為x，則有似比等于PO∶'x4?x?，得出x?2，44S全?2SD'E'F'?S側(cè)．

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D'E'PD'?解：設(shè)三棱柱的棱長為x，由于三棱柱的上底面?DEF∽?ABC，則有，ABPA'''即

x4?x12?，∴x?2，SD'E'F'?xsin60??3，S三棱柱側(cè)?3x2?12，442∴S全?2SD'E'F'?S三棱柱側(cè)?23?12．

典型例題二十

例20如圖(1)設(shè)正三棱錐P?ABC的底面邊長a，側(cè)棱長為2a，過A作與PB、PC分別交于D和E的截面，當(dāng)截面?ADE的周長最小時(shí)，求截面的面積．

分析：由于截面?ADE的三個(gè)頂點(diǎn)都在正三棱錐的側(cè)面上，現(xiàn)若沿側(cè)棱PA將棱錐展開，則截面?ADE的周長為最小時(shí)，就是線段AA的長，如圖(2)所示．

解：將正三棱錐P?ABC沿側(cè)棱PA展開，當(dāng)截面?ADE的周長為最小值時(shí)，其周長即是展開圖中線段AA之長．

在側(cè)面展開圖中，∵AB?BC?CA，且?ABC??ACB．

''∴四邊形ABCA是等腰梯形，AA//BC，∴?PBC??BDA??PAB，

'''''''∶PB．∵PB?2BA，∴BA?2BD．∴?ABD∽?PBA，BD∶BA?AB'''歡迎登錄100測評網(wǎng).100進(jìn)行學(xué)習(xí)檢測，有效提高學(xué)習(xí)成績.

33a，又DE∶BC?PD∶PB，∴DE?a．2411''a．∴AA?AD?DE?EA?4在三棱錐中，取截面?ADE的邊DE的中點(diǎn)為H，

∵PD?PB?BD?∵AD?AE，∴AH?DE，∴AH?AD2?HD2?a2?(3a255)?a，88∴SADE?13552DE?AH?a．264'說明：本例中，求側(cè)面展開圖中AA之長時(shí)運(yùn)用了平面幾何知識，過程較為簡明．若在三角形PAA中，由PA?PA?2a，計(jì)算出?APA的余弦后，再用余弦定理求AA之長，就麻煩得多了．

''''典型例題二十一

例21已知正三棱錐P?ABC的底面邊長為a，過BC作截面DBC垂直側(cè)棱PA于

D，且此截面與底面成30?的二面角，求此正三棱錐的側(cè)面積．分析：先找出二面角的平面角，再由正三棱錐的一些線面關(guān)系，把要求的斜高轉(zhuǎn)化到直角三角形中，解直角三角形．

解：如圖，作PO?底面ABC于O．∵P?ABC為正三棱錐，

∴O為底面正三角形ABC的中心，連結(jié)AO交BC于M，連結(jié)PM，則AM?BC，PM?BC，

∴BC?平面APM，BC?DM，

∴?AMD為截面DBC與底面ABC所成二面角的平面角，∴?AMD?30?．

∵PA?平面DBC，∴PA?DM，?PAM?60?．∵正三角形ABC的邊長為a，∴AO?33a，MO?a．36在Rt?PAO中，PO?AO?tan60??3a?3a．3歡迎登錄100測評網(wǎng).100進(jìn)行學(xué)習(xí)檢測，有效提高學(xué)習(xí)成績.

在Rt?POM中，∵PM?PO2?OM2?a2?(3239a)??a，66∴S側(cè)?139392?3a?a?a．264說明：(1)在多面體中，求邊長、側(cè)棱長、高和斜高等長度以及距離、角等等，要充分