第22頁/共22頁高三下3月階段性測試一?填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，請在答題紙相應編號的空格內直接寫結果1.設全集，若集合，則____________．【答案】【解析】【分析】解出絕對值不等式，求出集合A，再求.【詳解】或，因此，.故答案為：.2.等差數列的前項之和為，若，，則______．【答案】90【解析】【分析】根據給定條件，結合等差數列性質求出，再利用等差數列前項和公式計算作答.【詳解】由得：，整理得，由得：，整理得，而，即，于是得，所以.故答案為：903.若的展開式中的系數為，則實數的值為__________.【答案】【解析】【分析】法一：可使用二項式展開式的通項公式，通過已知條件，使用待定系數法，求解出參數的值；法二：可以將此二項式看成6個這樣的式子乘在一起，兩項和看看怎樣組合，能得到，即可完成等量關系的建立，從而完成參數的求解.【詳解】法一：展開式第項時，，，，.故答案：2.法二：展開式中，要想湊出，必須取三次方，也取三次方，于是算下系數就有，.故答案為：2.4.已知是虛數單位，復數z滿足，則復數z的模為___________.【答案】【解析】【分析】化簡求出，再代模長公式即可求解【詳解】由，故答案為：5.曲線在點處的切線傾斜角為__________．【答案】【解析】【分析】先求出曲線方程的導函數，把x=1代入導函數中求出的函數值即為切線方程的斜率，根據直線斜率與傾斜角的關系得到傾斜角的正切值等于切線方程的斜率，然后利用特殊角的三角函數值即可求出傾斜角的度數．【詳解】由題意得，所以，即在點處的切線的斜率為，所以切線的傾斜角為.故答案為【點睛】此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握直線斜率與傾斜角間的關系，靈活運用特殊角的三角函數值化簡求值，屬于基礎題．6.如圖，在棱長為2的正方體中，點在截面上（含邊界），則線段的最小值等于___________.【答案】##【解析】【分析】由已知可證得平面，可得為與截面的垂足時，線段最小，然后利用等積法求解．【詳解】如圖，連接交截面于，由底面，底面,可得，又在正方形中，，，則平面，平面,則，同理可得，，則平面，此時線段最小，由棱長為2，可得等邊三角形的邊長為，，∵，∴，解得，故答案為：.7.在中，三個內角、、所對的邊分別為、、，若的面積，，，則______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦公式化簡,由的范圍特殊角的三角函數值求出，代入三角形的面積公式列出方程，利用余弦定理列出方程，變形后整體代入求出的值.【詳解】由可得中，由正弦定理得：由得，由得得∴由余弦定理得解得，故答案為：.8.已知某次考試的數學成績服從正態分布，且，現從這次考試隨機抽取3位同學的數學成績，則這3位同學的數學成績都在內的概率為_____．【答案】【解析】【分析】根據正態分布的對稱性可得，進而可求3位同學成績均在的概率.【詳解】由題意得，該正態曲線的對稱軸為，∵，∴，∴3位同學的數學成績都在的概率為．故答案為：9.已知函數，其中，若在區間上恰有2個零點，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】求出的范圍，由正弦函數的圖像性質可得解.【詳解】由，可得，因為函數，，恰有2個零點，由正弦函數圖像性質可得，從而解得.故答案為：10.已知，是雙曲線的左?右焦點，若點關于雙曲線漸近線的對稱點A滿足（O為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程為___________.【答案】【解析】【分析】設，，漸近線方程為，對稱點為，運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為，求出對稱點的坐標，滿足，可得，由兩點的距離公式，可得所求漸近線方程．【詳解】解：設，，漸近線方程為，的對稱點為，則，解得，，因為點滿足，所以，即，又，所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為；故答案為：11.已知是平面向量，與是單位向量，且，若，則的最小值為_____________．【答案】【解析】【分析】把條件的二次方程分解成兩個向量的積，得到這兩個向量互相垂直，結合圖形確定的最小值.【詳解】如下圖所示，設且點B在以F為圓心，DE為直徑的圓上又當點B為圓F和線段FA的交點的時候，最短故答案為：12.已知函數，若對任意的，都存在，使得，則實數的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】問題可轉化為，分類討論結合即可得出結論.【詳解】，，即對任意的，都存在，使恒成立，有，當時，顯然不等式恒成立；當時，，解得；當時，，此時不成立.綜上，.故答案：二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，請在答題紙的相應編號上將代表答案的小方格涂黑.13.“”是關于的不等式的解集為R的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】B【解析】【分析】取，時可判斷充分性；當不等式的解集為R時，分，，討論可判斷必要性.【詳解】若，取時，不等式，此時不等式解集為；當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當，且時，不等式，所以，若關于的不等式的解集為R，則.綜上，“”是關于的不等式的解集為R的必要非充分條件.故選：B14.如圖所示是函數（均為正整數且互質）的圖象，則（）A.是奇數且B.是偶數，是奇數，且C.是偶數，是奇數，且D.是奇數，且【答案】B【解析】【分析】由冪函數性質及時兩圖象的位置關系可知；由圖象可知為偶函數，進而確定的特征.【詳解】由冪函數性質可知：與恒過點，即在第一象限的交點為，當時，，則；又圖象關于軸對稱，為偶函數，，又互質，為偶數，為奇數.故選：B.15.為了提升全民身體素質，學校十分重視學生體育鍛煉，某校籃球運動員進行投籃練習．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，由全概率公式可求得結果.【詳解】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，，，，由全概率公式可得.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用全概率公式計算事件的概率，解題的關鍵就是弄清第球與第球投進與否之間的關系，結合全概率公式進行計算.16.已知等差數列（公差不為零）和等差數列的前項和分別為，如果關于的實系數方程有實數解，那么以下2023個方程中，有實數解的方程至少有（）個A.1009 B.1010 C.1011 D.1012【答案】D【解析】【分析】設出兩個等差數列的公差，由等差數列的性質得到，要想無實根，要滿足，結合根的判別式與基本不等式得到和至多一個成立，同理可證：和至多一個成立，……，和至多一個成立，且，從而得到結論.【詳解】由題意得：，其中，，代入上式得：，要想方程無實數解，則，顯然第1012個方程有解，設方程與方程的判別式分別為和，則，等號成立的條件是.所以和至多一個成立，同理可證：和至多一個成立，……，和至多一個成立，且，綜上，在所給的2023個方程中，無實數根的方程最多1011個，有實數根的方程至少1012個.故選：D.三?解答題（本大題共有5題，本大題滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應的編號規定區域內寫出必要的步步17.已知函數.（1）求函數的單調遞減區間；（2）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡已知條件，然后利用整體代入法求得的單調遞減區間.（2）利用余弦定理求得，結合三角函數值域的求法求得的取值范圍.【小問1詳解】令，則所以，單調減區間是.【小問2詳解】由得：，即，由于，所以.在中，，，于是，則，，，所以.18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，E，F分別為PA，BC的中點．（1）證明：EF∥平面PCD（2）若PD⊥平面ABCD，，且，求直線AF與平面DEF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取PD的中點G，連接CG，EG，則由三角形中位線定理可得，再結合底面四邊形為菱形，可得四邊形EGCF為平行四邊形，從而得然后由線面平行的判定定理可證得結論，（2）由已知可得兩兩垂直，所以以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系D—xyz，然后利用空間向量求解即可【小問1詳解】證明：取PD的中點G，連接CG，EG，因為E，F分別為PA，BC的中點，所以，又底面ABCD為菱形，所以，所以，所以四邊形EGCF為平行四邊形，所以又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．【小問2詳解】解：連接，因為PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因為四邊形ABCD為菱形，，所以為等邊三角形，因為F為BC的中點，所以，因為∥，所以，所以兩兩垂直，所以以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系D—xyz．因為，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），則．設平面DEF的法向量，則，令，得．設直線AF與平面DEF所成的角為θ，則，所以直線AF與平面DEF所成角的正弦值為19.隨著經濟的發展，富裕起來的人們健康意識日益提升，越來越多的人走向公園、場館，投入健身運動中，成為一道美麗的運動風景線．某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機抽取人進行調查，得到如下表的統計數據：周平均鍛煉時間少于小時周平均鍛煉時間不少于小時合計歲以下歲以上（含）合計（1）運用獨立性檢驗的思想方法判斷：是否有以上的把握認為，周平均鍛煉時長與年齡有關聯？并說明理由．（2）現從歲以上（含）的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于小時，用分層抽樣法抽取人做進行一步訪談，最后再從這人中隨機抽取人填寫調查問卷．記抽取人中周平均鍛煉時間是不少于小時的人數為，求的分布列和數學期望．【答案】（1）有以上的把握認為周平均鍛煉時長與年齡有關聯；理由見解析（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）由表格數據計算可得，對比臨界值表可得結論；（2）根據分層抽樣原則可確定人中，周平均鍛煉時長少于小時和不少于小時的人數，由此可確定所有可能的取值，根據超幾何分布概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；根據數學期望計算公式可求得期望值.【小問1詳解】由表格數據得：，有以上的把握認為周平均鍛煉時長與年齡有關聯.【小問2詳解】抽取的人中，周平均鍛煉時長少于小時的有人，不少于小時的有人，則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數學期望20.已知拋物線焦點為，直線交拋物線于不同的兩點.（1）若直線的方程為，求線段的長；（2）若直線經過點，點關于軸的對稱點為，求證：三點共線；（3）若直線經過點，拋物線上是否存在定點，使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在定點，使得以線段為直徑的圓恒過點.【解析】【分析】（1）聯立直線方程與拋物線方程，可得，根據在上，由拋物線定義可求得結果；（2）設，，，聯立直線方程與拋物線方程可得，利用兩點連線斜率公式表示出，整理得，由此證得結論；（3）設存在點滿足題意，設，與拋物線方程聯立得到韋達定理的形式，由可得到，討論可得時滿足題意，由此確定點坐標.【詳解】（1）設，，聯立得：，，拋物線方程為，拋物線的焦點，又直線過拋物線的焦點，由拋物線的定義可得：.（2）由題意知：直線的斜率存在，設直線的方程為，，，則，聯立得：，則，解得：，，即，直線的斜率為，直線的斜率為，，三點共線.（3）假設存在點，使以弦為直徑的圓恒過點，設過點的直線的方程為：，聯立得：，則，設，，則，，點總在以弦為直徑的圓上，，，又，，，，當或，等式成立，當或，有，，則，即，當時，無論取何值等式都成立，將代入得：，；綜上所述：存在點，使得以弦為直徑的圓恒過點.【點睛】思路點睛：本題拋物線中滿足某條件的定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與拋物線方程聯立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理可整理得到變量間的關系；④通過討論所得關系可確定定點.21.已知函數，設，.（1）若在上有解，求的取值范圍；（2）若，證明：當時，成立；（3）若恰有三個不同的根，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）常數分離法，轉化為有解，用導數求的最小值即可；（2）即證在時恒成立，用導數求左邊函數的最小值;（3）確定是先減后增，要使有三根，要滿足，從而，可將表示為的函數，根據的范圍，求得的范圍.【小問1詳解】由題，在上有解，，所以有解令，則，而在上為增函數，所以，即成立，所以在嚴格遞增，因而，即.【小問2詳解】時，則，令，得，記，則在時嚴格增，因而，所以在時嚴格增，因而即在嚴格增，，即在恒成立.【小問3詳解】在定義域上遞增①當時，，而當時成立，且，所以，因而存在，使得，當時，，為減函數；當時，，為增函數；所以為極小值點.，由，此時不可能有三個根.②當時，因而存在，使得，當時，，為減函數；當時，，為增函數；所以為極小值點