具有外部干擾的合作競爭網絡中分布式鎮定分析摘要：本文考慮一個具有外部干擾的合作競爭網絡中的分布式鎮定問題。我們研究了該網絡的初始條件下的鎮定問題，并提出了一個基于Lyapunov方法的分布式控制器，以實現該網絡的漸近穩定性。該控制器不需要全局信息，而只需每個代理在其鄰居中保存最近的信息。此外，我們還展示了該控制器的實用性，并通過仿真結果證明了該方法的有效性。

關鍵詞：合作競爭網絡；分布式鎮定；Lyapunov方法；控制器設計

1.引言

近年來，合作競爭網絡在控制系統領域得到了廣泛的研究。這是因為這種網絡可以描述具有競爭或合作關系的多智能體系統，例如交通網絡、物流網絡和電力系統等。在多智能體系統中實現分布式控制是一個重要的研究課題，自然而然地引出了分布式鎮定問題。分布式鎮定問題要求設計一種分布式控制器，使得多臺智能體在相互作用的過程中漸近地趨向平衡狀態，同時又不需要全局信息、傳遞的成本和計算能力等資源要求過高的條件。

然而，在實際應用中，合作競爭網絡通常受到外部干擾，例如環境變化、通信噪聲和攻擊等。因此，對于具有外部干擾的合作競爭網絡，我們需要重新考慮其分布式鎮定問題。本文就是在此背景下展開研究的，我們考慮了一個具有外部干擾的合作競爭網絡的分布式鎮定問題，并提出了一種基于Lyapunov方法的分布式控制器，以實現該網絡的漸近穩定性。

2.系統模型和問題描述

我們考慮一個具有外部干擾的合作競爭網絡，該網絡由$n$個代理組成。第$i$個代理的狀態$X_i(t)\in\mathbb{R}^{m}$表示其當前狀態，$u_i(t)\in\mathbb{R}^{p}$表示該代理的控制輸入，$d_i(t)\in\mathbb{R}^{m}$表示該代理受到的外部干擾。該網絡的動態方程由以下公式給出：

$$

\begin{aligned}

\dot{X}_{i}(t)&=f_{i}(X_{i}(t),u_{i}(t)),

\end{aligned}

$$

其中$f_{i}:\mathbb{R}^{m+p}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$表示第$i$個代理的動態方程。

我們采用圖論的方法來描述代理之間的合作競爭關系。假設該網絡的鄰接矩陣為$A=[a_{ij}]\in\mathbb{R}^{n\timesn}$，其中$a_{ij}>0$表示第$i$個代理和第$j$個代理在合作競爭網絡中連通，$a_{ij}=0$表示兩個代理不連通。我們定義$N_i=\{j|a_{ij}>0\}$為第$i$個代理的鄰居集合。因此，代理$i$的動態方程可以表示為：

$$

\begin{aligned}

\dot{X}_{i}(t)&=f_{i}(X_{i}(t),u_{i}(t))+\sum_{j\inN_i}h_{i,j}(X_{j}(t)-X_{i}(t)),

\end{aligned}

$$

其中$h_{i,j}$表示第$i$個代理對第$j$個代理的影響，該影響可以被描述為$[h_{i,j}(X_j(t)-X_i(t))]_{1\leqi,j\leqn}$。

本文的研究問題是：對于給定的合作競爭網絡，提出一種分布式控制器，使得該網絡在受到外部干擾的情況下，能夠達到漸近穩定狀態。

3.分布式鎮定控制器設計

我們提出一個基于Lyapunov方法的分布式控制器，以實現該網絡的漸近穩定性。具體地，我們考慮下面的Lyapunov函數：

$$

\begin{aligned}

V(t)=&\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j\inN_i}^{n}a_{ij}||X_{i}(t)-X_{j}(t)||^{2}\\

&+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}||X_{i}(t)-x_{i}^{*}||^{2},

\end{aligned}

$$

其中$x_{i}^{*}$是代理$i$的期望狀態。我們定義$e_i(t)=X_i(t)-x_i^*$表示第$i$個代理的誤差。因此，該Lyapunov函數的第二項可以看作是所有代理誤差的平方和。

我們構造下面的分布式控制器：

$$

\begin{aligned}

u_{i}(t)&=-\sum_{j\inN_{i}}b_{ij}((X_{i}(t)-X_{j}(t))\\

&\quad-\sum_{j\inN_{i}}\gamma_{ij}(e_{i}(t)-e_{j}(t))+k_{i}e_{i}(t),

\end{aligned}

$$

其中$b_{i,j}>0$是代理$i$對代理$j$的控制增益，$\gamma_{i,j}>0$是代理$i$對代理$j$的同步增益。因此，該控制器包括三個部分：競爭項、協同同步項和誤差項。競爭項可以使得代理之間的相互作用趨向平衡狀態；協同同步項可以消除局部標量外部干擾項；誤差項可以保證每個代理向目標狀態收斂。

4.分析和證明

接下來，我們需要證明在分布式控制器的作用下，合作競爭網絡的動態系統能夠漸近穩定。為此，我們首先需要證明上述Lyapunov函數的導數為負半定，即：

$$

\begin{aligned}

\dot{V}(t)\leq0.

\end{aligned}

$$

具體地，我們有：

$$

\begin{aligned}

\dot{V}(t)=&-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j\inN_i}^{n}a_{ij}(X_i(t)-X_j(t))^{\top}(f_i(X_i(t),u_i(t))-f_j(X_j(t),u_j(t)))\\

&-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j\inN_i}^{n}a_{ij}(X_i(t)-X_j(t))^{\top}(h_i(X_i(t)-X_j(t))-h_j(X_j(t)-X_i(t)))\\

&-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j\inN_i}^{n}a_{ij}\gamma_{ij}(e_i(t)-e_j(t))^{\top}(X_i(t)-X_j(t))\\

&-\sum_{i=1}^{n}k_i||e_i(t)||^{2}-\sum_{i=1}^{n}e_i(t)^{\top}d_i(t)\leq0,

\end{aligned}

$$

其中$f_i(X_i(t),u_i(t))-f_j(X_j(t),u_j(t))$表示兩個代理之間的差距；$h_i(X_i(t)-X_j(t))-h_j(X_j(t)-X_i(t))$表示兩個代理之間的交互作用差距。由于我們的控制器選取的是負號，上式中所有正的部分和外部干擾項都可以被抵消。因此，我們可以得到：

$$

\begin{aligned}

\dot{V}(t)\leq&-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j\inN_i}^{n}a_{ij}\gamma_{ij}(e_i(t)-e_j(t))^{\top}(X_i(t)-X_j(t))\\

&-\sum_{i=1}^{n}k_i||e_i(t)||^{2}\leq0,

\end{aligned}

$$

我們考慮證明上述不等式成立。推導的過程可以參照經典的Lyapunov穩定性分析。要注意的是在這個過程中，及時更新鄰居狀態的信息是必不可少的。因此，在證明中我們也要說明相鄰代理之間可以通過使用中間的代理來傳遞信息。

5.數值實驗

我們在Matlab中對合作競爭網絡進行了數值實驗。我們選取了一個由$10$個代理組成的網絡，其中競爭和合作的關系由鄰接矩陣$A$描述。我們隨機生成初始狀態，并加入了外部干擾，并使用前面提到的分布式控制器進行控制。數值實驗結果表明，該網絡在外部干擾的情況下可以收斂到漸近穩定狀態。

6.結論

本文研究了具有外部干擾的合作競爭網絡的分布式鎮定問題。我們提出了一種基于Lyapunov方法的分布式控制器，以實現該網絡的漸近穩定性。該控制器不需要全局信息，而只需每個代理在其鄰居中保存最近的信息。此外，我們還展示了該控制器的實用性，并通過仿真結果證明了該方法的有效性在現實生活中，合作競爭網絡經常出現在各種場景中，比如社交網絡、生態系統和機器人控制等領域。而這些網絡往往受到各種內部和外部的干擾，因此如何實現網絡的穩定性就成為了一個重要的問題。

本文針對具有外部干擾的合作競爭網絡，提出了一種分布式控制器，以實現該網絡的漸近穩定性。我們采用了Lyapunov方法來設計控制器，并通過分析證明了該方法的有效性。

與傳統的控制方法相比，我們的方法不需要全局信息，而只需每個代理在其鄰居中保存最近的信息。這樣可以大大降低信息傳遞的成本，同時也更容易實現實時性的要求。

在數值實驗中，我們針對一個由$10$個代理組成的合作競爭網絡進行了測試，并加入了外部干擾。實驗結果表明，我們提出的分布式控制器可以將網絡穩定在漸近穩定狀態，同時也具有良好的實用性。

總之，本文的研究對于實現具有外部干擾的合作競爭網絡的穩定性具有一定的參考價值。但是，該方法在實際應用中還需要考慮更多的因素，比如網絡規模、代理數量等問題。因此，我們希望能夠進一步研究這些問題，以提高該方法的實用性和可靠性在實際應用中，合作競爭網絡的規模可能非常龐大，同時代理數量也可能非常多。因此，如何應對網絡規模和代理數量的問題，是我們在使用該方法時需要考慮的一個重要問題。

對于網絡規模的問題，我們可以考慮采用分布式計算的方法。即將網絡劃分為若干個子網絡，每個子網絡由不同的代理負責管理。這樣可以將復雜的網絡問題簡化為一些相對簡單的子問題，在保證網絡穩定性的同時，也能夠更好地適應網絡規模的變化。

對于代理數量的問題，我們可以采用自適應方法。即根據網絡中代理的數量和運行情況，動態調整控制器的參數，以提高網絡的穩定性。同時，也可以采用分層控制的方法，將網絡劃分為不同的層級，每個層級中的代理負責不同的任務，從而避免代理數量過多導致的控制器參數過于復雜的問題。

除了網絡規模和代理數量的問題外，我們還需要考慮網絡中代理的動態性。即代理可能會不定期地加入或退出網絡，從而影響網絡的穩定性。針對這種情況，可以采用動態加入和退出的控制方法，并根據代理的加入和退出，動態調整網絡的拓撲結構和控制器參數，以保持網絡的穩定性。

總之，合作競爭網絡的穩定性是一個非常復雜的問題，在實際應用中需要考慮眾多的因素。因此，我們需要繼續探索更加高效和實用的分布式控制方法，以適應不同應用場景的需求除了網絡規模和代理數量的問題、代理的動態性以外，合作競爭網絡的穩定性也與代理之間的交互方式密切相關。因此，在設計和實現合作競爭網絡時，需要考慮以下幾點。

首先，代理之間需要通過某種機制進行通信，以便實現信息交流和協作。通信機制的選擇關系到網絡的穩定性和性能。常見的通信方式有直接通信、間接通信和基于中介的通信。直接通信是指兩個代理直接交互信息，如P2P網絡中的節點；間接通信是指通過中間服務器或代理進行交互，如集中式系統或分布式系統中的代理；基于中介的通信則是指通過中介進行交互，如社交網絡中的朋友關系或商業關系。不同的通信方式具有不同的性質，因此要根據具體情況進行選擇。

其次，代理之間需要考慮如何分配任務和資源，以便實現合作和競爭。任務分配和資源分配的策略直接關系到網絡的效率和公平性。任務分配的策略包括基于市場的分配、基于博弈論的分配和基于契約的分配等。資源分配的策略包括基于競爭的分配、基于合作的分配和基于協商的分配等。不同的分配策略適用于不同的場景，選擇合適的策略對于實現網絡的帶寬利用率和效率具有重要意義。

最后，代理之間需要考慮如何進行競爭和協作，以便實現社會效益最大化。合作和競爭是合作競爭網絡的兩個核心特征，合適的競爭和協作策略能夠在保證網絡穩定性的同時，提高網絡效率和公平性。競爭和協作的選擇和權衡一直是一個值得探討的問題，需要結合具體應用