函數(shù)與導數(shù)—導數(shù)中的極值點偏移問題專題綜述極值點偏移問題在高考和模考中都是一個熱點問題，試題設問靈活新穎，綜合性強，難度較大，往往作為壓軸題出現(xiàn).極值點偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，函數(shù)的零點分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏.極值點偏移問題大致分為4中類型：加法型、減法型、商型、平方型，本專題重點探究這類問題的一般解法.專題探究探究1：構造對稱的和（或差）已知函數(shù)在區(qū)間的兩個零點為，或，且極值點為，證明關于的加法型不等式、乘法型不等式問題，可進行對稱化構造，解決此類問題.答題思路：例：若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點，求證：，或（1）定極值點：討論函數(shù)的單調性并求出的極值點，設；假設此處在上單調遞減，在上單調遞增.（2）構造函數(shù)或；分析：=1\*GB3①要證只需證只需證即證，構造函數(shù).=2\*GB3②要證只需證只需證即證，構造函數(shù).（3）利用單調性比較大小：通過求導討論的單調性，求出函數(shù)的最值.（4）轉化：轉化為，或的大小關系.若要證明的符號問題，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導數(shù)值的正負，從而結論得證.(2021江蘇省揚州市月考)已知函數(shù)（1）討論的單調性：（2）若，是的兩個零點.證明：；【審題視點】證明的兩個零點的加法型不等式，構造函數(shù)解決.【思維引導】通過討論單調性，明確有兩個零點時的極值點及單調區(qū)間，根據(jù)上述答題思路，構造函數(shù)求最值，從而得出，再利用函數(shù)的單調性，得出自變量值的大小關系.【規(guī)范解析】解：（1）由題意得，

則當時，在為增函數(shù)

當時，令，則

在上單調遞增，在上單調遞減

綜上，時，在為增函數(shù)；

時，在上單調遞增，在上單調遞減由（1）知極值點為，明確單調區(qū)間（2）由（1）知，當時函數(shù)由（1）知極值點為，明確單調區(qū)間且，

，要證轉化為證轉化為比較即為轉化為構造函數(shù)求要證轉化為證轉化為比較即為轉化為構造函數(shù)求最值則在區(qū)間上單調遞增即當時，得出利用函數(shù)得出利用函數(shù)的單調性，比較的大小，證明結論在區(qū)間上單調遞減，即【探究總結】本題證明的不等式中含有兩個變量,對于此類問題一般的求解思路是將兩個變量分到不等式的兩側,然后根據(jù)函數(shù)的單調性,通過兩個變量之間的關系“減元”,建立新函數(shù),最終將問題轉化為函數(shù)的最值問題來求解.解題時，按照答題思路，逐步呈現(xiàn)，較容易的證明出結論，注意細節(jié)的處理.證明乘法型不等式有時也可以通過取對數(shù)，變?yōu)榧臃ㄐ徒鉀Q.(2021江蘇南京聯(lián)考)已知函數(shù)（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的兩個零點為，，證明：探究2：消參減元消參減元的主要目的就是減元,進而構造與所求解問題相關的函數(shù).主要

是利用函數(shù)極值點乘積所滿足的條件進行消參減元.其解題要點如下:答題思路：（1）建立方程組：若為函數(shù)的兩個零點，則，若為函數(shù)的兩個極值點，則，方程組中都含有參數(shù)；（2）定關系：利用方程之間的和差積商的運算，建立與參數(shù)的關系；（3）消參減元：將所需證明的不等式或需求取值范圍的代數(shù)式表示出來，表示的過程中，要與參數(shù)的關系式消去參數(shù)，將以比值或差值的形式呈現(xiàn)，將比值或差值設為，減元.（4）構造函數(shù)求解：構造關于的函數(shù)，轉化為求函數(shù)的單調性、極值、最值問題.(2021湖北省荊州市高三模擬)已知函數(shù)

（1）討論的單調性;（2）設有兩個不同的零點，，且，證明：【審題視點】轉化為，可以利用消參減元的方法求的范圍.【思維引導】第（2）問中得出，可用，表示出，通過兩方程相加，等號左側湊出，右側變形出現(xiàn)，換元完成減元.【規(guī)范解析】解：（1）由題意得=1\*GB3①當時，，在上為單調遞增；

=2\*GB3②當時，的判別式，=1\*romani）當時，，所以在上為增函數(shù)；

=2\*romanii）當時，令，則，，

當時，，在，上單調遞增，

當時，，在上為單調遞減.

綜上所述：當時，在上為增函數(shù)，

當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.

（2）證明：，由的方程組，通過加減：=1\*GB3①用表示；=2\*GB3②變形出的等式.，是方程由的方程組，通過加減：=1\*GB3①用表示；=2\*GB3②變形出的等式.等式右側變形出比值結構設為，實現(xiàn)減元，構造函數(shù)求最值即等式右側變形出比值結構設為，實現(xiàn)減元，構造函數(shù)求最值設，，則，

設，則，在上為增函數(shù)，

，則，由函數(shù)的最值，求出的范圍，利用基本不等式求出的范圍在上為增函數(shù)，

由函數(shù)的最值，求出的范圍，利用基本不等式求出的范圍即，即，又，，即【探究總結】求解本題的關鍵點有兩個：一個是消參，列出零點的方程組，需要利用兩個變量把參數(shù)表示出來，這是解決問題的基礎；二是減元,即減少變量的個數(shù),把方程轉化為一個“變量”的式子后,構造與之相應的函數(shù),轉化為函數(shù)問題求解.(2021安徽蚌埠月考)已知函數(shù)有兩個零點．（1）求的取值范圍；（2）設是的兩個零點，證明：探究3：比（差）值換元比(差)值換元的目的也是消參、減元,就是根據(jù)已知條件首先建立之間的關系,然后利用兩個極值點之比(差)作為變量,實現(xiàn)消參、減元的目的.結合滿足的方程組，使分別用表示，帶入需證明或求范圍的代數(shù)式，轉化為關于的函數(shù)求解.(2022山東青島聯(lián)考)設函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，若函數(shù)恰有兩個零點，，求證：【審題視點】思路一：為函數(shù)兩個零點，且函數(shù)中含有參數(shù)，需要消參；求證平方型不等式，利用，湊不出平方和，故使用比值換元法，構造關于的函數(shù).思路二：根據(jù)基本不等式可得，可利用探究一中的方法證明，再證明.【思維引導】設，再利用，分別用表示，帶入，構造關于的函數(shù).【規(guī)范解析】（1）解：由題意得，=1\*GB3①當時，，即在上是增函數(shù);=2\*GB3②當時，若，則，此時單調遞減;若，則，此時單調遞增.綜上可得：當時，在上單調遞增;當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）證明：當時，，通過相減消去參數(shù)，等式的右側不能直接將換成表示，則直接通過相減消去參數(shù)，等式的右側不能直接將換成表示，則直接換元，用分別表示令，則，，若直接表示函數(shù)若直接表示函數(shù)會很復雜，先表示，構造函數(shù)，求最值設，則設，則在上單調遞增，在上單調遞增，即，求證，可以構造函數(shù)，求證，可以構造函數(shù)，利用探究一的方法求解，即【探究總結】平方型的不等式，利用方程組通過加減難以變形出現(xiàn)的情況下，利用比（差）值換元，將用表示，帶入不等式，轉化為關于的函數(shù).但處理這類問題，方法不唯一，也可以巧妙變形利用消參減元證明，或構造對稱和（或差）證明.（2021福建寧德模擬）已知函數(shù)．（1）當時，討論函數(shù)的單調性：（2）若函數(shù)恰有兩個極值點，，且，求的最大值．專題升華導數(shù)中的極值點偏移問題，題干中出現(xiàn)為函數(shù)零點或極值點，證明關于的不等式或求代數(shù)式的范圍，這類問題能較好考查學生的邏輯推理能力,數(shù)據(jù)處理能力,轉化與化歸思想,函數(shù)與方程思想等.常見的需證明的的關系有加法型、減法型、乘法型和商型，每種類型沒有唯一的解題方法，上述方法要靈活運用.以探究一的變式訓練為例：方法一：構造對稱的和（或差）函數(shù)極值點為，證明，構造函數(shù)，方法二：構造對稱的和（或差）結合基本不等式函數(shù)極值點為，可以先證明，構造函數(shù)，再利用基本不等式證明；方法三：消參換元由得，合并，設，直接構造關于的函數(shù)；方法四：引入變量設，則，則設，則，則證明設，求最值.極值點偏移問題，方法不唯一，解題時選擇適當方法，靈活解題.【答案詳解】變式訓練1【解答】（1）解：，，即恒成立.

設，則，

易知在上單調遞增，且

所以當時，；當時，

在上單調遞減，在上單調遞增，

，（2）證明：由題意得方程的兩不相等的根為，

設，則，

又

當時，，在上單調遞增，不存在兩個零點;

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

則，得設令

，

則，

在上單調遞減，故

，

即

，，且在上單調遞減，

，即，故成立.變式訓練2【解答】（1）解：由題意得=1\*GB3①當時，在區(qū)間上單調遞增=2\*GB3②當時，令，則在上單調遞增，在上單調遞減,故當時，，在區(qū)間，上分別有一個零點（2）證明：由題意得又要證，只需證，即證，即證，即證，即證設故，令，則