2020年北京市各區一模試題分類匯編(二)函數與導數：海淀區：（7）已知函數與函數的圖象關于軸對稱.若在區間內單調遞減，則的取值范圍為（A）（B）（C）（D）（10）形如（是非負整數）的數稱為費馬數記為.數學家費馬根據,,,,都是質數提出了猜想費馬數都是質數.多年之后數學家歐拉計算出不是質數那么的位數是（參考數據：）（A）（B）（C）（D）CB（15）如圖，在等邊三角形中.動點從點出發沿著此三角形三邊逆時針運動回到點記運動的路程為點到此三角形中心距離的平方為，給出下列三個結論：CB①函數的最大值為；②函數的圖象的對稱軸方程為；A③關于的方程最多有個實數根.A其中，所有正確結論的序號是.注：本題給出的結論中，有多個符合題目要求。全部選對得5分，不選或有錯選得0分，其他得3分。（19）（本小題共15分）已知函數．（Ⅰ）當時，=1\*GB3①求曲線在點處的切線方程；②求函數的最小值；（Ⅱ）求證：當時曲線與有且只有一個交點．西城區：3.下列函數中,值域為R且為奇函數的是(A)y=x+2 (B)y=sinx (C)y=x-x3 10.設函數f(x)=x2+10x+1,x≤0lgx,x>0若關于x的方程f(x)=a(a∈R)(A)(0,101] (B)(0,99] (C)(0,100] (D)(0,+∞)19.(本小題滿分14分)設函數f(x)=alnx+x2(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處切線的傾斜角為π4,求a(Ⅱ)已知導函數f'(x)在區間(1,e)上存在零點,證明:當x∈(1,e)時,東城區：(2)函數的定義域為(A)(B)(C)(D)(10)假設存在兩個物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食物,則我們稱前者為被捕食者，后者為捕食者.現在我們來研究捕食者與被捕食者之間理想狀態下的數學模型.假設捕食者的數量以表示，被捕食者的數量以表示.下圖描述的是這兩個物種隨時間變化的數量關系，其中箭頭方向為時間增加的方向.下列說法正確的是：若在時刻滿足：，則；如果數量是先上升后下降的，那么的數量一定也是先上升后下降；被捕食者數量與捕食者數量不會同時到達最大值或最小值；被捕食者數量與捕食者數量總和達到最大值時，被捕食者的數量也會達到最大值.(15)設函數給出下列四個結論：對，，使得無解；對，，使得有兩解；當時，，使得有解；當時，，使得有三解.其中，所有正確結論的序號是.注：本題給出的結論中，有多個符合題目要求。全部選對得5分，不選或有錯選得0分，其他得3分。(20)（本小題15分）已知函數().（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若有兩個極值點，求實數的取值范圍；（Ⅲ）若，求在區間上的最小值.豐臺區：5．已知，，，則（A）（B）（C）（D）10.已知函數QUOTEfx=-1,x≥0,kx,x<0.若存在非零實數QUOTEx0，使得QUOTEf-x0=fx0成立，則實數QUOTEk的取值范圍是（A）（B）（C）（D）19.（本小題共15分）已知函數.（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為1，求實數的值；（Ⅱ）當時，求證：；（Ⅲ）若函數在區間上存在極值點，求實數的取值范圍朝陽區：（2）下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（A）（B）（C）（D）（9）已知函數若關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍為（A） （B）（C）（D）（15）數學中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個結論：①曲線關于直線對稱；②曲線上任意一點到原點的距離都不超過；③存在一個以原點為中心、邊長為的正方形，（第15題圖）使得曲線在此正方形區域內（含邊界）．（第15題圖）其中，正確結論的序號是________．（20）（本小題15分）已知函數．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）判斷函數的零點的個數，并說明理由；（Ⅲ）設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．石景山：3.下列函數中，既是奇函數又在區間上單調遞減的是A.B.C.D.9.設是定義在上的函數，若存在兩個不等實數，使得，則稱函數具有性質，那么下列函數：①；②；=3\*GB3③；具有性質的函數的個數為B.C.D.20.（本小題14分）已知函數．（Ⅰ）若恒成立，求實數的取值范圍；（Ⅱ）當時，過上一點作的切線，判斷：可以作出多少條切線，并說明理由．解析幾何：海淀區：（3）已知雙曲線的離心率為則的值為（A）（B） （C）（D）（11）已知點在拋物線上則拋物線的準線方程為.（20）（本小題共14分）已知橢圓的離心率為，的面積為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設是橢圓上一點且不與頂點重合若直線與直線交于點直線與直線交于點.求證：為等腰三角形.西城區：5.設A(2,-1),B(4,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是(A)(x-3)2+y2(C)(x+3)2+y2=213.設雙曲線x24-y2b220.(本小題滿分15分)設橢圓E:x22+y2=1,直線l1經過點M(m,0),直線l2經過點N(n,0),直線l1∥直線l(Ⅰ)若M,N分別為橢圓E的左、右焦點,且直線l1⊥x(Ⅱ)若直線l1的斜率存在且不為0,四邊形ABCD為平行四邊形,求證:m+n=0(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷四邊形ABCD能否為矩形,說明理由.東城區：(4)若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則的值為(A)(B)(C)(D)(9)設為坐標原點，點，動點在拋物線上，且位于第一象限，是線段的中點，則直線的斜率的范圍為(A)(B)(C)(D)(13)圓心在軸上，且與直線和都相切的圓的方程為___.(19)（本小題14分）已知橢圓，它的上，下頂點分別為，，左，右焦點分別為，，若四邊形為正方形，且面積為.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設存在斜率不為零且平行的兩條直線，與橢圓分別交于點，且四邊形是菱形，求出該菱形周長的最大值.豐臺區：4．圓的圓心到直線的距離為（A）（B）（C）（D）8.過拋物線的焦點作傾斜角為60°的直線與拋物線交于兩個不同的點（點在軸上方），則的值為（A）（B）（C）（D）15．已知雙曲線的漸近線是邊長為1的菱形的邊所在直線．若橢圓經過兩點，且點是橢圓的一個焦點，則.20.（本小題共14分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，直線與橢圓交于不同的兩點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線，分別交軸于兩點，問：軸上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.朝陽區：（5）已知拋物線：的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于.若，，則拋物線的方程為（A）（B）（C）（D）（7）在中，，．若以，為焦點的雙曲線經過點，則該雙曲線的離心率為（A） （B）（C）（D）（19）（本小題14分）已知橢圓，圓（為坐標原點）.過點且斜率為的直線與圓交于點，與橢圓的另一個交點的橫坐標為.（Ⅰ）求橢圓的方程和圓的方程；（Ⅱ）過圓上的動點作兩條互相垂直的直線，，若直線的斜率為且與橢圓相切，試判斷直線與橢圓的位置關系，并說明理由.石景山：4.圓的圓心到直線的距離為1，則A.B.C.D.14.已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則__________．19.（本小題15分）已知橢圓的右焦點為，離心率為.直線過點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅲ）延長線段與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率．立體幾何：海淀區：（8）某四棱錐的三視圖如圖所示該四棱錐中最長棱的棱長為（A）（B）（C）（D）（16）（本小題共14分）如圖，在三棱柱點為的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大小.西城區：7.某四棱錐的三視圖如圖所示,記S為此棱錐所有棱的長度的集合,則(A)2(B)2(C)2(D)216.(本小題滿分14分)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1(Ⅰ)求證:AB⊥平面AD(Ⅱ)求直線AB與平面B1東城區：(5)如圖所示，某三棱錐的正（主）視圖、俯視圖、側（左）視圖均為直角三角形，則該三棱錐的體積為(A)(B) (C)(D) (16)（本小題14分）如圖，在四棱錐中，面，底面為平行四邊形，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.豐臺區：7．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個面中，面積等于的有（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個13.已知平面和三條不同的直線.給出下列六個論斷：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥.以其中兩個論斷作為條件，使得成立.這兩個論斷可以是．（填上你認為正確的一組序號）17.（本小題共14分）如圖，在四棱錐，，，平面平面.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．朝陽區：（10）如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，點在對角線上運動．當的面積取得最小值時，點的位置是（A）線段的三等分點，且靠近點（B）線段的中點（C）線段的三等分點，且靠近點（第10題圖）（D）線段的四等分點，且靠近點（第10題圖）（12）已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長為________，它的體積為．（第12題圖）（第12題圖）（17）（本小題14分）如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是正方形，點，分別是棱，的中點，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若點在棱上，且，判斷平面與平面是否平行，并說明理由．石景山：10.點分別是棱長為的正方體中棱的中點，動點在正方形（包括邊界）內運動.若面，則的長度范圍是A.B.C.D.16.（本小題14分）如圖，在正四棱錐中，，．（Ⅰ）求證：面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．不等式和向量：海淀區：（4）已知實數在數軸上對應的點如圖所示則下列式子中正確的是（A）（B）（C）（D）（13）已知非零向量滿足則.西城區：6.設a,b,c為非零實數,且a>c,b>c,則(A)a+b>c (B)ab>c2 (C)a+b2>c8.設a,b為非零向量,則“|a+b|=|a|+|b|”是“a與b共線”的(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件12.若向量a=(x2,2),b=(1,x)滿足a·b<3,則實數x的取值范圍是 東城區：(6)已知，那么在下列不等式中，不成立的是(A)(B)(C)(D)(8)已知三角形，那么“”是“三角形為銳角三角形”的(A)充分而不必要條件 (B) 必要而不充分條件(C)充分必要條(D)既不充分也不必要條件 (11)已知向量，若與共線，則實數.豐臺區：2．已知向量，滿足，則（A）（B）（C）（D）6．“”是“”成立的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件12.若，則函數的最小值為，此時．朝陽區：（4）如圖，在中，點，滿足，．若，則（A）（B）（C）（第4題圖）（D）（第4題圖）石景山：11.已知向量，，則__________．13.能夠說明“設是任意非零實數，若“，則”是假命題的一組整數的值依次為______________．參考答案函數與導數D（10）B（15）①②（19）解：（Ⅰ）①當時，，則．所以又，所以曲線在點處的切線方程為②令，得.0↘極小值↗此時，隨的變化如下：可知，函數的最小值為1.（Ⅱ）由題意可知，.令，則．由（Ⅰ）中可知，故．因為，則．所以函數在區間上單調遞增．因為,又因為，所以有唯一的一個零點.即函數與有且只有一個交點.C10.B19．（本小題滿分14分）解:（Ⅰ）由題意，得，………………2分則，………………4分即，解得.………………6分（Ⅱ），其中.………………7分令，得，或.………………8分由導函數在區間上存在零點，得，即.……9分隨著變化，與的變化情況如下表所示： 0↘極小值↗所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以在上存在最小值.………………11分設，.則，.……12分所以.由，得，，則.所以在區間上單調遞減.所以，即故當時，.………………14分（2）B（10）C（15）=3\*GB3③④(20)（本小題15分）解：（Ⅰ）當時，，所以.又因為，所以切線方程為，即.…………4分（Ⅱ），設，當時,易證在單調遞增，不合題意.當時，令，得，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以在處取得極大值.依題意，函數有兩個零點，則即，解得.又由于，，，由得實數的取值范圍為時，有兩個極值點.…………13分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當時，，所以在上單調遞減，在區間上的最小值為.………15分C(10)A19.（本小題共15分）解：（Ⅰ）因為，所以.由題知，解得.…………4分（Ⅱ）當時，，所以.當時，，在區間上單調遞減；當時，，在區間上單調遞增；所以是在區間上的最小值.所以.…………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，.若，則當時，，在區間上單調遞增，此時無極值.若，令，則.因為當時，，所以在上單調遞增.因為，而，所以存在，使得.和的情況如下：因此，當時，有極小值.綜上，的取值范圍是.…………15分（2）D（9）C（15）①②（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）因為，所以，，．所以曲線在點處的切線的方程為．（Ⅱ）函數有且僅有兩個零點．理由如下：的定義域為．因為，所以在和上均單調遞增．因為，，所以在上有唯一零點．因為，，所以在上有唯一零點．綜上，有且僅有兩個零點．（Ⅲ）曲線在點處的切線方程為，即．設曲線在點處的切線斜率為，則，，，即切點為．所以曲線在點處的切線方程為，即．因為是的一個零點，所以．所以．所以這兩條切線重合．所以結論成立．…………15分(3)D(9)C20.（本小題14分）.解：（Ⅰ）令…………1分所以令，解得.…………3分當變化時，的變化情況如下表：–0+減極小值增…………5分所以在的最小值為……6分令解得.所以當時，恒成立，即恒成立.………7分（Ⅱ）可作出2條切線.…………8分理由如下：當時，.設過點的直線與相切于點，…………9分則即整理得…………10分令，則在上的零點個數與切點的個數一一對應.，令解得.…………11分當變化時，的變化情況如下表：–0+減極小值增所以在上單調遞減，在上單調遞增.且…………13分所以在和上各有一個零點，即有兩個不同的解.所以過點可作出的2條切線.…………14分解析幾何(3)(11)（20）解：（Ⅰ）由題解得所以橢圓方程為.（=2\*ROMANII）解法1證明：設直線方程為，直線方程為由解得點.由得，則.所以，.即..于是直線的方程為，直線的方程為.由解得點.于是，所以軸.設中點為，則點的縱坐標為.故中點在定直線上.從上邊可以看出點在的垂直平分線上，所以，所以△為等腰三角形.解法2證明：設則.直線方程為，直線方程為.由解得點.直線方程為，直線方程為.由解得點..于是，所以軸..故中點在定直線上.從上邊可以看出點在的垂直平分線上，所以，所以△為等腰三角形.A13．20．（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）由題意，得，，則.………………2分根據橢圓的對稱性，知四邊形是矩形.設，，，，將代入橢圓方程得.………………3分所以四邊形的面積.………………5分（Ⅱ）設，，直線，………………6分聯立消去，得，……7分則，，.………………8分所以………………9分.同理，得.由四邊形為平行四邊形，得，即得.由題意知，所以，即.………………11分（Ⅲ）結論：四邊形不可能為矩形.………………12分由（Ⅱ）知兩點關于原點對稱.根據橢圓的對稱性，可得兩點關于原點對稱，故的坐標為.由題意，得，.………………13分于是，.所以不可能垂直于.所以四邊形不能為矩形.………………15分D（9）C（13）(19)（本小題14分）解：（Ⅰ）因為，所以.因為四邊形為正方形，且面積為,所以，.所以，.所以橢圓.…………4分（Ⅱ）設平行直線，，不妨設直線與交于，由，得，化簡得：，其中，即.所以，，由橢圓的對稱性和菱形的中心對稱性，可知，所以，，，，所以.所以當且僅當時，的最大值為.此時四邊形周長最大值為.…………14分(4)B(8)D(15)20．（本小題共14分）解：（Ⅰ）由題意解得.所以橢圓的方程為.…………5分（Ⅱ)假設存在點使得.設，因為,所以.則.即，所以.因為直線交橢圓于兩點，則兩點關于軸對稱.設，因為，則直線的方程為：.令，得.直線的方程為：.令，得.因為，所以.又因為點在橢圓上，所以.所以.即.所以存在點使得成立.…………14分B（7）C（19）（本小題14分）解：（Ⅰ）因為圓過點，所以圓的方程為：.因為過點且斜率為的直線方程為，又因為過點，所以.因為直線與橢圓相交的另一個交點坐標為，所以，解得.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）直線與橢圓相切.理由如下：設圓上動點，所以.依題意，設直線：.由得.因為直線與橢圓相切，所以.所以.所以.因為，所以.所以.設直線：，由得.則.所以直線與橢圓相切.………14分(4)A(14)319.（本小題15分）解：（Ⅰ）由已知，，…………2分又，解得…………4分所以橢圓方程為.…………5分（Ⅱ）設直線的方程為聯立消去得，不妨設……7分則，因為為線段的中點所以，………8分所以…………9分所以為定值.…………10分（Ⅲ）若四邊形為平行四邊形,則…………12分所以…………13分因為點在橢圓上，所以……14分解得即所以當四邊形為平行四邊形時，直線的斜率為.………15分立體幾何：(8)C（16）解：（Ⅰ）因為平面，平面所以.在△中，,,,所以.所以.因為,平面，所以平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,,如圖,以為原點建立空間直角坐標系.則，，.，.設平面的法向量為，則即令則，,所以.又因為平面的法向量為，所以.由題知二面角為銳角，所以其大小為.D16．（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）因為在底面中，，所以，即.………………2因為平面，平面， 所以，………………4又因為，平面，所以平面.………………6（Ⅱ）由（Ⅰ），得兩兩垂直，故分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系，………………7在底面中，由題意，得.則，，，，，所以，，，………………8設平面的法向量，由，，得令，得.………………11分設直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.………………14(5)A(16)（本小題14分）解：（Ⅰ）如圖，因為四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．…………6分（Ⅱ）取為坐標原點，過點的平行線為軸，依題意建立如圖所示的空間直角坐標系．由題意得，，，，．所以，，．設平面的法向量為，則即令，則，．所以．因為為平行四邊形，且，所以．因為面，所以．又因為，所以面．所以平面的法向量為，所以，由題意可知二面角的平面角為鈍角，所以二面角余弦值的大小為.(7)C13．=1\*GB3①=4\*GB3④（或=3\*GB3③=6\*GB3⑥）17.（本小題共14分）證明：（Ⅰ）因為，平面，平面，所以平面.…………3分