3第二章直線和圓的方程新（定義，文化）高觀點必刷必過題1．（2022·全國·高三專題練習）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【答案】D【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點，，圓，在圓上存在點滿足，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】設，因為點，，，所以即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因為在圓上存在點滿足，所以圓與圓有公共點，所以，整理可得：，解得：，所以實數的取值范圍是，故選：D.3．（2022·全國·高三專題練習（文））阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】設，令，則，由題知圓是關于點A、C的阿波羅尼斯圓，且，設點，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即，，點，當點M位于圖中的位置時，的值最大，最大為.故選：B.4．（2022·全國·高二課時練習）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，根據上述觀點，可得的最小值為（）A．B．C．4D．8【答案】B【詳解】表示點到點和的距離之和，如圖所示：點是關于軸的對稱點，故最小值為此時，取故選：5．（2022·全國·高三專題練習）我國魏晉時期的數學家劉徽創立了割圓術，也就是用內接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內接正多邊形邊數無限增加時，其周長就越逼近圓周長這種用極限思想解決數學問題的方法是數學史上的一項重大成就，現作出圓的一個內接正八邊形，使該正八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為A．B．C．D．【答案】C詳解：如圖所示可知，所以直線AB，BC，CD的方程分別為：整理為一般式即：分別對應題中的ABD選項.本題選擇C選項.6．（2022·江西·貴溪市第一中學高二期末（理））若函數是定義域和值域均為的單調遞增函數，我們稱曲線為洛倫茲曲線，它在經濟學上用來描述一個國家的家庭收入分布情況．如圖，設曲線與直線所圍成的區域面積為A，曲線與直線，x軸圍成的區域面積為B，定義基尼系數，基尼系數可以衡量一個國家家庭收入分布不平均的程度．若某個國家的洛倫茲曲線為，則該國家的基尼系數為（）．A．B．C．D．【答案】D【詳解】由，可得（），所以洛倫茲曲線是圓心為，半徑為1的圓周，所以，，所以，故選：D7．（2022·河北衡水中學模擬預測）古希臘亞歷山大時期最后一位重要的幾何學家帕普斯（，公元3世紀末）在其代表作《數學匯編》中研究了“三線軌跡”問題：即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數的動點軌跡為圓錐曲線.今有平面內三條給定的直線，，，且，均與垂直.若動點M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，則動點M在直線之間的軌跡是（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線【答案】A【詳解】因為在平面內三條給定的直線，，，且，均與垂直，所以，平行，又因為動點M到的距離的乘積與到的距離的平方相等，記為，直線為，為，設，且動點M在直線之間，所以M到的距離為，M到的距離為，M到的距離為，所以，若，則；若，則，所以，即，故動點M的軌跡為圓.故選：A.8．（2022·福建·漳州三中高一期中）魏晉時期，我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.割圓術可以視為將一個圓內接正邊形等分成個等腰三角形（如圖所示），當變得很大時，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，可得到的近似值為（）（取近似值3.14）A．B．C．D．【答案】B【詳解】當時,每個等腰三角形的頂角為,則其面積為,又因為等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,所以,故選：B9．（2022·四川省開江中學高三開學考試（理））《九章算術》是人類科學史上應用數學的最早巔峰，是一部問題集，全書分為九章，共收有246個問題，每個問題都有問、答、術三部分組成，內容涉及算術、代數、幾何等諸多領域，并與實際生活緊密相連，充分體現了中國人的數學觀和生活觀.書中第九卷勾股部分記錄了這么一個問題：問：今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？術曰：半鋸道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材徑.如圖，術曰所給出的求解公式為：，則答曰（）A．二尺六寸B．二尺五寸C．一尺三寸D．一尺二寸【答案】A【詳解】由題意可知?，“深一寸”是指為一寸，“鋸道長一尺”是指為一尺，一尺為十寸，所以為十寸，故為26（寸），即二尺六寸；故選：A.10．（多選）（2022·海南中學高三階段練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現；平面內到兩個定點A、B的距離之比為定值（且）的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，，.點P滿足，設點P所構成的曲線為C，下列結論正確的是（）A．C的方程為B．在C上存在點D，使得D到點（1，1）的距離為10C．在C上存在點M，使得D．C上的點到直線的最大距離為9【答案】AD【詳解】解：由題意可設點，由，，，得，化簡得，即，故A正確；點（1，1）到圓上的點的最大距離，故不存在點D符合題意，故B錯誤.設，由，得，又，聯立方程消去得，解得無解，故C錯誤；C的圓心（-4，0）到直線的距離為，且曲線C的半徑為4，則C上的點到直線的最大距離，故D正確；故選：AD.11．（多選）（2022·全國·高三專題練習）“出租車幾何”或“曼哈頓距離”（ManhattanDistance）是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創詞匯，是種被使用在幾何度量空間的幾何學用語．在平面直角坐標系內，對于任意兩點、，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則下列說法正確的是（）A．若點為線段上任意一點，則為定值B．對于平面上任意一點，若，則動點的軌跡長度為C．對于平面上任意三點、、，都有D．若、為橢圓上的兩個動點，則最大值為【答案】AC【詳解】對于A選項，設點為線段上任意一點，則，A對；對于B選項，設點，則，當，時，則；當，時，則；當，時，則；當，時，則.作出點的軌跡如下圖所示：由圖可知，點的軌跡是邊長為的正方形，故動點的軌跡長度為，B錯；對于C選項，設點、、，由絕對值三角不等式可得，同理可得，所以，，即，C對；對于D選項，設點、，不妨設，，則，其中為銳角，且，取，，等號成立，D錯.故選：AC.12．（2022·福建福州·高二期末）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為___________．【答案】##【詳解】設點關于直線的對稱點，則的中點為，,故解得，由知軍營所在區域中心為，要使從點到軍營總路程最短，即為點到軍營最短的距離為，“將軍飲馬”的最短總路程為，故答案為：13．（2022·山東臨沂·三模）數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點，則其歐拉線方程為______．【答案】【詳解】設的重心為，垂心為由重心坐標公式得，所以由題，的邊上的高線所在直線方程為，直線，，所以的邊上的高線所在直線方程為所以所以歐拉線的方程為，即.故答案為：14．（2022·全國·高三專題練習（文））瑞士數學家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，，，則歐拉線的方程為______．【答案】【詳解】因的頂點，，，則的重心，顯然的外心在線段AC中垂線上，設，由得：，解得：，即點，直線，化簡整理得：，所以歐拉線的方程為.故答案為：15．（2022·江蘇·高二專題練習）數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決.例如，與相關的代數問題，可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題．結合上述觀點，函數，的值域為______.【答案】【詳解】如圖所示：設單位圓上的一點為，點，，則表示直線的斜率，因為故當與重合時，的斜率為當與重合時，的斜率最大值為所以的值域為．故答案為：16．（2022·全國·高二課時練習）德國數學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點A，B是∠MON的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的一個動點，當C在何處時，∠ACB最大？問題的答案是：當且僅當的外接圓與OM邊相切于點C時，∠ACB最大．人們稱這一命題為米勒定理，已知點D，E的坐標分別是（0，1），（0，3），F是x軸正半軸上的一動點，當∠DFE最大時，點F的橫坐標為______．【答案】【詳解】因為點D，E是y軸正半軸上的兩個定點，點F是x軸正半軸上的一個動點，根據米勒定理可知，當的外接圓與x軸相切時，∠DFE最大，易知，弦DE的垂直平分線必過的外接圓圓心，所以弦DE中點G的縱坐標，即為外接圓半徑的大小，即r＝2．設的外接圓的圓心為（a，2），其中a＞0，則，即，解得，所以△DEF的外接圓的方程為，令y＝0，可得，即點F的橫坐標為．故答案為：.17．（2022·全國·高三專題練習）斐波那契螺旋線被譽為自然界最完美的“黃金螺旋線”，它的畫法是：以斐波那契數：1，1，2，3，5，8，13，…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．如圖為該螺旋線在邊長為1，1，2，3，5，8的正方形的中的部分，建立平面直角坐標系（規定小方格的邊長為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為______．【答案】【詳解】根據題意，接下來的一段圓弧所在圓的半徑，其圓心為，（根據題中圖象規律發現），則其標準方程為．故答案為：.18．（2022·云南·高三階段練習）大約在2000多年前，我國的墨子給出了圓的概念“一中同長也”，意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等．這個定義比希臘數學家歐幾里得給圓下定義要早100多年．已知直角坐標平面內有一點和一動點滿足，若過點的直線將動點的軌跡分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率__________．【答案】【詳解】依題意可知，動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即.因為，故點在內.當劣弧所對的圓心角最小時，.因為直線的斜率，所以所求直線的斜率.故答案為：.19．（2022·河北廊坊·高三開學考試）“康威圓定理”是英國數學家約翰·威廉引以為豪的研究成果之一，定理的內容如下：如圖，的三條邊長分別為，，．延長線段至點，使得，延長線段至點，使得，以此類推得到點，，，，那么這六個點共圓，這個圓稱為康威圓．已知，，，則由生成的康威圓的半徑為______．【答案】【詳解】解：因為，，所以康威圓的圓心在的平分線上，同理可知康威圓的圓心在的平分線上，即康威圓的圓心為的內心．因為，，，滿足，所以，所以的內切圓的半徑，所以，康威圓的半徑．故答案為：20．（2022·全國·高二課時練習）規定：在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心的位置，球是指該球的球心點．兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上運動，目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時，母球球心所指向目標球球心的方向．所有的球都簡化為平面上半徑為1的圓，且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動，在桌面上建立平面直角坐標系，如圖，設母球的位置為（0，0），目標球的位置為，要使目標球向處運動，則母球的球心運動的直線方程為______．【答案】【詳解】點，所在直線的方程為，如圖所示可知，兩球碰撞時，球的球心在直線上，且在第一象限，設，兩球碰撞時，球的球心坐標為，此時，則，解得，即，B兩球碰撞時，球的球心坐標所以母球的球心運動的直線方程為，即．故答案為：21．（2022·湖北·高二期末）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數學問