第1頁/共1頁2023年普通高等學校招生全國統一考試·仿真模擬卷數學（四）注意事項：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知復數，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據復數代數形式的乘法運算化簡復數，再根據復數的幾何意義判斷即可.【詳解】解：因為，所以，所以在復平面內對應的點的坐標為位于第三象限.故選：C2.已知全集，集合，則A=（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出集合B，由補集的定義即可得出答案.【詳解】因為，A=.故選：D.3.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據圓錐與圓柱的體積公式，可得答案.【詳解】已知底面圓的半徑，由，則，故該陀螺的體積.故選：D.4.已知一組數據：的平均數是4，方差是2，則由和11這四個數據組成的新數據組的方差是（）A.27 B. C.12 D.11【答案】B【解析】【分析】根據方差和平均數的計算及可求解.【詳解】因為一組數據，，的平均數是4，方差是2，所以，所以，所以，11的平均數為，所以，11的方差為故選：B5.若非零向量滿足，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，根據可得,代入化簡求解夾角余弦值即可.【詳解】設與的夾角為，因為，所以，..故選：D.6.已知圓，圓，則同時與圓和圓相切的直線有（）A.4條 B.3條 C.2條 D.0條【答案】B【解析】【分析】根據圓的方程，明確圓心與半徑，進而確定兩圓的位置關系，可得答案.【詳解】由圓，則圓心，半徑；由圓，整理可得，則圓心，半徑；由，則兩圓外切，同時與兩圓相切的直線有3條.故選：B.7.已知函數的部分圖象如圖所示，則函數在區間上的零點個數為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】求出周期，方法1：畫圖分析零點個數；方法2：求的根解不等式即可.【詳解】由題意知，，解得：，，方法1：∴作出函數圖象如圖所示，∴在區間上的零點個數為5.方法2：∴，解得：，∴，，解得：，，∴，∴在區間上的零點個數共有5個.故選：B.8.已知橢圓的左?右焦點分別為，點在橢圓上，若離心率，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知，結合橢圓的定義解得，再由求解.【詳解】因為，所以，由橢圓的定義得：，解得，因為，所以，兩邊同除以a得，解得，因為，所以，所以該離心率的取值范圍是故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.若，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據題意可得：，然后利用正切函數的性質即可求解.【詳解】因為，則，所以，解得：，當時，；當時，；當時，；故選：.10.某校10月份舉行校運動會，甲?乙?丙三位同學計劃從長跑，跳繩，跳遠中任選一項參加，每人選擇各項目的概率均為，且每人選擇相互獨立，則（）A.三人都選擇長跑的概率為B.三人都不選擇長跑的概率為C.至少有兩人選擇跳繩的概率為D.在至少有兩人選擇跳遠的前提下，丙同學選擇跳遠的概率為【答案】AD【解析】【分析】根據相互獨立事件概率計算公式計算即可.【詳解】由已知三人選擇長跑概率為，故A正確.三人都不選擇長跑的概率為，故B錯誤.至少有兩人選擇跳繩的概率為，故C錯誤.記至少有兩人選擇跳遠為事件A，所以.記丙同學選擇跳遠為事件B，所以.所以在至少有兩人選擇跳遠的前提下，丙同學選擇跳遠的概率為，故D正確.故選：AD11.設函數，若恒成立，則滿足條件的正整數可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】【分析】根據題意可得，利用導數結合分類討論解決恒成立問題.【詳解】若恒成立，則恒成立，構建，則，∵，故，則有：當，即時，則當時恒成立，故在上單調遞增，則，即符合題意，故滿足條件的正整數為1或2；當，即時，令，則，故在上單調遞減，在上單調遞增，則，構建，則當時恒成立，故在上單調遞減，則，∵，故滿足的整數；綜上所述：符合條件的整數為1或2或3，A、B、C正確，D錯誤.故選：ABC12.已知三棱錐中，平面是邊上一動點，則（）A.點到平面的距離為2B.直線與所成角的余弦值為C.若是中點，則平面平面D.直線與平面所成的最大角的正切值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用線面垂直判定定理，明確點到平面的距離，利用三角形的性質，可得答案；對于B，建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量，利用向量夾角公式，可得答案；對于C，利用等腰三角形的性質，結合面面垂直判定定理，可得答案；對于D，利用線面垂直性質定理，結合直角三角形的性質以及銳角正切的定義，可得答案.【詳解】對于A，在平面內，過作，如下圖所示：平面，且平面，，，，平面，平面，則到平面的距離為，，，，在中，，故A錯誤；對于B，在平面內，過作，且，易知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系：則，，，，得，，，，，則，故B正確；對于C，作圖如下：在中，，為的中點，則，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面平面，故C正確，對于D，作圖如下：平面，平面，，則在中，，當取得最小值時，取得最大值，當為的中點時，由C可知，，取得最小值為，則取得最大值為，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數為奇函數，則實數的取值為__________.【答案】1【解析】【分析】由奇函數的定義求解即可.【詳解】函數為奇函數，必有，則，于是得恒成立，即，解得：.故答案為：1.14.已知拋物線的焦點為，拋物線上一點，若，則的面積為______________.【答案】【解析】【分析】先根據拋物線定義得P點坐標，再根據三角形面積公式求解.【詳解】因為，所以，因此的面積為【點睛】本題考查拋物線定義應用，考查基本分析轉化與求解能力，屬基礎題.15.由數字組成沒有重復數字的三位數，則能被5整除的三位數共有__________個.【答案】【解析】【分析】能被整除的三位數末位數字是或，分成末位數字是5和末位數字是0兩種情況討論.【詳解】能被整除的三位數說明末尾數字是或當末尾數字是時，百位數字除了有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據分步乘法原理一共有種方法；當末尾數字是時，百位數字有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據分步乘法原理一共有種方法；則一共有種故答案為：16.已知，函數在上的最小值為2，則實數__________.【答案】1【解析】【分析】利用導數分類為與討論，得出在上的最小值，由最小值為2求解a的值即可得出答案.【詳解】，，當時，即時，則在上恒成立，則在上單調遞增，在上的最小值為，解得，當時，即時，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，在上的最小值為，舍去，綜上所述：，故答案為：1.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京市和張家口市聯合舉行，此項賽事大大激發了國人冰雪運動的熱情.某滑雪場在冬奧會期間開業，下表統計了該滑雪場開業第天的滑雪人數（單位：百人）的數據.天數代碼12345滑雪人數（百人）911142620經過測算，若一天中滑雪人數超過3500人時，當天滑雪場可實現盈利，請建立關于的回歸方程，并預測該滑雪場開業的第幾天開始盈利.參考公式：線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.【答案】；.【解析】【分析】根據表中數據及平均數公式求出，從而求出回歸方程，然后再根據一天中滑雪人數超過3500人時，當天滑雪場可實現盈利即可求解.【詳解】由題意可知，，，所以，所以，，所以關于的回歸方程為.因為天中滑雪人數超過3500人時，當天滑雪場可實現盈利，即，解得,所以根據回歸方程預測，該該滑雪場開業的第天開始盈利.18.如圖，四邊形中，的面積為.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用面積公式、余弦定理運算求解；（2）在中，利用正弦定理運算求解，注意大邊對大角的運用.小問1詳解】在中，由的面積，可得，由余弦定理，即.【小問2詳解】在中，由正弦定理，可得，∵，則，故.19.設數列的前項和為.（1）求數列的通項公式；（2）若數列的前項和，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當時，構造，與條件中的式子，兩式相減，得，轉化為構造等比數列求通項公式；（2）由（1）可知，利用裂項相消求和法求解.【小問1詳解】因為，所以當時，，解得．當時，，則，整理得，即．所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以．所以.【小問2詳解】令，數列的前項和，，則，則，則.的值為.20.如圖，正方體的棱長為4，點、分別是、的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明，，即可得證；（2）利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】證明：如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，，所以，，所以，，又，平面，所以平面.【小問2詳解】解：由（1）可知可以為平面的法向量，又，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.21.已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線右頂點為，直線與雙曲線相交于兩點不是左右頂點），且.求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.【答案】（1）（2）證明過程見解析，定點坐標為【解析】【分析】（1）由漸近線方程求出，根據焦點到漸近線距離列出方程，求出，從而求出，得到雙曲線方程；（2）與聯立，求出兩根之和，兩根之積，由列出方程，求出或，舍去不合要求的情況，求出直線過定點，定點坐標為.【小問1詳解】因為漸近線方程為，所以，焦點坐標到漸近線的距離為，解得：，因為，解得：，所以雙曲線的方程為；【小問2詳解】由題意得：，與聯立得：，設，則，，，化簡得：，解得：或，當時，恒過點，當時，恒過點，此時中有一點與重合，不合題意，舍去，綜上：直線過定點，定點為，【點睛】處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設為），（2）利用條件找到與過定點曲線的聯系，得到有關與的等式，（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關于與的等式進行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數關系，可消去變為常數.22.已知函數.（1）求函數的圖象在處的切線方程；（2）判斷函數的零點個數，并說明理由.【答案】（1）（2）有兩個零點，理由見解析【解析】【分析】（1）根據導數的幾何意義，結合導數的運算進行求解即可；（2）令，轉化為與圖象交點的個數，利用導數得到單調性，結合兩個函數的圖象判斷可得答案.【小問1詳解】，所以切線斜率為，，所以切點坐標為，函數的圖象在處的切線方程為；【小問2詳解】有兩個零點，理由如下，令，可得，判斷函數的零點個數即判斷與圖象交點的