黑龍江省哈爾濱工大附中2021-2022學年九年級上學期期中數學練習試卷（五四學制）考試注意事項：1、考生須誠信考試,遵守考場規則和考試紀律，并自覺服從監考教師和其他考試工作人員

管理；

2、監考教師發卷后，在試卷指定的地方填寫本人準考證號、姓名等信息；考試中途考生不準以任何理由離開考場；

3、考生答卷用筆必須使用同一規格同一顏色的筆作答(作圖可使用鉛筆)，不準用規定以外的筆答卷，不準在答卷上作任何標記?？忌鷷鴮懺诖痤}卡規定區域外的答案無效。4、考試開始信號發出后,考生方可開始作答。一、選擇題（每題3分，共計30分）1．下列式子的結果是負數的是（）A．﹣|﹣2| B．﹣（﹣2） C．（﹣2）2 D．（﹣2）﹣22．下列運算正確的是（）A．a?a2＝a3 B．3a+2a2＝5a2 C．2﹣3＝﹣8 D．＝±33．下面圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．下列幾何體中，同一個幾何體的主視圖與俯視圖不同的是（）A． B． C． D．5．對于雙曲線y＝，當x＞0時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍為（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜16．王英同學從A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再從B地向正南方向走200m到C地，此時王英同學離A地（）A．m B．100m C．150m D．m7．把拋物線y＝3x2向右平移2個單位，然后向下平移6個單位，則平移后拋物線的解析式為（）A．y＝3（x+2）2+6 B．y＝3（x﹣2）2+6 C．y＝3（x+2）2﹣6 D．y＝3（x﹣2）2﹣68．如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點，連接BE、AF，它們相交于點G，延長BE交CD的延長線于點H，下列結論錯誤的是（）A． B． C． D．9．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按圖中所示方法，將△BCD沿BD折疊，使點C落在邊AB上的點C′處，則折痕BD的長為（）A．3 B．3 C．3 D．510．在一條筆直的公路上，依次有A、B、C三地．小明、小亮從A地駕車同時出發勻速運動．小明從A地出發以2千米/分的速度到達B地后立即返回A地，到達A地后小明原地休息，小亮從A地出發途經B地前往終點C地．小明與小亮的距離s（單位：千米）和小亮所用的時間t（單位：分鐘）之間的函數關系如圖所示．則出發后小明從B地返回與小亮相遇時小亮距C地的距離為（）A．5km B．6km C．km D．km二、填空題（每題3分，共計30分）11．數字0.0000245用科學記數法表示為．12．在函數y＝中，自變量x的取值范圍是．13．把多項式16mx2﹣4m分解因式的結果是．14．不等式組的解集為．15．某扇形的圓心角為45°，面積為18π，該扇形的弧長為．16．拋物線y＝mx2﹣2（m﹣1）x+（m﹣3）與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是．17．某校九年六班打算從語文、數學、英語、物理、化學五個課代表中隨機抽取兩人，參加學校組織的座談會，則恰好抽到語文和數學兩個課代表的概率為．18．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點在⊙O上，∠BCD＝27°，則∠AOD的度數為．19．△ABC是等腰三角形，AC為一腰，∠A＝30°，CD⊥AB于點D，若AB＝6，則高CD的長為．20．在△ABC中，CD平分∠ACB，tan∠ACB＝，AD＝2，BD＝6，則CD＝．三、解答題（其中21-22題各7分，23-24題各8分，25-27題各10分）21．（7分）先化簡，再求代數式的值．其中a＝tan60°﹣2°，b＝4cos60°．22．（7分）如圖，網格中的每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點均在格點上．（1）將△ABC繞著點A順時針旋轉90°得到將△ADE（B的對應點是D，C的對應點是E），畫出△ADE；（2）連接BE，點F在格點上，滿足：BF＝BE，△BEF的面積為，畫出△BEF，連接DF并直接寫出線段DF的長．23．（8分）某調查小組采用簡單隨機抽樣方法，對某市部分中小學生一天中陽光體育運動時間進行了抽樣調查，并把所得數據整理后繪制成如下的統計圖：（1）該調查小組抽取的樣本容量是多少？（2）求樣本學生中陽光體育運動時間為1.5小時的人數，并補全占頻數分布直方圖；（3）請估計該市中小學生一天中陽光體育運動的平均時間．24．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，連接EF．（1）如圖1，求證：四邊形AEFG是菱形；（2）如圖2，若E為BG的中點，過點E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中是CM長倍的所有線段．25．榮慶公司計劃從商店購買同一品牌的臺燈和手電筒，已知購買一個臺燈比購買一個手電筒多用20元，若用400元購買臺燈和用160元購買手電筒，則購買臺燈的個數是購買手電筒個數的一半．（1）求購買該品牌一個臺燈、一個手電筒各需要多少元？（2）經商談，商店給予榮慶公司購買一個該品牌臺燈贈送一個該品牌手電筒的優惠，如果榮慶公司需要手電筒的個數是臺燈個數的2倍還多8個，且該公司購買臺燈和手電筒的總費用不超過670元，那么榮慶公司最多可購買多少個該品牌臺燈？26．如圖1，⊙O為△ABC的外接圓，AB＝AC，過點B作BD⊥AC，垂足為點H，交⊙O于點D，連接AD．（1）求證：∠CAB＝2∠CAD；（2）如圖2，在劣弧AB上取一點E，使弧AD＝弧AE，連接CE交BD于點F，交AB于點G，求證：點G為線段EF的中點；（3）如圖3，在（2）的條件下，過圓心O作OM⊥AB于點M，若OM：FG＝5：6，AB＝25，求線段AD的長．27．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2+bx+8與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C，點D在拋物線上，且點D的坐標為（﹣2，4），CO：BO＝4：3．（1）求拋物線的解析式；（2）P為第一象限拋物線上一點，連接PC、PD，設點P的橫坐標為t，△PCD的面積為S，求S與t之間的函數關系式；（3）在（2）的條件下，作PE⊥x軸于點E，點F在線段OC上，BE＝OF，線段BF和CE交于點G，∠CGF＝45°，求點P的坐標，并求此時△PCD的面積．

參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共計30分）1．下列式子的結果是負數的是（）A．﹣|﹣2| B．﹣（﹣2） C．（﹣2）2 D．（﹣2）﹣2【分析】根據絕對值的性質、相反數、有理數的乘方以及負整數指數冪的概念分別對每一項進行分析，即可得出答案．解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故本選項符合題意；B、﹣（﹣2）＝2，故本選項不符合題意；C、（﹣2）2＝4，故本選項不符合題意；D、（﹣2）﹣2＝，故本選項不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查了絕對值、相反數、有理數的乘方以及負整數指數冪的概念，熟練進行計算是解答本題的關鍵．2．下列運算正確的是（）A．a?a2＝a3 B．3a+2a2＝5a2 C．2﹣3＝﹣8 D．＝±3【分析】分別利用同底數冪的乘法運算法則以及算術平方根和合并同類項法則以及負整數指數冪的性質分別化簡求出答案．解：A、a?a2＝a3，正確；B、3a+2a2無法計算，故此選項錯誤；C、2﹣3＝，故此選項錯誤；D、＝3，故此選項錯誤；故選：A．【點評】此題主要考查了同底數冪的乘法運算以及算術平方根和合并同類項以及負整數指數冪等知識，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．3．下面圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．解：A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項正確；B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；故選：A．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．4．下列幾何體中，同一個幾何體的主視圖與俯視圖不同的是（）A． B． C． D．【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、側面和上面看，所得到的圖形．解：A、圓柱的主視圖與俯視圖都是矩形，錯誤；B、正方體的主視圖與俯視圖都是正方形，錯誤；C、圓錐的主視圖是等腰三角形，而俯視圖是圓和圓心，正確；D、球體主視圖與俯視圖都是圓，錯誤；故選：C．【點評】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．5．對于雙曲線y＝，當x＞0時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍為（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＜0 D．m＜1【分析】根據反比例函數的單調性結合反比例函數的性質，即可得出反比例函數系數的正負，由此即可得出關于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結論．解：∵雙曲線y＝，當x＞0時，y隨x的增大而減小，∴1﹣m＞0，解得：m＜1．故選：D．【點評】本題考查了反比例函數的性質，解題的關鍵是找出1﹣m＞0．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據反比例函數的單調性結合反比例函數的性質，找出反比例函數系數k的正負是關鍵．6．王英同學從A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再從B地向正南方向走200m到C地，此時王英同學離A地（）A．m B．100m C．150m D．m【分析】根據三角函數分別求AD，BD的長，從而得到CD的長．再利用勾股定理求AC的長即可．解：AD＝AB?sin60°＝50；BD＝AB?cos60°＝50，∴CD＝150．∴AC＝＝100．故選：D．【點評】解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．7．把拋物線y＝3x2向右平移2個單位，然后向下平移6個單位，則平移后拋物線的解析式為（）A．y＝3（x+2）2+6 B．y＝3（x﹣2）2+6 C．y＝3（x+2）2﹣6 D．y＝3（x﹣2）2﹣6【分析】先根據二次函數的性質得到拋物線y＝3x2的頂點為（0，0），再利用點平移的規律得到點（0，0）平移后的對應點的坐標為（3，﹣2），然后根據頂點式寫出平移后拋物線的解析式．解：拋物線y＝3x2的頂點坐標為（0，0），把點（0，0）向右平移2個單位，再向下平移6個單位所得對應點的坐標為（2，﹣6），所以平移后拋物線的解析式為y＝3（x﹣2）2﹣6．故選：D．【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．8．如圖，在?ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點，連接BE、AF，它們相交于點G，延長BE交CD的延長線于點H，下列結論錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】由平行四邊形的性質得出AB∥CD，AD∥BC，證出△ABE∽△DHE，△ABG∽△FHG，，得出對應邊成比例，，即可得出結論．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△DHE，△ABG∽△FHG，，∴，，∴選項A、B、D正確，C錯誤；故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行四邊形的性質是解決問題的關鍵．9．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按圖中所示方法，將△BCD沿BD折疊，使點C落在邊AB上的點C′處，則折痕BD的長為（）A．3 B．3 C．3 D．5【分析】根據勾股定理易求AB＝10．根據折疊的性質有BC＝BC′，CD＝DC′，∠C＝∠AC′D＝90°．在△AC′D中，設DC′＝x，則AD＝8﹣x，AC′＝10﹣6＝4．根據勾股定理可求x．在△BCD中，運用勾股定理求BD．解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10．根據折疊的性質，BC＝BC′，CD＝DC′，∠C＝∠AC′D＝90°．∴AC′＝10﹣6＝4．在△AC′D中，設DC′＝x，則AD＝8﹣x，根據勾股定理得（8﹣x）2＝x2+42．解得x＝3．∴CD＝3．∴BD＝＝＝3．故選：C．【點評】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變．10．在一條筆直的公路上，依次有A、B、C三地．小明、小亮從A地駕車同時出發勻速運動．小明從A地出發以2千米/分的速度到達B地后立即返回A地，到達A地后小明原地休息，小亮從A地出發途經B地前往終點C地．小明與小亮的距離s（單位：千米）和小亮所用的時間t（單位：分鐘）之間的函數關系如圖所示．則出發后小明從B地返回與小亮相遇時小亮距C地的距離為（）A．5km B．6km C．km D．km【分析】根據題意和函數圖象可以求得小明的速度和小亮從A地到C地的時間，根據“路程＝速度×時間”，本題得以解決．解：由圖可知，小明到達B所用的時間為4分鐘；當小亮與小明相距8千米時，小明剛好返回A地，則此時小明行駛的總的時間為8分鐘，故小亮的速度為8÷8＝1千米/分，∴C地與A地的距離為：1×10＝10千米；∴小明和小亮相遇的時間為：8×2÷（1+2）＝分鐘，出發后小明從B地返回與小亮相遇時小亮距C地的距離為：10﹣1×（km）．故選：D．【點評】本題主要考查一次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．二、填空題（每題3分，共計30分）11．數字0.0000245用科學記數法表示為2.45×10﹣5．【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪，指數n由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．解：0.0000245＝2.45×10﹣5．故答案為：2.45×10﹣5．【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．12．在函數y＝中，自變量x的取值范圍是x≥5．【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．解：根據題意得：，解得：x≥5．故答案是：x≥5．【點評】本題考查了函數自變量的取值范圍，函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．13．把多項式16mx2﹣4m分解因式的結果是4m（2x﹣1）（2x+1）．【分析】直接提取公因式4m，進而利用平方差公式分解因式得出答案．解：16mx2﹣4m＝4m（4x2﹣1）＝4m（2x﹣1）（2x+1）．故答案為：4m（2x﹣1）（2x+1）．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用乘法公式是解題關鍵．14．不等式組的解集為x＜1．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．解：解不等式6﹣2x≥0，得：x≤3，解不等式2x＜x+1，得：x＜1，則不等式組的解集為x＜1，故答案為：x＜1．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．15．某扇形的圓心角為45°，面積為18π，該扇形的弧長為3π．【分析】根據扇形面積公式S＝，求得r，再由弧長公式l＝，計算即可．解：∵扇形的圓心角為45°，面積為18π，∴18π＝，∴r＝12，∵l＝，∴l＝＝3π，故答案為3π．【點評】本題考查了扇形的面積公式和弧長公式，解題的關鍵是掌握扇形面積公式S＝和弧長公式l＝．16．拋物線y＝mx2﹣2（m﹣1）x+（m﹣3）與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是m＞﹣1且m≠0．【分析】根據題意，可以列出關于m的不等式，從而可以求得m的取值范圍．解：∵拋物線y＝mx2﹣2（m﹣1）x+（m﹣3）與x軸有兩個交點，∴當mx2﹣2（m﹣1）x+（m﹣3＝0時，△＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m×（m﹣3）＞0，解得，m＞﹣1，又∵m≠0．∴m的取值范圍是m＞﹣1且m≠0．故答案是：m＞﹣1且m≠0．【點評】本題考查拋物與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，列出關于m的不等式．17．某校九年六班打算從語文、數學、英語、物理、化學五個課代表中隨機抽取兩人，參加學校組織的座談會，則恰好抽到語文和數學兩個課代表的概率為．【分析】依據隨機抽取兩人，可能的結果有共10種，其中恰好抽到語文和數學兩個課代表的有1種，即可得出恰好抽到語文和數學兩個課代表的概率．解：隨機抽取兩人，可能的結果有：語文、數學；語文、英語；語文、物理；語文、化學；數學、英語；數學、物理；數學、化學；英語、物理；英語、化學；物理、化學；共10種，其中，恰好抽到語文和數學兩個課代表的有1種，故恰好抽到語文和數學兩個課代表的概率為，故答案為：．【點評】本題主要考查了列表法與樹狀圖法，列舉法（樹形圖法）求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖．18．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點在⊙O上，∠BCD＝27°，則∠AOD的度數為126°．【分析】根據圓周角定理即可解決問題；解：∵∠BOD＝2∠BCD，∠BCD＝27°，∴∠BOD＝54°，∴∠AOD＝180°﹣54°＝126°，故答案為126°．【點評】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．19．△ABC是等腰三角形，AC為一腰，∠A＝30°，CD⊥AB于點D，若AB＝6，則高CD的長為3或．【分析】根據題意畫出兩種情況，①AB＝AC，根據含30°角的直角三角形性質求出即可；②AC＝BC，求出AD，根據含30°角的直角三角形性質和勾股定理得出AD＝CD，即可求出CD．解：分為兩種情況：①如圖1，當AB為另一腰時，∵AB＝6，∴AC＝AB＝6，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝3；②如圖2，當BC為另一腰時，∵AB＝6，CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，AD＝BD＝3，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴CD＝＝；故答案為：3或．【點評】本題考查了勾股定理和含30°角直角三角形性質的應用，能熟記含30°角的直角三角形性質是解此題的關鍵，用了分類討論思想．20．在△ABC中，CD平分∠ACB，tan∠ACB＝，AD＝2，BD＝6，則CD＝3．【分析】如圖，過點D作DM⊥CB于點M，DN⊥CA交CA的延長線于點N，過點A作AH⊥BC于H，首先證明BC：AC＝3：1：，設AC＝5k，BC＝5k，利用勾股定理求出k，再利用面積法求出DM，BM，CM，可得結論．解：如圖，過點D作DM⊥CB于點M，DN⊥CA交CA的延長線于點N，過點A作AH⊥BC于H，∵CD平分∠ACB，DM⊥CB，DN⊥CA，∴DM＝DN，∵＝＝，∴＝＝＝3，設AC＝5k，則CB＝15k，∵tan∠ACB＝＝，∴AH＝4k，CH＝3k，∴BH＝CB﹣CH＝15k﹣3k＝12k，在Rt△ABH中，AB2＝AH2+BH2，∴64＝16k2+144k2，∴k＝（負根已經舍棄），∴AC＝，AH＝，BC＝3，∵S△ACB＝?BC?AH＝?BC?DM+?AC?DN，∴DM＝＝，∴BM＝＝＝，∴CM＝CB﹣BM＝3﹣＝，∴CD＝＝＝3，故答案為：3．【點評】本題考查解直角三角形，三角函數的定義，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．三、解答題（其中21-22題各7分，23-24題各8分，25-27題各10分）21．（7分）先化簡，再求代數式的值．其中a＝tan60°﹣2°，b＝4cos60°．【分析】根據分式的混合運算法則把原式化簡，根據特殊角的三角函數值分別把a、b化簡，代入計算即可．解：原式＝[+]?＝[+]?＝[+]?＝?＝﹣，a＝tan60°﹣2sin45°＝﹣2×＝﹣2，b＝4cos60°＝4×＝2，∴原式＝﹣＝﹣．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，特殊角的三角函數值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．22．（7分）如圖，網格中的每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點均在格點上．（1）將△ABC繞著點A順時針旋轉90°得到將△ADE（B的對應點是D，C的對應點是E），畫出△ADE；（2）連接BE，點F在格點上，滿足：BF＝BE，△BEF的面積為，畫出△BEF，連接DF并直接寫出線段DF的長．【分析】（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出B、C的對應點D、E即可；（2）利用勾股定理計算出BE＝5，則BF＝5，先利用BF＝5得到格點F，再利用△BEF的面積為確定F點的位置，然后利用勾股定理計算出DF的長．解：（1）如圖，△ADE為所作；（2）如圖，△BEF為所作；DF＝＝5．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了勾股定理．23．（8分）某調查小組采用簡單隨機抽樣方法，對某市部分中小學生一天中陽光體育運動時間進行了抽樣調查，并把所得數據整理后繪制成如下的統計圖：（1）該調查小組抽取的樣本容量是多少？（2）求樣本學生中陽光體育運動時間為1.5小時的人數，并補全占頻數分布直方圖；（3）請估計該市中小學生一天中陽光體育運動的平均時間．【分析】（1）利用0.5小時的人數為：100人，所占比例為：20%，即可求出樣本容量；（2）利用樣本容量乘以1.5小時的百分數，即可求出1.5小時的人數，畫圖即可；（3）計算出該市中小學生一天中陽光體育運動的平均時間即可．解：（1）由題意可得：0.5小時的人數為：100人，所占比例為：20%，∴本次調查共抽樣了500名學生；（2）1.5小時的人數為：500×24%＝120（人）如圖所示：（3）根據題意得：，即該市中小學生一天中陽光體育運動的平均時間約1小時．【點評】此題主要考查了條形統計圖以及扇形統計圖的應用，根據統計圖得出正確信息是解題關鍵．24．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，連接EF．（1）如圖1，求證：四邊形AEFG是菱形；（2）如圖2，若E為BG的中點，過點E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中是CM長倍的所有線段．【分析】（1）先證明四邊形AEFG是平行四邊形，再證明AE＝AG即可．（2）先證明AB＝AG，再分別證明AB＝BF＝CF＝EM，CM＝AG即可．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，∴∠ADF＝∠GFC＝90°，∴AE∥GF，在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG，∴AG＝FG，∵∠FBG+∠BED＝90°，∵∠BED＝∠AEG，∴∠FBG+∠AEG＝90°，∵∠ABG+∠AGE＝90°，∵∠ABG＝∠FBG，∴∠AEG＝∠AGE，∴AE＝AG，∴AE＝FG，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∵AE＝AG∴四邊形AEFG是菱形．（2）解：∵四邊形AEFG是菱形，∴AE＝AG，∵BE＝EG，∠BAG＝90°，∴AE＝BE＝EG，∴△AEG是等邊三角形，∴∠AGE＝60°，在RT△ABG中，∵∠ABG＝30°，∴AB＝AG，∵∠C＝30°，∴BC＝2AB，∴BE＝GE，EF∥AC，EM∥BC，∴BF＝FC，CM＝GM，在RT△AEM中，∵∠AME＝∠C＝30°，∠GEM+∠GME＝60°，∴∠GEM＝∠GME＝30°，∴EG＝AG＝GM＝CM，∵EM∥FC，EF∥CM，∴四邊形EFCM是平行四邊形，∴AB＝BF＝CF＝EM＝CM，∴是CM長倍的所有線段有AB、BF、CF、EM．【點評】本題考查菱形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、直角三角形30度角的性質等知識，尋找全等三角形是解題的關鍵，必須熟練掌握特殊三角形邊角關系，屬于中考常考題型．25．榮慶公司計劃從商店購買同一品牌的臺燈和手電筒，已知購買一個臺燈比購買一個手電筒多用20元，若用400元購買臺燈和用160元購買手電筒，則購買臺燈的個數是購買手電筒個數的一半．（1）求購買該品牌一個臺燈、一個手電筒各需要多少元？（2）經商談，商店給予榮慶公司購買一個該品牌臺燈贈送一個該品牌手電筒的優惠，如果榮慶公司需要手電筒的個數是臺燈個數的2倍還多8個，且該公司購買臺燈和手電筒的總費用不超過670元，那么榮慶公司最多可購買多少個該品牌臺燈？【分析】（1）設購買該品牌一個手電筒需要x元，則購買一個臺燈需要（x+20）元．則根據等量關系：購買臺燈的個數是購買手電筒個數的一半，列出方程；（2）設公司購買臺燈的個數為a，則還需要購買手電筒的個數是（2a+8）個，則根據“該公司購買臺燈和手電筒的總費用不超過670元”列出不等式．解：（1）設購買該品牌一個手電筒需要x元，則購買一個臺燈需要（x+20）元．根據題意得＝×解得x＝5經檢驗，x＝5是原方程的解．所以x+20＝25．答：購買一個臺燈需要25元，購買一個手電筒需要5元；（2）設公司購買臺燈的個數為a，則還需要購買手電筒的個數是（2a+8﹣a）由題意得25a+5（2a+8﹣a）≤670解得a≤21∴榮慶公司最多可購買21個該品牌的臺燈．【點評】本題考查了一元一次不等式和分式方程的應用．解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量（不等量）關系．26．如圖1，⊙O為△ABC的外接圓，AB＝AC，過點B作BD⊥AC，垂足為點H，交⊙O于點D，連接AD．（1）求證：∠CAB＝2∠CAD；（2）如圖2，在劣弧AB上取一點E，使弧AD＝弧AE，連接CE交BD于點F，交AB于點G，求證：點G為線段EF的中點；（3）如圖3，在（2）的條件下，過圓心O作OM⊥AB于點M，若OM：FG＝5：6，AB＝25，求線段AD的長．【分析】（1）根據∠DAH＝∠C＝，∠DAC＝90°﹣∠ADH可得證；（2）連接AF，AE，可證△ACG≌△ABH，再證AHF≌△AGF，最后證AGF≌△AGE；（3）作射線AF，設OM＝5a，GF＝6a，可證得AF過點O，可證△BCG∽△FAG，可求得AG＝15，ABG＝10，根據OM∥CE，表示出CG＝，在Rt△BFG中，由勾股定理得a的值，從而求得cos∠MAO＝，進而求得AD．【解答】（1）證明：如圖1，∵BD⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ADB，∵＝，∴∠ADB＝∠C，∴∠CAD＝90°﹣∠C，∵AC＝AB，∴∠C＝∠B＝，∴∠CAD＝90°﹣，∴∠CAB＝2∠CAD；（2）證明：如圖2，連接AF，AE，∵＝，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AHB＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，∴∠ACE+∠BAC＝90°，∴∠AGC＝90°，∵AB＝AC，∴△ACG≌△ABH（AAS），∴AH＝AG，∵AF＝AF，∴△AHF≌△AGF（HL），∴∠HAF＝∠AFG＝，∵AB＝AC，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝，∴∠BAE＝∠CAD＝，∴∠FAG＝∠BAE，∵AG＝AG，∴△AGF≌△AGE（ASA），∴EG＝FG，∴G是EF的中點；（3）如圖3，作射線AF，設OM＝5a，GF＝6a，由（2）知：AF平分∠CAB，∴AF過點O，AF⊥BC，∵CG⊥AB，∴∠BCG＝∠GAF，∵CG⊥AB，∴∠AGF＝∠BGC＝90°，∴△BCG∽△FAG，∴＝，∵OM⊥AB，∴OM∥CE，AM＝BM＝AB＝，∴＝＝，∴AG＝AM＝＝15，∴BG＝AB﹣AG＝25﹣15＝10，∴＝，∴CG＝，∴BF＝CF＝CG﹣FG＝﹣6a＝，在Rt△BFG中，由勾股定理得，FG2+BG2＝BF2，∴（6a）2+102＝（）2，∴a＝，∴GF＝6a＝，OM＝5a＝，∴tan∠MAO＝＝＝，∴cos∠MAO＝，由（2）知：AH＝AG＝15，∠DAC＝∠MAO，在Rt△ADH中，AD＝＝＝．【點評】本題考查了圓的有關性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，銳角三角函數等知識，解決問題的關鍵是利用相似三角形求解相關線段的長，并根據勾