2022-2023學年廣東省梅州市大埔縣九年級第一學期期中數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分，每小題只有一個正確的選項）請將答題卡上對應題目所選的選項涂黑。1．已知一元二次方程x2﹣2x+1＝0，則它的二次項系數為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．菱形具有而平行四邊形不具有的性質是（）A．對角線互相垂直 B．兩組對角分別相等 C．對角線互相平分 D．兩組對邊分別平行3．若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，則＝（）A． B． C． D．4．若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一個根為x＝﹣1，則下列等式成立的是（）A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．﹣a﹣b+c＝0 D．﹣a+b+c＝05．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點，連結CD，若CD＝3，則AB＝（）A．5 B．6 C．7 D．86．若把方程x2﹣6x﹣4＝0的左邊配成完全平方的形式，則正確的變形是（）A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x﹣3）2＝9 D．（x+3）2＝57．已知＝＝＝且b+2d﹣f≠0，則的值為（）A． B． C． D．8．一個密閉不透明的盒子里有若干個白球，在不許將球倒出來數的情況下，為了估計白球數，小剛向其中放入了8個黑球，攪勻后從中隨意摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復這一過程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估計盒中大約有白球（）A．32個 B．36個 C．40個 D．42個9．某校辦廠生產的某種產品，今年產量為200件，計劃通過改革技術，使今后兩年的產量都比前一年增長一個相同的百分數，使得三年的總產量達到1400件，若設這個百分數為x，則可列方程為（）A．200+200（1+x）2＝1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400 C．200（1+x）2＝1400 D．200（1+x）+200（1+x）2＝140010．某同學用一等邊三角形木板制作一些相似的直角三角形．如圖，其方法是：過C點作CD1⊥AB于D1，再過D1作D1D2⊥CA于D2，再過D2作D2D3⊥AB于D3…，若△ABC的邊長為a，則CD1＝a，D1D2＝a，D2D3＝a，依此規律，則D5D6的長為（）A．a B．a C．a D．a二、填空題：本大題5小題，每小題3分，共15分.11．把一元二次方程（x+1）2＝2化為一般形式為．12．如圖，要使△ABC與△ADE相似，則需添加一個適當的條件是（只添一個即可）．13．如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；分別以點A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2．則OC的長為cm．14．如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝2．若AE＝6，則EC的值為．15．如圖將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，重疊部分是一個特殊四邊形，則這個特殊四邊形周長的最小值為．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題8分，共24分。16．解方程：x（x﹣4）＝x﹣4．17．隨著“新冠肺炎”疫情防控形勢日漸好轉，各地開始復工復學，某校復學后成立“防疫志愿者服務隊”，設立四個“服務監督崗”：①洗手監督崗，②戴口罩監督崗，③就餐監督崗，④操場活動監督崗．李老師和王老師報名參加了志愿者服務工作，學校將報名的志愿者隨機分配到四個監督崗．（1）李老師被分配到“洗手監督崗”的概率為；（2）用列表法或畫樹狀圖法，求李老師和王老師被分配到同一個監督崗的概率．18．若關于x的方程x2﹣mx+m＝0有兩個相等實數根，求代數式2m2﹣8m+10的值．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.19．已知a，b，c是△ABC的三邊長，且＝＝≠0，若△ABC的周長為60，求各邊的長．20．某種精品，平均每天銷售40件，每件盈利20元，若每件降價1元，則每天可多售10件，如果每天要盈利1080元，每件應降價多少元？21．我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”．其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點，從點A往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，求正方形城池的邊長．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，連接CD，過點B，C分別作BF∥CD，CF∥AB，BF、CF交于點F．（1）求證：四邊形CDBF是菱形；（2）當AC和BC滿足怎樣的關系時，四邊形CDBF是正方形？并證明你的結論．23．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，點P從點D出發向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是每秒1個單位，連接PQ、AQ、CP．設點P、Q運動的時間為t秒．（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形；（2）當t＝6時，判斷四邊形AQCP的形狀，并說明理由．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分，每小題只有一個正確的選項）請將答題卡上對應題目所選的選項涂黑。1．已知一元二次方程x2﹣2x+1＝0，則它的二次項系數為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根據二次項系數的定義解決問題．解：一元二次方程x2﹣2x+1＝0的二次項系數為1．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的一般式．2．菱形具有而平行四邊形不具有的性質是（）A．對角線互相垂直 B．兩組對角分別相等 C．對角線互相平分 D．兩組對邊分別平行【分析】根據菱形、平行四邊形的性質一一判斷即可．解：A、正確．對角線互相垂直是菱形具有而平行四邊形不具有的性質；B、錯誤．兩組對角分別相等，是菱形和平行四邊形都具有的性質；C、錯誤．對角線互相平分，是菱形和平行四邊形都具有的性質；D、錯誤．兩組對邊分別平行，是菱形和平行四邊形都具有的性質；故選：A．【點評】本題考查菱形的性質、平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握特殊四邊形的性質，屬于中考基礎題．3．若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據△ABC∽△DEF，可以得到，然后根據BC＝6，EF＝4，即可得到的值．解：∵△ABC∽△DEF，∴，∵BC＝6，EF＝4，∴＝，故選：D．【點評】本題考查相似三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用相似三角形的性質解答．4．若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一個根為x＝﹣1，則下列等式成立的是（）A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．﹣a﹣b+c＝0 D．﹣a+b+c＝0【分析】把x＝﹣1代入方程即可得到正確答案．解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得a﹣b+c＝0．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點，連結CD，若CD＝3，則AB＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點．CD＝3，∴AB＝2CD＝2×3＝6，故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形的性質，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．6．若把方程x2﹣6x﹣4＝0的左邊配成完全平方的形式，則正確的變形是（）A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x﹣3）2＝9 D．（x+3）2＝5【分析】根據配方法可以將題目中的方程變形，從而可以判斷哪個選項是正確的．解：x2﹣6x﹣4＝0x2﹣6x＝4x2﹣6x+9＝13（x﹣3）2＝13，故選：B．【點評】本題考查解一元二次方程﹣配方法，解答本題的關鍵是會用配方法解方程的方法．7．已知＝＝＝且b+2d﹣f≠0，則的值為（）A． B． C． D．【分析】利用等邊性質，進行計算即可解答．解：∵＝＝＝，∴＝＝＝，∴＝，故選：C．【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握等邊性質是解題的關鍵．8．一個密閉不透明的盒子里有若干個白球，在不許將球倒出來數的情況下，為了估計白球數，小剛向其中放入了8個黑球，攪勻后從中隨意摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復這一過程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估計盒中大約有白球（）A．32個 B．36個 C．40個 D．42個【分析】可根據“黑球數量÷黑白球總數＝黑球所占比例”來列等量關系式，其中“黑白球總數＝黑球個數+白球個數“，“黑球所占比例＝隨機摸到的黑球次數÷總共摸球的次數”．解：設盒子里有白球x個，根據＝得：＝解得：x＝32．經檢驗得x＝32是方程的解．答：盒中大約有白球32個．故選：A．【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解，注意分式方程要驗根．9．某校辦廠生產的某種產品，今年產量為200件，計劃通過改革技術，使今后兩年的產量都比前一年增長一個相同的百分數，使得三年的總產量達到1400件，若設這個百分數為x，則可列方程為（）A．200+200（1+x）2＝1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400 C．200（1+x）2＝1400 D．200（1+x）+200（1+x）2＝1400【分析】根據題意：第一年的產量+第二年的產量+第三年的產量＝1400且今后兩年的產量都比前一年增長一個相同的百分數x．解：已設這個百分數為x．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400．故選：B．【點評】本題考查對增長率問題的掌握情況，理解題意后以三年的總產量做等量關系可列出方程．10．某同學用一等邊三角形木板制作一些相似的直角三角形．如圖，其方法是：過C點作CD1⊥AB于D1，再過D1作D1D2⊥CA于D2，再過D2作D2D3⊥AB于D3…，若△ABC的邊長為a，則CD1＝a，D1D2＝a，D2D3＝a，依此規律，則D5D6的長為（）A．a B．a C．a D．a【分析】把CD1、D1D2、D2D3的分母寫成2n的形式，從中找出規律，根據規律解答．解：CD1＝a＝a，D1D2＝a＝a，D2D3＝a＝a，則D5D6的長為：a＝a，故選：C．【點評】本題考查的是相似三角形的性質、等邊三角形的性質，掌握相似三角形的對應邊成比例是解題的關鍵．二、填空題：本大題5小題，每小題3分，共15分.11．把一元二次方程（x+1）2＝2化為一般形式為x2+2x﹣1＝0．【分析】根據一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．解：（x+1）2＝2，x2+2x+1＝2，x2+2x﹣1＝0，故答案為：x2+2x﹣1＝0．【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關鍵是掌握一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c＝0（a≠0）．12．如圖，要使△ABC與△ADE相似，則需添加一個適當的條件是∠B＝∠ADE（只添一個即可）．【分析】根據相似三角形的判定定理即可求解．解：要使△ABC與△ADE相似，則需添加一個適當的條件是：∠B＝∠ADE（答案不唯一），故答案為：∠B＝∠ADE（答案不唯一）．【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．13．如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；分別以點A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2．則OC的長為4cm．【分析】四邊形OACB的四條邊都相等，則這個四邊形是菱形．AB和OC是菱形OACB的兩條對角線，則菱形的面積＝AB×OC．解：根據作圖方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四邊形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4．故答案為：4．【點評】本題側重考查尺規作圖，掌握四邊相等的四邊形是菱形、對角線相互垂直的四邊形的面積是其兩條對角線乘積的一半是解決此題的關鍵．14．如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝2．若AE＝6，則EC的值為3．【分析】由DE∥BC，利用平行線分線段成比例，可得出＝，代入＝2及AE＝6，即可求出EC的值．解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴＝，即＝，∴EC＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例”是解題的關鍵．15．如圖將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，重疊部分是一個特殊四邊形，則這個特殊四邊形周長的最小值為8．【分析】首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的等積轉換可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形．畫出圖形，設菱形的邊長為x，根據勾股定理求出周長即可．解：如圖1，過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵兩條紙條寬度相同（對邊平行），∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF，又∵AE＝AF，∴BC＝CD，∴四邊形ABCD是菱形；當兩張紙條如，2所示放置時，菱形周長最小，即是正方形時取得最小值為：2×4＝8．故答案是：8．【點評】本題考查了菱形的判定與性質．注意：“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，而非“鄰邊相等的四邊形是菱形”．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題8分，共24分。16．解方程：x（x﹣4）＝x﹣4．【分析】先變形得到x（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0，然后用因式分解法解方程．解：x（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0，（x﹣4）（x﹣1）＝0，x﹣4＝0或x﹣1＝0，所以x1＝4，x2＝1．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17．隨著“新冠肺炎”疫情防控形勢日漸好轉，各地開始復工復學，某校復學后成立“防疫志愿者服務隊”，設立四個“服務監督崗”：①洗手監督崗，②戴口罩監督崗，③就餐監督崗，④操場活動監督崗．李老師和王老師報名參加了志愿者服務工作，學校將報名的志愿者隨機分配到四個監督崗．（1）李老師被分配到“洗手監督崗”的概率為；（2）用列表法或畫樹狀圖法，求李老師和王老師被分配到同一個監督崗的概率．【分析】（1）直接利用概率公式計算；（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果，找出李老師和王老師被分配到同一個監督崗的結果數，然后根據概率公式計算．解：（1）李老師被分配到“洗手監督崗”的概率＝；故答案為：；（2）畫樹狀圖為：共有16種等可能的結果，其中李老師和王老師被分配到同一個監督崗的結果數為4，所以李老師和王老師被分配到同一個監督崗的概率＝＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．18．若關于x的方程x2﹣mx+m＝0有兩個相等實數根，求代數式2m2﹣8m+10的值．【分析】根據方程的系數結合根的判別式Δ＝0可得出m2﹣4m＝0，將其代入（2m2﹣8m+10）中即可求出結論．解：∵關于x的方程x2﹣mx+m＝0有兩個相等實數根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝0，∴2m2﹣8m+10＝2（m2﹣4m）+10＝0+10＝10．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根”是解題的關鍵．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.19．已知a，b，c是△ABC的三邊長，且＝＝≠0，若△ABC的周長為60，求各邊的長．【分析】根據等式的性質，可用x表示a，b，c，根據△ABC的周長為60列出關于x的方程，解方程可得答案．解：設＝＝＝x，∴a＝5x，b＝4x，c＝6x．∵a+b+c＝60，∴5x+4x+6x＝60，解得x＝4，∴a＝5x＝15，b＝4x＝16，c＝6x＝24．即△ABC三邊的長分別為20，16，24．【點評】本題考查了比例的性質，利用等式的性質得出a＝5x，b＝4x，c＝6x是解題關鍵．20．某種精品，平均每天銷售40件，每件盈利20元，若每件降價1元，則每天可多售10件，如果每天要盈利1080元，每件應降價多少元？【分析】如果設每件降價x元，那么降價后每件盈利（20﹣x）元，每天銷售的數量為（40+10x）件，根據每天要盈利1080元，即可列出方程．解：設每件降價x元，那么降價后每件盈利（20﹣x）元，每天銷售的數量為（40+10x）件；可列方程為：（20﹣x）（40+10x）＝1080．解得：x1＝2，x2＝14．答：每件應降價2元或14元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是要弄清題意，利用銷售問題中的基本數量關系解決問題．21．我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”．其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點，從點A往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，求正方形城池的邊長．【分析】根據題意，可知Rt△ABE∽Rt△CED，從而可以得到對應邊的比相等，從而可以求得正方形城池的邊長．解：設正方形城池的邊長為x步，由題意可得，Rt△ABE∽Rt△CED，∴，即，解得，x1＝300，x2＝﹣300（不合題意，舍去），答：正方形城池的邊長為300步．【點評】本題考查相似三角形的應用、數學常識、正方形的性質，解答本題的關鍵是明確題意．利用相似三角形的性質和數形結合的思想解答．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，連接CD，過點B，C分別作BF∥CD，CF∥AB，BF、CF交于點F．（1）求證：四邊形CDBF是菱形；（2）當AC和BC滿足怎樣的關系時，四邊形CDBF是正方形？并證明你的結論．【分析】（1）由BF∥CD，CF∥AB，可得四邊形CDBF是平行四邊形，由直角三角形斜邊上的中線的性質可得CD＝BD，即可得到平行四邊形CDBF是菱形；（2）由等腰三角形的性質得到CD⊥AB，即可得到菱形四邊形CDBF是正方形．【解答】（1）證明：∵BF∥CD，CF∥AB，∴四邊形CDBF是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，點D是AB的中點，∴