第九講彈性力學(xué)基礎(chǔ)演示文稿當(dāng)前1頁，總共81頁。優(yōu)選第九講彈性力學(xué)基礎(chǔ)當(dāng)前2頁，總共81頁。當(dāng)前3頁，總共81頁。當(dāng)前4頁，總共81頁。當(dāng)前5頁，總共81頁。當(dāng)前6頁，總共81頁。當(dāng)前7頁，總共81頁。兩組荷載共同作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)力場、應(yīng)變場和位移場，等于各自單獨(dú)作用時(shí)引起的相應(yīng)場之和。疊加原理是由基本方程與邊界條件的線性性質(zhì)所決定，適用于線彈性和小變形情況。對大變形，彈性穩(wěn)定問題和彈塑性力學(xué)問題不適用。疊加原理當(dāng)前8頁，總共81頁。當(dāng)前9頁，總共81頁。疊加原理的例子1：非均勻應(yīng)力邊界條件的求解當(dāng)前10頁，總共81頁。地震斷層同震位錯(cuò)反演Shenetal.,NATUREGEOSCIENCE,2009疊加原理的例子2：利用地表GPS變形資料反演地震斷層位錯(cuò)當(dāng)前11頁，總共81頁。疊加原理的例子3：利用地表GPS同震變形資料反演地震斷層地震力當(dāng)前12頁，總共81頁。當(dāng)前13頁，總共81頁。當(dāng)前14頁，總共81頁。當(dāng)前15頁，總共81頁。當(dāng)前16頁，總共81頁。當(dāng)前17頁，總共81頁。當(dāng)前18頁，總共81頁。當(dāng)前19頁，總共81頁。當(dāng)前20頁，總共81頁。幾何形狀特征：物體沿一個(gè)坐標(biāo)軸（例如z軸）方向的長度很長，且所有垂直于z軸的橫截面都相同，即為一等直柱體；位移約束條件或支承條件沿z方向也相同。載荷特征：柱體側(cè)表面承受的表面力以及體積力均垂直于z軸，且分布規(guī)律不隨z變化。當(dāng)前21頁，總共81頁。當(dāng)前22頁，總共81頁。當(dāng)前23頁，總共81頁。當(dāng)前24頁，總共81頁。當(dāng)前25頁，總共81頁。當(dāng)前26頁，總共81頁。當(dāng)前27頁，總共81頁。物理意義：

－－表示物體繞原點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。－－表示x，y向的剛體平移，當(dāng)前28頁，總共81頁。當(dāng)前29頁，總共81頁。當(dāng)前30頁，總共81頁。當(dāng)前31頁，總共81頁。當(dāng)前32頁，總共81頁。當(dāng)前33頁，總共81頁。當(dāng)前34頁，總共81頁。當(dāng)前35頁，總共81頁。當(dāng)前36頁，總共81頁。當(dāng)前37頁，總共81頁。當(dāng)前38頁，總共81頁。當(dāng)前39頁，總共81頁。當(dāng)前40頁，總共81頁。當(dāng)前41頁，總共81頁。平面域A內(nèi)的基本方程:(2)幾何方程(3)物理方程平面應(yīng)力問題的求解(1)平衡微分方程當(dāng)前42頁，總共81頁。應(yīng)力邊界條件

位移邊界條件

（在上）（在上）邊界條件：

8個(gè)未知函數(shù)必須，滿足上述方程和邊界條件。三大方程和邊界條件：平面應(yīng)力問題的定解問題。當(dāng)前43頁，總共81頁。平面應(yīng)力問題的位移解法按位移求解⑵將其他未知函數(shù)用u,v表示：

應(yīng)變用u,v表示─幾何方程;

應(yīng)力先用形變來表示（物理方程），再代入幾何方程，用u,v表示:⑴取u,v為基本未知函數(shù)；當(dāng)前44頁，總共81頁。當(dāng)前45頁，總共81頁。⑶在A中導(dǎo)出求u,v的基本方程─將式(a)

代入平衡微分方程，上式是用u,v表示的平衡微分方程。當(dāng)前46頁，總共81頁。位移邊界條件

（在上）(d)（在上）(c)應(yīng)力邊界條件─將式(a)代入應(yīng)力邊界條件，⑷在S上的邊界條件當(dāng)前47頁，總共81頁。歸納：(c)(d)

按位移求解時(shí)，u,v必須滿足A內(nèi)的方程(b)和邊界條件(c)、(d)。式(b)，(c)，(d)－－是求解u,v的條件;也是校核u,v是否正確的全部條件。當(dāng)前48頁，總共81頁。

按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點(diǎn)：適用性廣─可適用于任何邊界條件。求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法，差分法，有限單元法）中有著廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前49頁，總共81頁。例1

考慮兩端固定的一維桿件。圖(a)，只受重力作用，。試用位移法求解。當(dāng)前50頁，總共81頁。解：為了簡化，設(shè)位移按位移求解，位移應(yīng)滿足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然滿足，第二式成為當(dāng)前51頁，總共81頁。均屬于位移邊界條件，代入v，得得解出當(dāng)前52頁，總共81頁。在處，代入v，并求出形變和應(yīng)力，當(dāng)前53頁，總共81頁。（1）取為基本未知函數(shù)；平面應(yīng)力問題的應(yīng)力解法（2）其他未知函數(shù)用應(yīng)力來表示:應(yīng)變用應(yīng)力表示（物理方程）。位移用應(yīng)變─應(yīng)力表示，須通過積分，不僅表達(dá)式較復(fù)雜，而且包含積分帶來的未知項(xiàng)，因此位移邊界條件用應(yīng)力分量來表示時(shí)既復(fù)雜又難以求解。故在按應(yīng)力求解時(shí)，只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問題,即。當(dāng)前54頁，總共81頁。⑶在A內(nèi)求解應(yīng)力的方程(b)從幾何方程中消去位移u,v，得相容方程（形變協(xié)調(diào)條件）：

補(bǔ)充方程─從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出:平衡微分方程（2個(gè)）。(a)平面應(yīng)力問題的應(yīng)力解法當(dāng)前55頁，總共81頁。代入物理方程，消去形變，并應(yīng)用平衡微分方程進(jìn)行簡化，便得用應(yīng)力表示的相容方程：其中

(4)應(yīng)力邊界條件－－假定全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件。平面應(yīng)力問題的應(yīng)力解法當(dāng)前56頁，總共81頁。（1）A內(nèi)的平衡微分方程；（2）A內(nèi)的相容方程；（3）邊界Sσ上的應(yīng)力邊界條件.（1）-（3）也是校核應(yīng)力分量是否正確的全部條件。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題，應(yīng)力必須滿足下列條件：歸納：當(dāng)前57頁，總共81頁。⑴相容方程(a)1.常體力情況下按應(yīng)力求解的條件(b)⑵平衡微分方程常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)⑶應(yīng)力邊界條件(c)當(dāng)前58頁，總共81頁。在⑴-⑶條件下求解的全部條件(a)，(b)，(c)中均不包含彈性常數(shù)，故與彈性常數(shù)無關(guān)。2.在⑴常體力,⑵單連體,⑶全部為應(yīng)力邊界條件（）下的應(yīng)力特征：當(dāng)前59頁，總共81頁。結(jié)論：①不同材料的應(yīng)力()的理論解相同，用試驗(yàn)方法求應(yīng)力時(shí)，也可以用不同的材料來代替。②兩類平面問題的應(yīng)力解相同，試驗(yàn)時(shí)可用平面應(yīng)力的模型代替平面應(yīng)變的模型。在⑴常體力,⑵單連體,⑶全部為應(yīng)力邊界條件當(dāng)前60頁，總共81頁。

3.常體力下按應(yīng)力求解的簡化對應(yīng)的齊次微分方程的通解，艾里已求出為非齊次微分方程(b)的任一特解，如取（1）常體力下平衡微分方程的通解是：

非齊次特解+齊次通解。當(dāng)前61頁，總共81頁。所以滿足平衡微分方程的通解為:(g)為艾里應(yīng)力函數(shù)。當(dāng)前62頁，總共81頁。如果，則A，B均可用一個(gè)函數(shù)表示，即說明：a.導(dǎo)出艾里（Airy）應(yīng)力函數(shù)，是應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的相容性，即當(dāng)前63頁，總共81頁。d.由再去求應(yīng)力（式（g））,必然滿足平衡微分方程，故不必再進(jìn)行校核。c.仍然是未知的。但已將按應(yīng)力求解轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù)求解，從3個(gè)未知函數(shù)減少至1個(gè)未知函數(shù)。b.導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)的過程，也就證明了的存在性，故可以用各種方法去求解。當(dāng)前64頁，總共81頁。（2）應(yīng)力應(yīng)滿足相容方程（a），將式（g）代入（a），得（3）若全部為應(yīng)力邊界條件（），則應(yīng)力邊界條件也可用表示。當(dāng)前65頁，總共81頁。（1）A內(nèi)相容方程（h）；（2）上的應(yīng)力邊界條件；求出后，可由式（g）求得應(yīng)力。在常體力下求解平面問題，可轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù)求解，應(yīng)滿足:歸納：當(dāng)前66頁，總共81頁。例1如圖所示的簡支梁只承受自重的作用，設(shè)材料的密度為，給出函數(shù)可以作為應(yīng)力函數(shù)的條件，并求出表達(dá)式和應(yīng)力分量，其中，的形式為：解：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程,得到這就是作為應(yīng)力函數(shù)必須滿足的條件此時(shí)：

按應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力方法求解彈性問題解析解當(dāng)前67頁，總共81頁。當(dāng)前68頁，總共81頁。當(dāng)前69頁，總共81頁。當(dāng)前70頁，總共81頁。例2如圖所示，右端固定懸臂梁，長為l，高為h，在左端面上受分布力作用（其合力為FS）。不計(jì)體力，試求梁的應(yīng)力分量解：1、用湊冪次不同的雙調(diào)和多項(xiàng)式函數(shù)的半逆解法來求解。顯然，應(yīng)力函數(shù)所對應(yīng)的面力，在梁兩端與本題相一致，只是該函數(shù)在上、下邊界面上多出了一個(gè)大小為的剪應(yīng)力，為了抵消它，在應(yīng)力函數(shù)上再添加一個(gè)與純剪應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) ：按應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力方法求解彈性問題解析解當(dāng)前71頁，總共81頁。當(dāng)前72頁，總共81頁。當(dāng)前73頁，總共81頁。例3圖示的墻高度為h,寬度為b,兩側(cè)受均布剪力作用，用已知應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量

解：給出的應(yīng)力函數(shù)顯然滿足相容方程，于是得到應(yīng)力分量表達(dá)式

下面驗(yàn)證邊界條件

按應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力方法求解彈性問題解析解當(dāng)前74頁，總共81頁。當(dāng)前75頁，總共81頁。按應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力方法求解彈性問題解析解例4：三角形懸梁臂只受重力作用，如圖所示，使用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解。當(dāng)前76頁，總共81頁。當(dāng)前77頁，總共81頁。例5試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)，求解楔形體受重力和側(cè)向液體壓力的應(yīng)力場。當(dāng)前78頁，總共81頁。YanHuandKelinWang,Bending-likebehaviorofthinwedge-shapedelasticfaultblocks,JOURNALOFGEOPHYSICALRESEARCH,VOL.111,B06409,doi:10.1029/2005JB003987,2006例6利用應(yīng)力函數(shù)法求解楔形體的應(yīng)力場當(dāng)前79頁，總共81頁。上頂界：y=0YanHuandKelinWang,Bending-likebehaviorofthinwedge-shapedelasticfaultblocks,JOURNALOFGEOPHYSICAL