PAGEPAGE14MATLAB在解析幾何中的應用研究引言數學是研究空間形式和數量關系的科學，解析幾何是數學專業的一門專業基礎課程,它的基本思想是用代數的方法描繪幾何圖形，認識圖形的性質，分析圖形間的相互關系，解析幾何不僅為代數學提供了幾何模型,而且也為研究物理學、工程技術領域的相關問題提供了必要的數學工具[1-2]．它的主要研究內容有向量代數、空間坐標系、平面與直線、常見的曲面與曲線等，由于幾何問題廣泛存在于科學技術的各個領域，因此解析幾何方法已經成為從事自然科學研究必不可少的工具．然而，目前解析幾何的教學在教學方法和教學手段方面還比較落后，很多曲線和曲面的形成與變換過程還是通過傳統的教師講解、手工繪制的方法展示，很難將曲線及曲面形象、準確地展示出來，學生很難理解和掌握．在教學與研究中,假如可以形象、生動、直觀的給出空間圖形或者軌跡的形成過程，不僅使教學變得簡單，而且有助于提高學生的學習興趣．MATLAB軟件是集數值計算、符號計算和圖形可視化三大基本功能于一體的大型科學計算軟件，廣泛應用于科學研究、工程計算、動態仿真等領域，該軟件的一個重要特色是強大的圖形處理功能．下文主要討論MATLAB軟件在解析幾何的向量計算，平面、空間曲線和曲面圖形的描繪，空間圖形的位置關系的判定等多方面的應用研究．1MATLAB軟件在向量運算中的應用1.1用MATLAB軟件生成向量(1)直接輸入法：在MATLAB的命令窗口中輸入>>a=[15689]，回車運行，返回a=15689(2)冒號生成法：基本語法格式為：向量＝初值：步長：終值，在命令窗口中輸入>>a=1:2:12，回車運行，返回a=1357911>>b=1:5，回車運行，返回b=123451.2向量的運算在MATLAB軟件中，對向量的不同運算，有如下表1所列常用函數，表1向量運算表命令功能說明A+B向量A,B的和cross(A,B)向量A,B的矢量積dot(A,B)向量A,B的點積norm(A)向量A的模長1.3應用實例例1用MATLAB軟件完成下面任務（1）用元素輸入法創建向量=(4,2,3,1,-2,-1,5,10)；（2）用冒號生成法創建向量=(1,3,5,7,9,11,13,15)；（3）用等分取值法創建向量，其初值為1，終值為100，共8個元素；（4）作向量與得數量積、向量積；（5）作向量、、的混合積．解：在MATLAB命令窗口中輸入以下語句即可，（1）x1=[4231-2-1510]（2）x2=1:2:15（3）x3=linspace(1,100,8)（4）dot(x1,x2),cross(x1,x2)（5）dot(cross(x1,x2),x3)例2求點到直線的距離.解：點到直線的距離公式為，其中，為直線的方向向量，為直線上異于的任意一點，用MATLAB求解上述問題，編寫代碼如下：>>M0=[1-10];M1=[212];V=[1-1-2];>>d=norm(cross(M1-M0,V))/norm(V)，返回結果d=2.1985例3證明Lagrange恒等式，其中為幾何空間中的三維向量．證明：在MATLAB命令窗口中輸入symsa11a12aa1=[a11,a12a13];a2=[a21,a22a23];a3=[a31,a32a33];a4=[a41,a42aleft=dot(cross(a1,a2),cross(a3,a4))right=dot(dot(a1,a3),dot(a2,a4))-dot(dot(a1,a4),dot(a2,a3))answer=left-right;simple(answer),運行結果為>>ans=0即等式左右兩邊相減差為0，因此定理得證．2MATLAB軟件在解析幾何的圖形繪制中的應用解析幾何學研究的一個重要課題是根據給定的方程如何獲得它所表示的圖形的各種幾何性質以及描繪這個圖形．對于復雜的幾何圖形的作圖，手工作圖主要采用平面截線法，可以大致了解曲面的形狀．MATLAB提供了許多繪圖函數，利用這些函數可以繪制出所需的圖形；MATLAB還提供了豐富的修飾法，可以使圖形更加美觀和形象[4-7]．在MATLAB中，編寫繪制二維和三維的圖形的程序；運行這些程序時，在圖形窗口中就可以得到想要的復雜圖形．2.1二維圖形的繪制MATLAB提供了豐富的繪圖函數，plot是最基本的二維繪圖函數，其調用格式為plot(X,Y)：若X、Y為長度相等的向量，則繪制以X和Y為橫、縱坐標的二維曲線．例4用plot函數繪制的圖形．解：繪制此圖形的MATLAB程序代碼如下：X=-5:0.05:5;Y=sin(X).*cos(2*X);plot(X,Y);程序運行結果如下圖1所示圖SEQ圖表\*ARABIC1二維曲線2.2三維圖形的繪制用MATLAB繪制三維曲線和曲面時，常用到的繪圖函數有plot3,ezplot3,surf,mesh，ezsurf，ezmesh等,下面分別通過實例在MATLAB平臺上實現多種三維圖形的繪制．2.2.1用MATLAB繪制三維空間曲線例5在解析幾何中，參數方程表示幾何空間的一段螺旋線，用plot3繪制該曲線的MATLAB程序代碼如下：t=-10:0.05:20;x=sin(t);y=4*cos(t)；z=3*t;figure，plot3(x,y,z,'*');gridon,text(0,0,0,'0');title('ThreeDimension');xlabel('sin(t)'),ylabel('cos(t)'),zlabel('t');通過圖形修飾函數label,title,grid等可以給圖形加軸標簽、標題、網格等，程序運行結果如下圖2所示圖2三維空間螺旋線2.2.2用MATLAB繪制三維空間曲面一般曲面的繪制常用的繪圖函數，見下表2函數名功能說明mesh(X,Y,Z)繪制三維網格圖surf(X,Y,Z)繪制三維曲面圖surfc(X,Y,Z)繪制含等高線的三維曲面圖ezmesh(X,Y,Z)繪制二元函數圖形meshgrid(x,y)獲取網格點數據矩陣表2常用空間曲面繪圖函數表下面，用MATLAB軟件，對解析幾何中一些常見的典型曲面，結合具體例子，給出圖形繪制的相關程序及圖形結果．2.2.2.1柱面（1）柱面的定義：動直線平行于定方向且與定曲線相交而產生的曲面叫柱面，每一條動直線叫做柱面的直母線，定曲線叫做柱面的準線．（2）柱面的一般方程橢圓柱面：；雙曲柱面：（3）實例作圖例6用MATLAB的ezsurf，cylinder函數繪制圓柱面和的曲面圖，編寫程序代碼如下：subplot(1,2,1);ezsurf('(2*cos(m))','2*sin(m)','n',[0,2*pi,0,1.2*pi])gridonaxisequalxlabel('x軸');ylabel('y軸');zlabel('z軸');title('圓柱面')subplot(1,2,2);cylinder(30);axissquaretitle('調用cylinder函數所得圓柱面')程序運行結果如下圖3所示圖3圓柱面例7用ezmesh函數繪制雙曲柱面的空間曲面圖形．解：ezmesh函數的調用格式為：ezmesh(x，y，z，[smin，smax，tmin，tmax])其中每個參數的意義可參考文獻[3]，編寫程序代碼如下：ezmesh('3*sec(u)','5*tan(u)','v',[-pi/2,pi/2,-3*pi,3*pi])holdonezmesh('3*sec(u)','5*tan(u)','v',[pi/2,3*pi/2,-3*pi,3*pi])gridon；xlabel('x軸');ylabel('y軸');zlabel('z軸');title('雙曲柱面')程序運行結果如下圖4所示圖4雙曲柱面2.2.2.2錐面（1）錐面的定義：一條直線通過一定點且與定曲線相交而移動時產生的曲面叫錐面，定點叫做錐面的頂點．（2）錐面的一般方程：（3）實例作圖例8用mesh，meshgrid函數繪制錐面的空間曲面圖形．解：編寫程序代碼如下：x=-3:0.1:3;y=x;[xx,yy]=meshgrid(x,y);z=3*sqrt(xx.^2/16+yy.^2/25)mesh(xx,yy,z);holdon;z=-3*sqrt(xx.^2/16+yy.^2/25);mesh(xx,yy,z)程序運行結果如下圖5所示圖5錐面2.2.2.3旋轉曲面（1）旋轉曲面的定義：一條曲線繞定直線旋轉一周所產生的曲面叫旋轉曲面，曲線叫母線，直線稱為旋轉曲面的旋轉軸．常見的旋轉面有旋轉橢圓面、旋轉拋物面、旋轉雙曲面等．（2）實例作圖例9用mesh,surfc分別繪制旋轉拋物面的圖形，觀察效果有何不同．解：根據旋轉拋物面方程，編寫MATLAB程序代碼如下：x=-8:0.5:8;y=x;[xx,yy]=meshgrid(x,y);Z=xx.^2+yy.^2;subplot(1,2,1)；mesh(xx,yy,Z);subplot(1,2,2);surfc(xx,yy,Z)程序運行結果如下圖6所示圖6旋轉拋物面從圖形結果可以看出，函數surfc在繪制圖形的同時，還在投影底面給出了等高線．例10用cylinder函數繪制以為母線，為旋轉軸的旋轉曲面．解：函數cylinder的調用格式，可參考文獻[3,4]，編寫MATLAB程序代碼如下：t=0:pi/10:2*pi;[X,Y,Z]=cylinder(2+cos(t));surf(X,Y,Z)；axissquare程序運行結果如下圖7所示圖7旋轉曲面3MATLAB軟件在圖形的空間位置關系判定[1]中的應用解析幾何是用代數的方法研究幾何圖形、認識空間圖形的性質及圖形間關系的課程．在幾何空間中，一些復雜圖形之間的位置關系很難直觀展現，給圖形間位置關系的研究帶來困難．借助MATLAB軟件的繪圖功能，將復雜的空間圖形形象地顯現，可使對空間圖形位置關系的探究變的方便快捷[8-10]．3.1直線與平面的位置關系直線與平面有相交、平行、直線在平面上這三種位置關系，通過MATLAB軟件的繪圖和修飾函數，將不同的直線和平面顯示在同一個圖形窗口中，可以很容易地觀察它們的各種關系，下面通過實例說明．例11已知直線與平面，判定直線與平面的位置關系．解：先將化成參數方程，得．編寫繪制這個直線與平面的程序代碼如下：t=-40:0.3:40;[x1,y1]=meshgrid(t);z1=2*x1+3*y1-4;mesh(x1,y1,z1);holdon;x2=t;y2=3*t+1;z2=2*t+1;plot3(x2,y2,z2);程序運行序結果如下圖8所示圖8直線與平面的位置關系3.2平面與平面的位置關系空間兩平面有相交、平行、重合三種關系，通過MATLAB軟件的繪圖和修飾函數，可以繪制出直觀、形象的圖形，將兩平面的位置關系展現出來．例12判斷平面和的位置關系．解：編寫繪制題中兩平面的MATLAB程序代碼如下：s=-20:0.4:20;[x1,y1]=meshgrid(s);z1=(2*1-y1-5)/2;mesh(x1,y1,z1);holdon；z2=x1+3*y1-1;mesh(x1,y1,z2);程序運行結果如下圖9所示圖9兩平面位置關系從圖形易得，兩平面位置關系為相交．3.3平面與二次曲面的位置關系在解析幾何中，一些復雜的平面與二次曲面的位置關系很難準確的手工繪制出來，借助MATLAB軟件的繪圖和修飾函數，可將平面與二次曲面的位置關系直觀形象地展現出來．例13判斷平面與球面的位置關系．解：編寫相關MATLAB程序代碼如下：clear;s=-100:100;[x,y]=meshgrid(s);z=(-2*x+3*y-12)/8;u=0:pi/20:pi;v=0:pi/20:2*pi;[U,V]=meshgrid(u,v);x1=50*sin(U).*cos(V)+7;y1=90*sin(U).*sin(V)-9;z1=50*cos(U)-5;mesh(x,y,z);holdon;surf(x1,y1,z1);程序運行結果如下圖10所示圖10平面與球面3.4二次曲面間的位置關系在解析幾何中，二次曲面本身的圖形就非常難以手工繪制，要研究它們間的位置關系難度會更大，借助MATLAB軟件的繪圖和修飾函數，可將這些圖形的位置關系，立體地展現出來．例14已知柱面和馬鞍面，判斷二者的位置關系．解：首先將柱面方程參數化[2]，編寫繪圖程序代碼如下：t=0:pi/20:2*pi;x1=4*cos(t)-2;y1=3*sin(t)+1;z1=linspace(-6,6,length(t))x1=meshgrid(x1);y1=meshgrid(y1);z1=meshgrid(z1)';mesh(x1,y1,z1);在保持柱面圖的基礎上，再繪制馬鞍面圖形，將兩圖同時顯現holdon;[X,Y]=meshgrid(-7:0.2:7);Z=X.^2/8-Y.^2/6;mesh(X,Y,Z);axis('square');xlabel('x軸');ylabel('y軸');zlabel('z軸');程序運行結果如下圖11所示圖11柱面與馬鞍面的位置關系結語本文主要討論了MTALAB軟件在解析幾何中向量的數值計算，平面、空間曲線和曲面圖形描繪，空間圖形位置關系的判定等多方面的應用，應用MATLAB軟件豐富的繪圖和修飾函數，編寫相應的程序代碼，可以較快地解決復雜的計算,完成復雜圖形