數學教學敘由一道“二函數應用題引出的話題數學教學是由一連串“零散”的工作組成的，然而在這“零散”的數學教學工作的背后，卻能不時給我們老師以啟發、警示或收獲，使我們在啟發之中得到提升，在警示之中受到鞭策，在收獲之中促進自身的專業成長．我所在的九年級數學備課組正是在這些“平常”的日子里，常常會在同事之間激烈的探討中受到觀念上的沖擊，細細咀嚼，意猶未盡．在一次集體備課活動時，我們數學組熱情洋溢的趙老師“拋出”了一個數學課本上的問題，這個問題不僅僅讓學生感到“模糊”，而且老師對這道“二次函數應用”的問題也頗有爭議的，全組老師一下子被問題“牽入”爭論和思考之中．1“二次函應用題題目：正常水位時，拋物線拱橋下的水面寬為20m，水面上升3m達到該地警戒水位時，橋下水面寬為10m．(1)在恰當的平面直角坐標系中求出水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬x(m)之間的函數關系式；(2)如果水位以．2m/h速度持續上漲，那么達到警戒水位后，再過多長時間此橋孔將被淹沒?(題目來源:北師大版九年級數學下冊）趙老師小心翼翼的、又有所掩飾的樣子說：這道應用題是否是錯題？還是超出《課程標準》的要求了？組內的老師一時非常安靜，都在默默的看課本上的題目，同時思考著趙老師的話，再努力尋找著錯誤或正確的理由．過了一會，年輕且富有朝氣的王老師首先發言：我個人以為教學參考書上已經說的非常清楚了按照此圖建立平面直角坐標系就可以求得（1問中的結論是問也就迎刃而解．此題沒有錯誤，而且坐標系的建立也是很恰當的．

（2）為了說明問題的方便，把北師大版九年級下冊數學教師教學用書該題的參考答案復制如下（1）建立如圖1的平面直角坐標系，則水面到橋孔頂部的距離與水面寬的函數關系為：；（2）由（1）知，警戒水位到橋孔頂部的距離為，所以再經過5h此橋孔將被淹沒．一些老師的臉上也露出贊同之意，但是又好像保留著什么似的？！趙老師看沒有人接著說話，又發表自己的看法：我在沒有看教學參考書之前，也是這樣建立直角坐標系的，但是覺得不容易求這個函數的解析式，那么這個解析式怎么求？

水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬x(m)之間的函數關系式有的答案是的答案是，答案不是，那說明教參上的參考答案是錯誤，對嗎？看來趙老師對這道“二次函數的應用題”進行了琢磨，起碼今年帶九年級是這樣的．組內的其他教師又被趙老師的話題“卷入”了對問題重新審視的過程中??，慢慢，組內交流的話語多了起來，對問題的看法也漸漸的清晰許多．2對教學參書上答認識備課組長請教學經驗比較豐富的張老師說說自己的看法，一是因為大家都在議論，那就形成不了對這個數學問題統一的看法；二來備課組長也觀察了張老師的面部表情和議論，認為他對這個問題已經考慮的比較成熟了，讓他發言，也體現了在備課組討論的過程中要發揮“平等中的首席”的作用．果然，張老師的發言讓大家頻頻點頭．他說:首先，教學參考書上的答案是錯誤，函數關系式

是在這樣的平面直角坐標系下該拋物線拱橋的解析式非面到橋孔頂部的距離(m)與水面寬(m)之間函數關系式；其次，該拋物線上每一個點的坐標（，y）的縱坐標y和橫坐標x的絕對分別代表實際意義是水面到橋孔頂部的距離和水面寬的一半（不是水面寬）；第三，在圖樣的平面直角坐標系下，要求出該拋物線拱橋的解析式，首先要設出該拋物線的解析式為，但是發現找不到一個點的坐標可以完全用已知數據表示，這和我們平時的思維習慣不統一，所以老師就可能覺得有困難，學生就更有困難了，認為求不出可以增加一個參數來解決這個問題．

來，事實上，我們這時老師搶著說據張老師的所說的合已知條件就設點A坐標

點B的坐標為，將點A、B的坐標帶入解析式

中，可以得到一個二元一次方程組，這樣不僅僅解出，而且解出了，說明正常水位時水面到橋孔頂部的距離是4m．趙老師這時也微笑說道：對，增加一個參數，看起來退了一步，實際上進了一大步，是“以退為進”啊．薛老師，你是從那學來的？是不是從上高中的兒子哪里學來的？趙老師提高聲音說道：那要水面到橋孔頂部的距離(m)與水面寬x(m)之間函數關系式，實際上就是在把它們轉換成拋物線別是多少呢？

上點的坐標即可，這個點的橫、縱坐標分楊老師說：不就是x(m)之間的函數關系式

嗎？帶入到函數關系式這個結論嗎．

中，就得到y(m)與水面寬

．．李老師說：不對，這個點的坐標應該為

，因為這時的是指水面到橋孔頂部的距離，轉換成坐應該為

，帶入到函數關系式

中，就得水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬(m)間的函數關系式

．所以，我以為此題不僅能聯系生活實際，而且是培養學生多方面能力的好題．但是教學參考書上提供的答案是錯誤的，正確答案應該是，為了化解楊老師所說的難點防止思維混淆完全可以把水面到橋孔頂部的距離(m)與水面寬(m)的字母改為(m)和(m)，這一改即符合生活實際，又符合數學符號使用常規，應該建議編者重新進行修訂．李老師的話結束了，這個“二次函數應用題”是否錯了，還是超標了的疑問也隨之解決了，伴隨著對這個問題的認識上的突破的過程，趙老師和全組其他老師在活動結束后“陷入”對數學教學的更深層次的思考：如何利用好手中的教材？當然，在這一活動中，伴隨著的還有興奮和激動．比較：把問題放在另一個平面直角坐標系中數學組的集體備課活動已經結束了筆者還在繼續關注在恰當的平面直角坐標系中求出水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬(m)之間的函數關系式中恰當平面直角坐標系這幾個字眼，怎樣建立平面直角坐標系最為恰當呢？有了比較才能有所鑒別，有了鑒別才能對問題的本質有更深的認識．筆者又在新的平面直角坐標系中對這個問題進行了研究，現將解答過程簡要表述如下建立如圖3的平面直角坐標系可以設該拱橋所在的拋物線為根據題意得到A點的坐標（100B點的坐標（5，3），將這兩點的坐標帶入到函數關系式

中，解得，所以拱橋所在的拋物線的解析式為；將水面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬(m)轉換成所求拋物線上一點的坐標為，帶入到函數解析式的距離y(m)與水面寬(m)的函數關系式為

．

中，則水面到橋孔頂部

建立這樣的平面直角坐標系中去解決問題，很明顯和前面的解法相比較凸顯了一易一難．易在點A、B坐標（10，0）、（5，3）很容易確定，這和我們心理期望是一致的；思維的難點集中在面到橋孔頂部的距離y(m)與水面寬(m)轉換成所求拋物線上一點的坐標為

上，這是因為學生對處理這樣的問題“經驗積累”還是比較少，但是不代表學生不能理解或不能解決這個問題．如果教師在實施此類問題的教學時，能夠組織學生進行有效的探究、議論，那么學生今后在這類問題處理上不僅能在邏輯上納入自己的認知結構，而且也能在心理上認同，使問題的解決得以順利進行．再通過建立不同于前面兩種情況的平面直角坐標系來解決這個問題的過程看，求出拋物線拱橋的解析式都不是很困難的點都是集中在水面到橋孔頂部的距離(m)與水面寬x(m)轉換成所求拋物線上一點的坐標的問題，較之教學參考書上的建立坐標系的方法來的復雜的多，這恰恰說明建立“恰當”的平面直角坐標系對問題理解和解決是很有必要的，這里面除了要培養學生“數學建模”、“待定系數法”的思想方法外，還有一個數學“最優化”的思想蘊含在里邊．在這里，筆者相信每位老師只要認真的研究教材，精心去預設，是一定能夠發揮“教材無非是一個例子”的作用的．3“不難的難題給數學師的啟從本文所敘述的故事與分析中，我們可以看到(1)這“二次函數應用問題并不難為什么一個不難的問題卻難住了文老師呢？筆者首先覺得文老師沒有去認真“做”，起碼沒有認真的思考，或許他的“本體性知識”不夠，這從他帶初三的履歷和所提問題時小心翼翼中可以看出一點端倪．這種現象對老師來說還是具有一定市場的，我們把這種現象稱之為“教學上的封閉”；其次，這種現象給我們帶來的思考是什么呢？那就是許多老師對書本上練習、習題的不重視或輕視研究，轉而要求學生做課外練習或自編的講義，反而加重了學生的負擔．這里既有數學觀的問題，又有學生觀的問題．第三，教師如果沒有精心的預設，哪里會有學生美麗的生荷蘭數學家、國際著名數學教育家弗賴登塔爾說過：“學數學實際上是學數學化”。教師不僅僅應該具備將具體問題數學化的數學素養，而且還能站在數學的高度俯視哪些簡單的問題，只有這樣才能證明你作為人師的堅實基礎和廣闊視野。(2)如果按照教學參考書上的答案也就是某些教師的答案去批改學生作業么就會給學生埋下“錯誤”的種子，而這粒“錯誤”的種子在溫度、水分適宜的情況下就是會生長．更重要的是學生不能有一種深深的體會：如何把實際生活問題轉化為數學問題（數學建模）來解決．因為你沒有給學生這種經歷錯誤的過程，錯誤也是一種資源，寶貴的課程資源就難得再有這樣的機會被開發利用了．(3)要突破這教學上的封閉數學知識和能力需要心理上的進取和勇氣多時候不是想不到，而是沒有去想；不是做不到，而是沒有去做；不是不具備某種數學知識，而是沒有想到提取這種知識．所以，備課組就要創造一個和諧、寬松、融洽的研究氛圍，讓大家敢于曬自己的真實，實現合作共贏，那么稚嫩的