09-16大學生數學競賽真題(非數學類)LtD2009年第一屆全國大學生數學競賽預賽試卷一、填空題（每小題5分，共20分）1．計算____________，其中區域由直線與兩坐標軸所圍成三角形區域.2．設是連續函數，且滿足,則____________.3．曲面平行平面的切平面方程是__________.4．設函數由方程確定，其中具有二階導數，且，則________________.（5分）求極限，其中是給定的正整數.三、（15分）設函數連續，，且，為常數，求并討論在處的（2）求。（3）設，求。（4）設函數有二階連續導數，，求。（5）求直線與直線的距離。二、（15分）設函數在上具有二階導數，并且且存在一點，使得。（15分）設函數由參數方程所確定，其中具有二階導數，曲線與在出相切，求函數。四、（15分）設證明：（1）當時，級數收斂；（2）當且時，級數發散。五、（15分）設是過原點、方向為，（其中的直線，均勻橢球，其中（密度為1）繞旋轉。（1）求其轉動慣量；（2）求其轉動慣量關于方向的最大值和最小值。六、(15分)設函數具有連續的導數，在圍繞原點的任意光滑的簡單閉曲線上，曲線積分的值為常數。（1）設為正向閉曲線證明（2）求函數；（3）設是圍繞原點的光滑簡單正向閉曲線，求。2011年第三屆全國大學生數學競賽預賽試卷計算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求；（2）.求；（3）已知，求。二．（本題10分）求方程的通解。三．（本題15分）設函數f(x)在x=0的某鄰域內具有二階連續導數，且均不為0，證明：存在唯一一組實數，使得。四．（本題17分）設，其中，，為與的交線，求橢球面在上各點的切平面到原點距離的最大值和最小值。五．（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉形成的橢球面的上半部分（）取上側，是S在點處的切平面，是原點到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦。計算：（1）；（2）六．（本題12分）設f(x)是在內的可微函數，且，其中，任取實數，定義證明：絕對收斂。七．（本題15分）是否存在區間上的連續可微函數f(x)，滿足，？請說明理由。2012年第四屆全國大學生數學競賽預賽試卷一、（本大題共5小題，每小題6分共30分）解答下列個體（要求寫出要求寫出重要步驟）(1)求極限(2)求通過直線的兩個互相垂直的平面和，使其中一個平面過點。(3)已知函數，且。確定常數和，使函數滿足方程(4)設函數連續可微，，且在右半平面與路徑無關，求。(5)求極限二、（本題10分）計算三、求方程的近似解，精確到0.001.四、（本題12分）設函數二階可導，且，，，求，其中是曲線上點處的切線在軸上的截距。五、（本題12分）求最小實數，使得滿足的連續函數都有六、（本題12分）設為連續函數，。區域是由拋物面和球面所圍起來的部分。定義三重積分求的導數七、（本題14分）設與為正項級數，證明：（1）若，則級數收斂；（2）若，且級數發散，則級數發散。2013年第五屆全國大學生數學競賽預賽試卷解答下列各題（每小題6分共24分，要求寫出重要步驟）1.求極限.2.證明廣義積分不是絕對收斂的3.設函數由確定，求的極值。4.過曲線上的點A作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點A的坐標。二、（滿分12）計算定積分三、（滿分12分）設在處存在二階導數，且。證明：級數收斂。四、（滿分12分）設，證明五、（滿分14分）設是一個光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分。試確定曲面，使積分I的值最小，并求該最小值。六、（滿分14分）設，其中為常數，曲線C為橢圓，取正向。求極限七（滿分14分）判斷級數的斂散性，若收斂，求其和。2014年全國大學生數學競賽預賽試題填空題(共有5小題，每題6分，共30分)已知和是齊次二階常系數線性微分方程的解，則該方程是____________________________________設有曲面和平面。則與平行的的切平面方程是_______________________________設函數由方程所確定。求_______________設。則______________________已知。則____________________（本題12分）設為正整數，計算。（本題14分）設函數在上有二階導數，且有正常數使得。證明：對任意，有。（本題14分）（1）設一球缺高為，所在球半徑為。證明該球缺體積為。球冠面積為；（2）設球體被平面所截得小球缺為，記球冠為，方向指向球外。求第二型曲面積分（本題15分）設在上非負連續，嚴格單增，且存在，使得。求（本題15分）設。求2015年第七屆全國大學生數學競賽預賽試卷一、填空題（每小題6分，共5小題，滿分30分）（1）極限.（2）設函數由方程所決定，其中具有連續偏導數，且。則.（3）曲面在點的切平面與曲面所圍區域的體積是.（4）函數在的傅立葉級數在收斂的值是.（3）設區間上的函數定義域為的，則的初等函數表達式是.二、（12分）設是以三個正半軸為母線的半圓錐面，求其方程。三、（12分）設在內二次可導，且存在常數，使得對于，有，則在內無窮次可導。四、（14分）求冪級數的收斂域，及其和函數。五、（16分）設函數在上連續，且。試證：（1）使（2）使六、（16分）設在上有連續的二階偏導數，且。若證明：。2016年第八屆全國大學生數學競賽填空題（每小題5分，滿分30分）若在點可導，且，則.若，存在，求極限.3、設有連續導數，且，記，若，求在的表達式.設，求，.求曲面平行于平面的切平面方程.二、（14分）設