2.函數與導數1．求函數的定義域，關鍵是依據含自變量x的代數式有意義來列出相應的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數一定是非負數；對數式中的真數是正數；列不等式時，應列出所有的不等式，不應遺漏．[回扣問題1]函數f(x)＝eq\r(log2x－1)的定義域為________．解析要使函數f(x)有意義，則log2x－1≥0，即x≥2，則函數f(x)的定義域是[2，＋∞)．答案[2，＋∞)2．求函數解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系數法；(3)換元(配湊)法；(4)解方程法等．用換元法求解析式時，要注意新元的取值范圍，即函數的定義域問題．[回扣問題2]已知f(eq\r(x))＝x＋2eq\r(x)，則f(x)＝________．答案x2＋2x(x≥0)3．分段函數是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應關系的函數，它是一個函數，而不是幾個函數．[回扣問題3]已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x＜0，,lnx，x＞0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))))＝________．答案eq\f(1,e)4．函數的奇偶性若f(x)的定義域關于原點對稱，f(x)是偶函數f(－x)＝f(x)＝f(|x|);f(x)是奇函數f(－x)＝－f(x)；定義域含0的奇函數滿足f(0)＝0；定義域關于原點對稱是函數為奇函數或偶函數的必要不充分的條件；判斷函數的奇偶性，先求定義域，若其定義域關于原點對稱，再找f(x)與f(－x)的關系．[回扣問題4](1)若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函數，則實數a＝________．(2)已知f(x)為偶函數，它在[0，＋∞)上是減函數，若f(lgx)＞f(1)，則x的取值范圍是________．答案(1)eq\f(1,10)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，10))5．函數的周期性由周期函數的定義“函數f(x)滿足f(x)＝f(a＋x)(a≠0)，則f(x)是周期為a的周期函數”得：①函數f(x)滿足－f(x)＝f(a＋x)，則f(x)是周期T＝2a的周期函數；②若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)(a≠0)成立，則T＝2a；③若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)(a≠0)恒成立，則T＝2a.[回扣問題5]函數f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區間(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))則f(f(15))的值為________．解析因為函數f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函數f(x)的最小正周期是4.因為在區間(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))所以f(f(15))＝f(f(－1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)6．函數的單調性(1)定義法：設x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0f(x)在[a，b]上是增函數；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0f(x)在[a，b]上是減函數．(2)導數法：注意f′(x)＞0能推出f(x)為增函數，但反之不一定．如函數f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調遞增，但f′(x)≥0；∴f′(x)＞0是f(x)為增函數的充分不必要條件．(3)復合函數由同增異減的判定法則來判定．(4)求函數單調區間時，多個單調區間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接，或用“，”隔開．單調區間必須是“區間”，而不能用集合或不等式代替．[回扣問題6](1)函數f(x)＝eq\f(1,x)的單調減區間為________．(2)已知函數f(x)是定義在區間[0，＋∞)上的函數，且在該區間上單調遞增，則滿足f(2x－1)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))答案(1)(－∞，0)，(0，＋∞)(2)D7．求函數最值(值域)常用的方法：(1)單調性法：適合于已知或能判斷單調性的函數；(2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數；(3)基本不等式法：特別適合于分式結構或兩元的函數；(4)導數法：適合于可導函數；(5)換元法(特別注意新元的范圍)；(6)分離常數法：適合于一次分式；(7)有界函數法：適用于含有指、對數函數或正、余弦函數的式子．無論用什么方法求最值，都要考查“等號”是否成立，特別是基本不等式法，并且要優先考慮定義域．[回扣問題7]函數y＝eq\f(2x,2x＋1)的值域為________．答案(0，1)8．函數圖象的幾種常見變換(1)平移變換：左右平移——“左加右減”(注意是針對x而言)；上下平移——“上加下減”．(2)翻折變換：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．(3)對稱變換：①證明函數圖象的對稱性，即證圖象上任意點關于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖象上；②函數y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于原點成中心對稱；③函數y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關于直線x＝0(y軸)對稱；函數y＝f(x)與函數y＝－f(x)的圖象關于直線y＝0(x軸)對稱．[回扣問題8](1)函數y＝eq\f(3x－1,x＋2)的圖象關于點________對稱．(2)函數f(x)＝|lgx|的單調遞減區間為________．答案(1)(－2，3)(2)(0，1)9．二次函數問題(1)處理二次函數的問題勿忘數形結合．二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向，二看對稱軸與所給區間的相對位置關系．(2)二次函數解析式的三種形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②頂點式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(3)一元二次方程實根分布：先觀察二次項系數，Δ與0的關系，對稱軸與區間的關系及有窮區間端點函數值符號，再根據上述特征畫出草圖．尤其注意若原題中沒有指出是“二次”方程、函數或不等式，要考慮到二次項系數可能為零的情形．[回扣問題9]關于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一個正根的充要條件是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))10．指數與對數的運算性質：(1)指數運算性質：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r，s∈Q)．(2)對數運算性質：已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0，則loga(MN)＝logaM＋logaN，logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，對數換底公式：logaN＝eq\f(logbN,logba).推論：logamNn＝eq\f(n,m)logaN；logab＝eq\f(1,logba).[回扣問題10]設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝()A.eq\r(10) B．10 C．20 D．100答案A11．指數函數與對數函數的圖象與性質：可從定義域、值域、單調性、函數值的變化情況考慮，特別注意底數的取值對有關性質的影響，另外，指數函數y＝ax的圖象恒過定點(0，1)，對數函數y＝logax的圖象恒過定點(1，0)．[回扣問題11](1)已知a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,3)，則()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)函數y＝loga|x|的增區間為________．答案(1)D(2)當a＞1時，(0，＋∞)；當0＜a＜1時，(－∞，0)12．函數與方程(1)對于函數y＝f(x)，使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．事實上，函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數根．(2)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續曲線，且有f(a)f(b)＜0，那么函數y＝f(x)在區間[a，b]內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此時這個c就是方程f(x)＝0的根；反之不成立．[回扣問題12]設函數y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在區間是()A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)答案B13．導數的幾何意義函數y＝f(x)在點x0處的導數的幾何意義：函數y＝f(x)在點x0處的導數是曲線y＝f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率f′(x0)，相應的切線方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)．注意過某點的切線不一定只有一條．[回扣問題13]已知函數f(x)＝x3－3x，過點P(2，－6)作曲線y＝f(x)的切線，則此切線的方程是____________．答案3x＋y＝0或24x－y－54＝014．常用的求導方法(1)(xm)′＝mxm－1，(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx，(ex)′＝ex，(lnx)′＝eq\f(1,x)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2).(2)(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′＝eq\f(u′v－uv′,v2)(v≠0)．[回扣問題14]已知f(x)＝xlnx，則f′(x)＝________；已知f(x)＝eq\f(ex,x)，則f′(x)＝________．答案lnx＋1eq\f(ex（x－1）,x2)15．利用導數判斷函數的單調性：設函數y＝f(x)在某個區間內可導，如果f′(x)＞0，那么f(x)在該區間內為增函數；如果f′(x)＜0，那么f(x)在該區間內為減函數；如果在某個區間內恒有f′(x)＝0，那么f(x)在該區間內為常函數．注意如果已知f(x)為減函數求字母取值范圍，那