專題八立體幾何

8.1空間幾何體的三視圖、外表積和體積考點一

簡單幾何體的結構特征考點清單考向根底1.棱柱的結構特征(1)棱柱的主要結構特征:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且

每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行.棱柱的兩個互相平行的面叫做

棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的側面,兩側面的公共邊叫做棱柱的側

棱.棱柱的兩底面之間的距離,叫做棱柱的高.(2)棱柱的分類:按側棱與底面的位置關系可分為斜棱柱、直棱柱;按底

面多邊形邊數可分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等;底面是正多邊形的直

棱柱又稱為①正棱柱

.2.棱錐的結構特征(1)棱錐的定義:有一個面是多邊形,其余各面是有一個公共頂點的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐.(2)正棱錐的定義:如果一個棱錐的底面是正多邊形,并且頂點在底面內

的射影是底面中心,這樣的棱錐叫做正棱錐.(3)正棱錐的性質:(i)各側棱②相等

,各側面都是③全等的等腰三角形

,各等腰三

角形底邊上的高相等.側面等腰三角形底邊上的高叫做正棱錐的④斜高

.(ii)棱錐的高、斜高和斜足與底面中心連線組成一個直角三角形;棱錐

的高、側棱和側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形.3.圓柱、圓錐、圓臺的特征分別以⑤矩形一邊

、⑥直角三角形一直角邊

、⑦直角梯形中垂直于底邊的腰

所在的直線為旋轉軸,其余各邊旋轉一周而形成的

面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺.其中,旋轉軸叫做所圍

成的幾何體的軸;垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做這個幾何體的底

面;不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做這個幾何體的側面,無論旋轉

到什么位置,這條邊都叫做側面的⑧母線

.4.棱臺、圓臺的定義用平行于底面的平面分別去截棱錐、圓錐,⑨截面與底面間

的局部

分別叫做棱臺、圓臺.5.球(1)一個半圓圍繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫做球

面,球面所圍成的幾何體叫做球.形成球的半圓的圓心叫做球心;連接球面上一點和球心的線段叫做球的

半徑;連接球面上兩點且通過球心的線段叫做球的直徑.(2)球面被不經過球心的平面截得的圓叫做球的小圓,被經過球心的平

面截得的圓叫做球的大圓.球的截面性質:r=⑩

,其中r為截面圓的半徑,R為球的半徑,d

為球心到截面圓圓心的距離.考點二

斜二測畫法考向根底水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法的步驟:(1)在圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于O點.畫直觀圖時,

把它們畫成對應的x'軸與y'軸,兩軸相交于O'點,且使∠x'O'y'=45°(或135

°),它們確定的平面表示水平面;(2)圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸

或y'軸的線段;(3)圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y

軸的線段,長度變為原來的一半.考點三

簡單幾何體的三視圖考向根底1.幾何體的三視圖指正視圖、側視圖、俯視圖.又稱為主視圖、左

視圖、俯視圖.“視圖〞是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖.光線自

物體的前面向后正投影,所得的投影圖稱為“正視圖〞;自左向右正投

影,所得的投影圖稱為“側視圖〞;自上向下正投影,所得的投影圖稱為

“俯視圖〞.2.三視圖的畫法要求(1)在畫三視圖時,重疊的線只畫一條,擋住的線要畫成虛線.(2)三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左

方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.畫三視圖的根本要求:正俯一樣長,俯側一樣寬,正側一樣高.(3)由三視圖想象幾何體特征時要根據“①長對正

、②寬相等

、③高平齊

〞的根本原那么.3.平行投影的投影線④互相平行

;中心投影的投影線交于一點.考點四

空間幾何體的外表積和體積考向根底1.柱體、錐體、臺體的側面積就是各側面面積之和,外表積是各個

面的面積之和,即①側面積

與②底面面積

之和.2.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展開圖,它的

外表積就是展開圖的面積.3.圓柱的側面積公式是S柱側=③2πrl

,外表積公式是S柱=④2πr(r+l)

;圓錐的側面積公式是S錐側=⑤

πrl

,外表積公式是S錐=⑥

πr(r+l)

;圓臺的側面積公式是S臺側=⑦

π(r+r')l

,外表積公式是S臺=π(r'2+r2+r'

l+rl),其中r',r分別為上、下底面的半徑,l為母線長.4.長方體的體積公式為V=abc,正方體的體積公式為V=a3,圓柱的體積公

式為V=πr2h.棱柱和圓柱的體積公式可以統一為V柱=Sh,其中S為底面面積,h為高.5.圓錐的體積公式為V=⑧

?πr2h

,棱錐的體積公式為V=?Sh.圓錐和棱錐的體積公式可以統一為V錐=⑨

?Sh

,其中S為底面面積,h為高.6.圓臺的體積公式為V=?π(r'2+r'r+r2)h,棱臺的體積公式為V=?(S'+?+S)h.圓臺和棱臺的體積公式可以統一為V臺=?(S'+?+S)h,其中S'、S分別為上、下底面的面積,h為高.7.球的體積及球的外表積公式(1)半徑為R的球的體積為V=?πR3;(2)半徑為R的球的外表積為S=4πR2.【知識拓展】1.特殊的棱柱和棱錐(1)側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;底面是正多邊形的直棱柱叫做

正棱柱.(2)底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐

叫做正棱錐.特別地,各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.(3)特殊的四棱柱:

(4)用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的局部是棱

臺.2.假設長方體的長、寬、高分別為a、b、c,那么它的體對角線長l=

?.方法1

根據三視圖確定直觀圖的方法(1)三視圖為三個三角形,對應三棱錐;(2)三視圖為兩個三角形,一個四邊形,對應四棱錐;(3)三視圖為兩個三角形,一個帶圓心的圓,對應圓錐;(4)三視圖為一個三角形,兩個四邊形,對應三棱柱;(5)三視圖為兩個四邊形,一個圓,對應圓柱.方法技巧例1

如圖,某多面體的三視圖中正視圖、側視圖和俯視圖的外輪廓分

別為直角三角形、直角梯形和直角三角形,那么該多面體的各條棱中,最

長的棱的長度為()

A.2?

B.?

C.2?

D.?解題導引

解析由題意得,該多面體的直觀圖如下圖,最長的棱為AC=

?=?=2?,應選C.

答案

C方法2

空間幾何體的外表積和體積的求解方法1.空間幾何體外表積的求法(1)外表積是各個面的面積之和.求多面體的外表積時,只需將它們沿著

棱剪開后展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的外表

積.求旋轉體的外表積時,可從旋轉體的生成過程及其幾何特征入手,將

其展開求外表積,但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖

中的邊長關系.(2)求不規那么幾何體的外表積時,通常將所給幾何體分割成根本的柱、

錐、臺體,先求出這些根本的柱、錐、臺體的外表積,再通過求和或作

差,求出幾何體的外表積.2.空間幾何體體積的求法(1)求簡單幾何體的體積.假設所給的幾何體為柱體、錐體或臺體,那么可直

接利用公式求解.(2)求組合體的體積.假設所給的幾何體是組合體,不能直接利用公式求解,

那么常用轉換法、分割法、補形法等進行求解,特別地,三棱錐的體積常

用等體積法求解.(3)求以三視圖為背景的幾何體的外表積或體積,應先根據三視圖得到

幾何體的直觀圖,然后根據條件求解.(4)利用“等體積法〞可求點到平面的距離.例2

(2021浙江名校協