/09/9/單元檢測十二概率、隨機變量及其分布(提升卷)考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．2．答卷前，考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上．3．本次考試時間100分鐘，滿分130分．4．請在密封線內作答，保持試卷清潔完整．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們六個面上分別標有點數1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的點數分別為X，Y，則log2XY＝1的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,2)答案C解析由題意知X，Y應滿足Y＝2X，所以滿足題意的有(1,2)，(2,4)，(3,6)三種，所以概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).2．一袋中裝有大小相同，編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號和不小于15的概率為()A.eq\f(1,32)B.eq\f(1,64)C.eq\f(3,32)D.eq\f(3,64)答案D解析從中有放回地取2次，所取號碼的情況共有8×8＝64(種)，其中編號和不小于15的有3種，分別是(7,8)，(8,7)，(8,8)，共3種．由古典概型概率公式可得所求概率為P＝eq\f(3,64).3．已知ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,4)B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8)D．1－eq\f(π,8)答案B解析根據幾何概型得，取到的點到O的距離大于1的概率P＝eq\f(d,D)＝eq\f(圓外部分的面積,矩形的面積)＝eq\f(2－\f(π,2),2×1)＝1－eq\f(π,4).4．歐陽修《賣油翁》中寫道：“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”．賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．設銅錢是直徑為4cm的圓，它中間有邊長為1cm的正方形孔．若隨機向銅錢上滴一滴油，則油滴(不計油滴的大小)正好落入孔中的概率為()A.eq\f(1,4π)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16π)D.eq\f(1,16)答案A解析由題意得，所求的概率為eq\f(12,π×22)＝eq\f(1,4π)，故選A.5．一張儲蓄卡的密碼共有6位數字，每位數字都可以從0～9中任選一個，某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼最后一位數字，如果任意按最后一位數字，不超過2次就按對的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,10)答案C解析一張儲蓄卡的密碼共有6位數字，每位數字都可以從0～9中任選一個，某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼最后一位數字，任意按最后一位數字，不超過2次就按對的概率為：P＝eq\f(1,10)＋eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,5).6.如圖所示，在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O作為起點作射線OC，OD，則使∠AOC＋∠BOD＜45°的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,16)答案C解析設∠AOC＝x°，∠BOD＝y°，把(x，y)看作坐標平面上的點，則試驗的全部結果所構成的區域為Ω＝{(x，y)|0≤x≤90,0≤y≤90}，若事件A表示∠AOC＋∠BOD＜45°，則其所構成的區域為A＝{(x，y)|x＋y<45,0≤x≤90,0≤y≤90}，即圖中的陰影部分，故S陰影＝eq\f(1,2)×45×45.由幾何概型的概率公式，得所求概率P(A)＝eq\f(\f(1,2)×45×45,90×90)＝eq\f(1,8).7．有一種競猜游戲，游戲規則如下：在20個商標牌中，有5個商標牌的背面注明了一定的獎金金額，其余商標牌的背面是一張笑臉，若翻到笑臉，則不得獎，參加這個游戲的人有三次翻牌的機會．某人前兩次翻牌均得若干獎金，如果翻過的牌不能再翻，那么此人第三次翻牌獲獎的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,20)答案B解析因為20個商標有5個中獎，翻了兩個都中獎，所以還剩18個，其中還有3個會中獎，所以這位觀眾第三次翻牌獲獎的概率是eq\f(3,18)＝eq\f(1,6).故選B.8．(2018·福建省廈門外國語學校模擬)我國成功申辦2022年第24屆冬季奧林匹克運動會，屆時冬奧會的高山速降運動將給我們以速度與激情的完美展現，某選手的速度ξ服從正態分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)內的概率為0.7，則其速度超過120的概率為()A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2答案C解析由題意可得，μ＝100，且P(80＜ξ＜120)＝0.7，則P(ξ＜80或ξ＞120)＝1－P(80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3.∴P(ξ＞120)＝eq\f(1,2)P(ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.則他速度超過120的概率為0.15.9．某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是()A．0.4B．0.6C．0.75D．0.8答案D解析設“某一天的空氣質量為優良”為事件A,“隨后一天的空氣質量為優良”為事件B，則P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.10．隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)等于()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A.2B．3C．4D．5答案C解析p＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2，則a＝3，∴D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1，∴D(2X－3)＝22D(X)＝4.11．(2018·黑龍江省哈爾濱市第六中學考試)甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為eq\f(2,3)，且各局比賽結果相互獨立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)答案B解析由題意，甲獲得冠軍的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(20,27)，其中比賽進行了3局的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，∴所求概率為eq\f(8,27)÷eq\f(20,27)＝eq\f(2,5).12．口袋里放有大小相等的兩個紅球和一個白球，有放回地每次摸取一個球，數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，第n次摸到紅球，,1，第n次摸到白球，))如果Sn為數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和，那么S7＝3的概率為()A．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5 B．Ceq\o\al(2,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5C．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5 D．Ceq\o\al(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5答案B解析據題意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到紅球，由獨立重復試驗即可確定其概率，故選B.第Ⅱ卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．若某人在打靶時連續射擊2次，則事件“至少有1次中靶”的對立事件是______________．答案兩次都未中靶14．若連續擲兩次骰子，第一次擲得的點數為m，第二次擲得的點數為n，則點P(m，n)落在圓x2＋y2＝16內的概率是________．(骰子為正方體，且六個面分別標有數字1,2，…，6)答案eq\f(2,9)解析由題意得，基本事件總數為36，點P落在圓內包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8個，由古典概型概率公式可得所求概率為eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).15．設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(c,k?k＋1?)，k＝1,2,3，c為常數，則P(0.5<ξ<2.5)＝________.答案eq\f(8,9)解析隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(c,k?k＋1?)，k＝1,2,3，∴eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＋eq\f(c,12)＝1，即eq\f(6c＋2c＋c,12)＝1，解得c＝eq\f(4,3)，∴P(0.5＜ξ＜2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＝eq\f(4,6)×eq\f(4,3)＝eq\f(8,9).16．某籃球運動員投中籃球的概率為eq\f(2,3)，則該運動員“投籃3次至多投中1次”的概率是________．(結果用分數表示)答案eq\f(7,27)解析“投籃3次至多投中1次”包括只投中一次，和全部沒有投中，故“投籃3次至多投中1次”的概率是Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(3,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(7,27).三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(12分)甲、乙、丙3人投籃，投進的概率分別是eq\f(1,3)，eq\f(2,5)，eq\f(1,2).(1)現3人各投籃1次，求3人至少一人投進的概率；(2)用ξ表示乙投籃4次的進球數，求隨機變量ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ)．解(1)記“甲投籃1次投進”為事件A，“乙投籃1次投進”為事件B，“丙投籃1次投進”為事件C，“至少一人投進”為事件D.P(D)＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\f(4,5).(2)隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，所以，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))4－k(k＝0,1,2,3,4)，故隨機變量ξ的分布列為ξ01234Peq\f(81,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)E(ξ)＝0×eq\f(81,625)＋1×eq\f(216,625)＋2×eq\f(216,625)＋3×eq\f(96,625)＋4×eq\f(16,625)＝eq\f(8,5)，D(ξ)＝eq\f(24,25).18．(12分)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名同學的投籃命中次數，乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中用x表示．(1)若乙組同學投籃命中次數的平均數比甲組同學的平均數少1，求x的值及乙組同學投籃命中次數的方差；(2)在(1)的條件下，分別從甲、乙兩組投籃命中次數低于10的同學中，各隨機選取1名，求這2名同學的投籃命中次數之和為16的概率．解(1)依題意得eq\f(x＋8×2＋9＋10,5)＝eq\f(7＋8＋9＋11×2,5)－1，解得x＝6，eq\x\to(x)乙＝eq\f(41,5)，s2＝eq\f(1,5)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－6))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－8))2×2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－9))2＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,5)－10))2))＝1.76.(2)記甲組投籃命中次數低于10次的同學為A1，A2，A3，他們的命中次數分別為9,8,7.乙組投籃命中次數低于10次的同學為B1，B2，B3，B4，他們的命中次數分別為6,8,8,9.依題意，不同的選取方法有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，共12種．設“這兩名同學的投籃命中次數之和為16”為事件C，其中恰含有(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B4)，共3種．∴P(C)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).19．(13分)(2018·武漢重點中學模擬)某校為了更好地管理學生用手機問題，根據學生每月用手機時間(每月用手機時間總和)的長短將學生分為三類：第一類的時間區間在[0,30)，第二類的時間區間在[30,60)，第三類的時間區間在[60,720](單位：小時)，并規定屬于第三類的學生要進入“思想政治學習班”進行思想和心理的輔導．現對該校二年級1014名學生進行調查，恰有14人屬于第三類，這14名學生被學校帶去政治學習．由剩下的1000名學生用手機時間情況，得到如圖所示頻率分布直方圖.(1)求這1000名學生每月用手機時間的平均數；(2)利用分層抽樣的方法從1000名選出10名學生代表，若從該10名學生代表中任選兩名學生，求這兩名學生用手機時間屬于不同類型的概率；(3)若二年級學生長期保持著這一用手機的現狀，學校為了鼓勵學生少用手機，連續10個月，每個月從這1000名學生中隨機抽取1名，若取到的是第一類學生，則發放獎品一份，設X為獲獎學生人數，求X的均值E(X)與方差D(X)．解(1)平均數為5×0.010×10＋15×0.030×10＋25×0.040×10＋35×0.010×10＋45×0.006×10＋55×0.004×10＝23.4(小時)．(2)由頻率分布直方圖可知，采用分層抽樣抽取10名學生，其中8名為第一類學生，2名為第二類學生，則從該10名學生代表中抽取2名學生且這兩名學生不屬于同一類的概率為eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45).(3)由題可知，這1000名學生中第一類學生占80%，則每月從1000名學生中隨機抽取1名學生，是第一類學生的概率為0.8，則連續10個月抽取，獲獎人數X～B(10,0.8)，其均值E(X)＝np＝10×0.8＝8，方差D(X)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6.20．(13分)現對某市工薪階層關于“樓市限購令”的態度進行調查，隨機抽調了50人，他們月收入的頻數分布及對“樓市限購令”贊成人數如下表.月收入(單位：百元)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]頻數510151055贊成人數4812521(1)由以上統計數據填下面2×2列聯表并問是否有99%的把握認為月收入以5500為分界點對“樓市限購令”的態度有差異；月收入不低于55百元的人數月收入低于55百元的人數合計贊成a＝__________c＝__________不贊成b＝__________d＝__________合計(2)若對在[15,25)，[25,35)的被調查的人中各隨機選取2人進行追蹤調查，記選中的4人中不贊成“樓市限購令”的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及均值．附：K2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?).P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)2×2列聯表如下：月收入不低于55百元的人數月收入低于55百元的人數合計贊成a＝3c＝2932不贊成b＝7d＝1118合計104050因為K2≈6.2