PAGEPAGE6第9講函數模型及其應用[A級基礎練]1．某電視新產品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數x之間關系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：選C．根據函數模型的增長差異和題目中的數據可知，應為指數型函數模型，代入數據驗證即可得．故選C．2．已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動．設點P運動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數S＝f(x)的圖象是()解析：選D．依題意知當0≤x≤4時，f(x)＝2x；當4<x≤8時，f(x)＝8；當8<x≤12時，f(x)＝24－2x，觀察四個選項知D項符合要求．3．“酒駕猛于虎”，所以交通法規規定：駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2mg/mL.假設某人喝了少量酒，血液中酒精含量迅速上升到0.8mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小時50%的速度減少，則他至少要經過________小時后才可以駕駛機動車．()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B．設n個小時后才可以駕駛機動車，則0.8×(1－50%)n＝0.2.解得n＝log0.50.25＝2.即至少要經過2個小時后才可以駕駛機動車．故選B．4．2020年3月，國內新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光．某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優惠方案如表：購票人數1～5051～100100以上門票價格13元/人11元/人9元/人兩個旅游團隊計劃游覽該景點，若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成一個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數之差為()A．20 B．30C．35 D．40解析：選B．設兩個旅游團隊的人數分別為a，b，且a，b∈N*，不妨令a≥b.因為1290不能被13整除，所以a＋b≥51.若51≤a＋b≤100，則11(a＋b)＝990，得a＋b＝90，①由共需支付門票費為1290元可知，11a＋13b＝1290，②聯立①②解得b＝150，a＝－60，不符合題意；若a＋b>100，則9(a＋b)＝990，得a＋b＝110，③由共需支付門票費為1290元可知，1≤b≤50，51≤a≤100，得11a＋13b＝1290，④聯立③④解得a＝70，b＝40.所以這兩個旅游團隊的人數之差為70－40＝30.故選B．5．射線測厚技術原理公式為I＝I0e－ρμt，其中I0，I分別為射線穿過被測物前后的強度，e是自然對數的底數，t為被測物厚度，ρ為被測物的密度，μ是被測物對射線的吸收系數．工業上通常用镅241(241Am)低能γ射線測量鋼板的厚度．若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數為(注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質厚度，ln2≈0.6931，結果精確到0.001)()A．0.110 B．0.112C．0.114 D．0.116解析：選C．由射線測厚技術原理公式得eq\f(I0,2)＝I0e－7.6×0.8μ，所以eq\f(1,2)＝e－6.08μ，－ln2＝－6.08μ，μ≈0.114，故選C．6．某購物網站在2020年11月開展“全部6折”促銷活動，在11日當天購物還可以再享受“每張訂單金額(6折后)滿300元時可減免100元”．某人在11日當天欲購入原價48元(單價)的商品共42件，為使花錢總數最少，他最少需要下的訂單張數為________．解析：為使花錢總數最少，需使每張訂單滿足“每張訂單金額(6折后)滿300元時可減免100元”，即每張訂單打折前原金額不少于500元．由于每件原價48元，因此每張訂單至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的訂單張數為3.答案：37．某市用37輛汽車往災區運送一批救災物資，假設以vkm/h的速度直達災區，已知某市到災區公路線長400km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))eq\s\up12(2)km，那么這批物資全部到達災區的最少時間是________h．(車身長度不計)解析：設全部物資到達災區所需時間為th，由題意可知，t相當于最后一輛車行駛了eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))\s\up12(2)＋400))km所用的時間，因此，t＝eq\f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))\s\up12(2)＋400,v)＝eq\f(36v,400)＋eq\f(400,v)≥2eq\r(\f(36v,400)×\f(400,v))＝12，當且僅當eq\f(36v,400)＝eq\f(400,v)，即v＝eq\f(200,3)時取等號．故這些汽車以eq\f(200,3)km/h的速度勻速行駛時，所需時間最少，最少時間為12h.答案：128．為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫藥公司研究出一種消毒劑，據實驗表明，該藥物釋放量y(mg/m3)與時間t(h)的函數關系為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kt，0<t<\f(1,2)，,\f(1,kt)，t≥\f(1,2)，))(如圖所示)實驗表明，當藥物釋放量y<0.75(mg/m3)時對人體無害．(1)k＝________；(2)為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經過________分鐘人方可進入房間．解析：(1)由題圖可知，當t＝eq\f(1,2)時，y＝1，所以eq\f(2,k)＝1，所以k＝2.(2)由(1)可知：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t，0<t<\f(1,2),\f(1,2t)，t≥\f(1,2)，))當t≥eq\f(1,2)時，y＝eq\f(1,2t)，令y<0.75，得t>eq\f(2,3)，所以在消毒后至少經過eq\f(2,3)小時，即40分鐘人方可進入房間．答案：(1)2(2)409．“活水圍網”養魚技術具有養殖密度高、經濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網”養魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養殖密度x(單位：尾/立方米)的函數．當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4<x≤20時，v是x的一次函數，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．(1)當0<x≤20時，求v關于x的函數解析式；(2)當養殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值．解：(1)由題意得當0<x≤4時，v＝2；當4＜x≤20時，設v＝ax＋b，a≠0，顯然v＝ax＋b在(4，20]內是減函數，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2)，故函數v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，x∈N＋,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20，x∈N＋.))(2)設年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20.))當0<x≤4時，f(x)為增函數，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；當4<x≤20時，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以當0<x≤20時，f(x)的最大值為12.5.即當養殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米．[B級綜合練]10．(2020·高考全國卷Ⅲ)Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23(t－53))，其中K為最大確診病例數．當I(t*)＝0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln19≈3)()A．60 B．63C．66 D．69解析：選C．由題意可知，當I(t*)＝0.95K時，eq\f(K,1＋eeq\s\up6(－0.23(t*－53)))＝0.95K，即eq\f(1,0.95)＝1＋eeq\s\up6(－0.23(t*－53))，eeq\s\up6(－0.23(t*－53))＝eq\f(1,19)，eeq\s\up6(0.23(t*－53))＝19，所以0.23(t*－53)＝ln19≈3，所以t*≈66.故選C．11．5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：C＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N))).它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內信號的平均功率S、信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．按照香農公式，若不改變帶寬W，而將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000，則C大約增加了()A．10% B．30%C．50% D．100%解析：選A．將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000，C大約增加了eq\f(Wlog2(1＋2000)－Wlog2(1＋1000),Wlog2(1＋1000))＝eq\f(log22001－log21001,log21001)≈eq\f(10.967－9.967,9.967)≈10%，故選A．12．某公司計劃投資開發一種新能源產品，預計能獲得10萬元～1000萬元的收益．現準備制定一個對開發科研小組的獎勵方案：資金y(單位：萬元)隨收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金總數不超過9萬元，同時獎金總數不超過收益的20%.(1)若建立獎勵方案函數模型y＝f(x)，試確定這個函數的定義域、值域和eq\f(y,x)的范圍；(2)現有兩個獎勵函數模型：①y＝eq\f(x,150)＋2；②y＝4lgx－3.試分析這兩個函數模型是否符合公司的要求？請說明理由．解：(1)y＝f(x)的定義域是[10，1000]，值域是(0，9]，eq\f(y,x)∈(0，0.2]．(2)當y＝eq\f(x,150)＋2時，eq\f(y,x)＝eq\f(1,150)＋eq\f(2,x)的最大值是eq\f(31,150)>0.2，不符合公司的要求．當y＝4lgx－3時，函數在定義域上為增函數，最大值為9.由eq\f(y,x)≤0.2可知y－0.2x≤0.令g(x)＝4lgx－3－0.2x，x∈[10，1000]，則g′(x)＝eq\f(20－xln10,5xln10)<0，所以g(x)在[10，1000]上單調遞減，所以g(x)≤g(10)＝－1<0，即eq\f(y,x)≤0.2.故函數y＝4lgx－3符合公司的要求．[C級提升練]13．某旅游景點預計2021年1月份起前x個月的旅游人數的和p(x)(單位：萬人)與x的關系近似為p(x)＝eq\f(1,2)x·(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x個月的人均消費額q(x)(單位：元)與x的近似關系是q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(35－2x，x∈N*，且1≤x≤6，,\f(160,x)，x∈N*且7≤x≤12.))(1)寫出2021年第x個月的旅游人數f(x)(單位：萬人)與x的函數關系式；(2)試問2021年第幾個月的旅游消費總額最大？最大月旅游消費總額為多少元？解：(1)當x＝1時，f(1)＝p(1)＝37，當2≤x≤12，且x∈N*時，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq\f(1,2)x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，經驗證x＝1時也滿足此式．所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)第x(x∈N*)個月的旅游消費總額為g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\c