PAGEPAGE8第2課時空間向量的數量積課標解讀課標要求素養要求1.掌握空間向量的夾角的概念及表示方法.2.理解兩個向量的數量積的概念、性質、計算方法及運算規律.3.掌握兩個向量的數量積的主要用途，能運用數量積求向量的夾角和判斷向量垂直.1.數學抽象——能理解兩個向量的數量積的定義及運算規律.2.直觀想象——能根據圖形與數量積的定義計算兩個向量的數量積.3.數學運算——能根據向量的數量積判定兩個向量垂直.自主學習·必備知識教材研習教材原句要點一空間向量的夾角與垂直1.向量的夾角平面內，給定兩個非零向量a,b，①任意在平面內選定一點O，作OA=a，OB=b，則大小在[0,π]內的2.向量的垂直如果?a,b?=π2，則稱向量a與要點二空間向量的數量積1.數量積的定義平面內，兩個非零向量a與b的數量積（也稱為內積）定義為a?2.數量積的幾何意義兩個向量數量積的幾何意義與④投影有關，如圖所示，過a的始點和終點分別向b所在的直線作⑤垂線，即可得到向量a在向量b.上的投影a'，a與b的數量積等于a在b上的投影a'的數量與b的長度的⑥乘積.特別地，a與單位向量e的數量積等于a在e上的投影a'3.向量在直線（或平面）上的投影一般地，給定空間向量a和空間中的直線l（或平面α），過a的始點和終點分別作直線l（或平面α）的垂線，假設垂足為A,B，則向量AB稱為a在直線l（或平面α）_上的投影.4.數量積的性質空間向量的數量積具有以下性質：（1）a⊥（2）a?（3）|a（4）(λa（5）a?（6）(a自主思考1.若兩個向量的夾角為0或π，則這兩個向量分別是什么關系？答案：提示若兩個向量的夾角為0，則這兩個向量方向相同；若兩個向量的夾角為π，則這兩個向量的方向相反.2.若a∥b，a,b為非零向量，且a⊥答案：提示π23.兩個向量的數量積是一個實數還是一個向量？若是一個實數，其符號是由什么確定的？答案：提示兩個向量的數量積是-一個實數，其符號由cos?a,b?決定，即當?a,b?是銳角時，a4.已知|a|=13,a答案：提示向量b在向量a方向上的投影的數量為a?5.若a在e上的投影a'的數量為1，且|a|=2，則a答案：提示60°名師點睛數量積運算的關注點（1）數量積運算不滿足消去律.若a、b、c(b≠0)為實數，則ab=bc?a=c；但對于向量不正確，即a?（2）數量積運算不滿足結合律.數量積運算只適合交換律、加乘分配律及數乘結合律，但不適合乘法結合律，即(a?b)?c不一定等于a?(b?c).這是因為(a（3）空間向量沒有除法運算.對于三個不為零的實數a、b、c，若ab=c，則a=cb或b=ca；但對于向量a、b，若a?互動探究·關鍵能力探究點一空間向量的夾角自測自評1.如圖所示，已知四面體ABCD的每條棱長都等于a，點E、F、G分別是棱AB、AD、DC的中點，求下列向量夾角的大小.（1）?AB,BA?；（2）（4）?BC,BD?；（5）答案：（1）?AB（2）因為EF∥BD且方向相同，所以（3）因為GF∥AC且方向相反，所以（4）因為△BCD是等邊三角形，所以?BC（5）因為AC與CD首尾相接，所以?AC（6）因為GF∥CA，所以2.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，分別求向量AC與向量A'答案：連接BD，如圖，則在正方體ABCD-A'B'C'D所以?AC?AC?AC?AC?AC解題感悟找向量的夾角的關鍵是把兩向量平移到一個公共的起點，找到向量的夾角，再利用解三角形求角的大小，注意向量的夾角的范圍是[0,π探究點二數量積的計算精講精練例（1）已知向量e1,e2,e3A.15B.3C.-3D.5（2）已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，答案：（1）B解析：（1）由題意可知6a答案：（2）如圖所示，連接BD交AC于點O，連接OO∵AO1在AC上的投影為AO∴|AO|=2取AB的中點E，連接O1易知O1E⊥AB，∴AO1又|AE|=12a變式若本例（2）的條件不變，求A1答案：因為?A1B所以A1解題感悟求數量積的兩種情況及方法（1）已知向量的模和夾角：利用a?（2）在幾何體中求空間向量的數量積：先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式，再利用向量的數量積運算律展開，轉化成已知模和夾角的向量的數量積.遷移應用1.（多選）設a,A.a2=|C.(a?答案：A;D解析：由數量積的性質和運算律可知A、D正確；因為a?ba2運算后是實數，沒有2.三棱錐A-BCD中，AB=AC=AD=2，AB⊥AD，AB⊥A.0B.2C.-23D.答案：A解析：因為AB⊥AD，所以AB?AD=探究點三數量積性質的應用精講精練類型1求向量的模例1如圖，把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，若點P滿足BP=BA-A.3B.4-2C.4D.答案：A解析：取BD的中點M，連接MC,MA，如下圖所示：則MC⊥BD，AM⊥BD，因為MA∩MC=M，MA,MC?平面AMC，所以BD⊥平面AMC，所以AC⊥BD，所以CA?又由題意可知CM⊥平面ABD，AM?平面ABD，所以CM⊥AM，所以△AMC所以AC又BP=BA-BC+類型2求向量的夾角例2（2021山東濱州高二期中）已知空間向量a,b，|a|=1,|b|=2，且a-A.60°B.30°C.135答案：D解析：∵a-b與a垂直，∴(∴cos?a,b類型3解決垂直問題例3設e1,e2是互相垂直的單位向量，已知a=2e1A.-6B.6C.3D.-3答案：B解析：由a⊥b，得a?所以2k-12=0，所以k=6.解題感悟利用數量積的性質可求空間向量的夾角、模以及解決與垂直有關的問題.（1）a⊥（2）cos?（3）|a遷移應用1.已知a+b+c=A.30°B.C.60°答案：D解析：∵a+b+c=0∴cos2.在空間四邊形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，求證：答案：證明如圖所示，因為OA?BC=評價檢測·素養提升課堂檢測1.（多選）對于向量a,b,A.若a?b=0，則B.若λa=0，則C.若a2=D.若a?b>0答案：B;C2.已知|a|=2,|b答案：613.已知正四面體DABC的棱長為1，點E是AB的中點，則EC?答案：1素養演練數學運算——利用數量積求向量的夾角1.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C