高一下數學學案第10課時余弦定理【學習內容分析】單元知識結構圖：正弦定理和余弦定理是直角三角形中邊與角關系的推廣和一般化，是對三角形邊角關系的定量刻畫，是三角形邊角變化過程中的“不變性”，是三角形中邊與角相互聯系與轉化的橋梁和紐帶.正弦定理和余弦定理產生的背景主要有三個方面：一是三角形中邊與角之間有確定的關系，因此定性的“大邊對大角，大角對大邊”應該可以定量刻畫；二是由三角形全等的判定定理可知，如果三角形的三邊或兩邊及其夾角或兩角及一邊確定，那么這個三角形的其他邊和角隨之確定；三是直角三角形中有明確的邊角關系，這些邊角關系也許可以推廣到一般三角形中.【學習目標】（1）通過創設問題情境，探究三角形的邊角關系，體會特殊到一般，提升學生數學建模、數學抽象核心素養；（2）通過定理的證明過程，掌握余弦定理及其推論，體會轉化與化歸的思想方法，提升學生的邏輯推理、數學運算核心素養；（3）經歷定理三種語言的相互結合和轉化，解決簡單的實際問題，并能應用余弦定理初步判斷三角形的形狀，體會數形結合的思想方法.【學習重、難點】學習重點：余弦定理的證明.學習難點：余弦定理的探究過程.【知識準備】余弦定理前測班級：姓名：利用平面向量解決幾何問題的一般步驟建立平面幾何與向量的聯系，用表示問題中涉及的，將平面幾何問題轉化為向量問題；通過向量運算研究幾何元素之間的關系，如等；把翻譯成.用向量表示幾何關系數量關系：距離，即向量的，公式：；角度，即向量的，公式：.位置關系：平行，即向量，公式：；垂直，即向量，公式：.知識輸入第一階段推導余弦定理環節一：提出解三角形問題引入情境：如圖所示，設無法到達的兩個山峰的頂點分別為.其中，利用現代的測量工具可以測得地面上可到達的一點和其它任意一點的距離，也可以測得地面上可到達的一點和其它任意兩點連線的夾角.那么我們如何獲得兩點間的距離呢？在地面上任取一點，三點可以構成一個三角形，然后借助三角形的邊角關系來求解.通過測量，可以得到兩邊的長度和的大小.【問題1】思考能否將這一問題進一步抽象成數學問題？環節二：用向量法解決解三角形問題問題引導語：我們已經學習過用向量方法解決幾何問題，通常要先用向量表示相應幾何元素，通過向量運算研究其關系，并得到相應結論.【問題2】在中，已知和，求線段的長度.探究活動1：請同學們以小組合作的形式，嘗試回答下列問題.追問1：畫圖并回答，如何用向量表示問題中的幾何元素？追問2：幾何問題中出現線段長度時，可以轉化成向量的哪種運算？追問3：如何在向量運算中，運用已知量中的夾角？追問4：如何通過以上向量運算，解決這一幾何問題？【問題3】問題2中，已知量及未知量分別為三角形中的哪些元素？有何關系？一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素.像這樣，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.知識加工第二階段理解余弦定理環節三：歸納分析，得出余弦定理引導語：又可表示為，這就是余弦定理的內容.【問題4】能否用文字語言和符號語言表述余弦定理？追問1：如圖，你有什么發現？追問2：用文字語言和符號語言分別表述定理？文字語言：等于.符號語言：在中，則：；；.追問3：余弦定理的公式結構具有什么樣的特征？環節四：余弦定理的推廣與應用探究活動2：小組討論余弦定理在解三角形中有哪些應用.【問題5】余弦定理在三角形中可以解決哪些問題？追問1：余弦定理涉及幾個元素？可以用于解決幾類問題？因此，余弦定理又有形式：；；.追問2：結合三角形全等判定定理回答，何時三角形具有唯一確定性？可利用手中工具驗證一下.（三根定長吸管，及一個三角板）【問題6】余弦定理和勾股定理之間有什么關系？追問1：若不為直角，與間又有什么關系？知識輸出第三階段應用余弦定理引導語：請同學們解決下列問題，并驗證猜想.例1在中，，求的最大內角.小結：已知時，可以利用余弦定理的公式變形.因為三角形，所以.變式在中，，判斷的形狀并說明原因.小結：利用，可以判斷三角形形狀.若為銳角，則；若為，則.例2在中，已知，求.小結：已知兩邊一角解三角形時，若解不唯一確定，可以利用三角形邊的關系進行取舍.變式在中，已知，求.小結：已知時，若三角形可能，利用，可以檢驗解是否成立.【反思與小結】【問題7】本節課我們學習了哪些內容？你有哪些收獲？【課后作業】基礎作業：BCA1.如圖，、兩地之間隔著一座小山,現要測量、之間即將修建的一條隧道的長度.另選一個點,可以測得的數據有：，，，如何求，兩地之間隧道的長度.BCA2．設的內角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A．3 B．4 C．5 D．63.在中，，則，.4.在中，內角，，的對邊分別為，，，且，則（）A． B． C． D．5．在中，若，則拓展作業：1