四川省普通高等學校“專升本”選拔《高等數學》考試大綱（理工類）總體要求考生應理解或了解《高等數學》中函數、極限、連續、一元函數微分學、一元函數積分分學、向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程以及《線性代數》的行列式、矩陣、向量、方程組的基本概念與基本理論；掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯系；應具備一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確、簡捷地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運算分為“會”、“掌握”、“熟練掌握”三人層次?？荚囉脮r：120分鐘考試范圍及要求一函數、極限和連續二一元函數微分學三一元函數積分學四向量代數與空間解析幾何五多元函數微積分學六無窮級數七微分方程八線性代數一）行列式1.理解行列式的概念，掌握行列式的性質。（1）行列式的概念①二階行列式:aa21a12①二階行列式:aa21a12a22=aa-aa11221221aiia12a13D=aaa3212223aaa312333②三階行列式：aaAaii121naaAaD=21222nnMMMMaaAan1n2nn③n階行列式：n階行列式的值的特點：（1）一共是有n!項的代數和；（2）每一項都是n個元素的乘積,它們來自于不同的行、不同的列。（3）這n!項中有一半是正項，另一半是負項。（2）行列式的性質變換性質轉置變換：Dt二D Dt為D的轉置行列式。②交換變換：D=-D1D為D互換兩行（列）后所得。r分r②交換變換：D=-D11ijij③倍乘變換：D=k③倍乘變換：D=k-D1D為D的某行（列）元素都乘以k后所得。1kr，ikci④倍乘變換：④倍乘變換：D=D1D為D的某行（列）乘以k加到另外的行（列）后所得。1r+kr，c+kcjiji零值性質如果行列式的某行（列）的元素全為零，則此行列式的值為零．如果行列式的某兩行（列）的元素相同，則此行列式的值為零．如果行列式的某兩行（列）對應元素成比例，則此行列式的值為零．會用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。（1）行列式的余子式和代數余子式余子式M:劃去a所在的第i行和第j列的全部元素后剩下的元素組成的n-1階ij ij行列式。代數余子式：A=（―1）i+jMij ij=aA+aAi1i1 i2i2=aA+aAi1i1 i2i2+A+aAininik(-1)i+kMikk=1k=1D=aA+aA+A+aA=工aAnD=aA+aA+A+aA=工aAn1ji1j2j2j njnj kjkjk=1=工a(―1)k+jMkj jkk=1（3）行列式的計算方法①先利用行列式的性質使行列式的某一行（列）列）展開。②可將行列式化為特殊行列式后計算例1計算下列的行列式的元素盡可能多的化為零，再按該行2―5122310abbb—37―14—4—2—1—1babb?_ 9② C-；③5―927—212bbab4―6120110bbba特別是化為三角形行列式。①二）矩陣1.理解矩陣的概念,了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質。1）矩陣的定義由mxn個數a(i=1,2,A,m;j=1,2,An)排成的m行n列的數表ij'a11a21Aa12

a22AW1m1am2AAAAa1

a2Aamn矩陣；記為A，或A=(a)mxn ijmxn當m=n時，矩陣A稱為n階方陣.記作An當m=1時，矩陣A稱為行矩陣（或行向量）.記為A=（a）ij1xn廠a、1當n=當n=1時，矩陣A稱為列矩陣（或列向量）?記為A二A=(a)jmxl2M2）特殊矩陣零矩陣：矩陣的元素都為0時。單位矩陣：主對角線都為1的對角矩陣。記為E或En在n階方陣中，主對角線以下的元素都為零。在n階方陣中，主對角線以上的元素都為零。a在n階方陣中，主對角線以下的元素都為零。在n階方陣中，主對角線以上的元素都為零。a=a或AT=Aij ji對稱矩陣：

反對稱矩陣：a=_a或At二-A

ij ji掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置、方陣乘積的行列式及它們的運算規律。矩陣的線性運算設A=(矩陣的線性運算設A=(a)ij矩陣的和：矩陣的差：數乘矩陣：矩陣的乘法①定義設A=(a)ijmxkmxn ijmxnA+B=(a+b)ij ijmxnA-B=(a-b)ij ijmxnkA=(ka)ijmxnB二(b)ijkxnc=(aij i1=B二(b)ijkxnc=(aij i1=ab+ab+A+abi11j i22j ikkjijmxnfb)

ijb2jMb‘kj構成的m行n列的矩陣。稱矩陣C=(c)為矩陣A與矩陣B的乘積。記為：C=AB

ijmxna)結合律：(ABa)結合律：(AB)C=A(BC)(b)分配律：(A+B)C=AC+BC，A(B+C)=AC+ABC(c)0—1律：AE=EA=A，AO=OA=Onn nn不具備交換律：AB豐BA，兩非0矩陣的乘積可能是0矩陣。即AB=0不能推出：A=0或B=0③矩陣的乘方設A為n階方陣，稱矩陣A自乘m次稱為矩陣A的m次方。A0=E，A1=A，A2=AAAm=AAAA(m個A)AkAl=Ak+l，3)矩陣的轉置定義：把A的行、轉置矩陣的性質：(Ak)l=Akl，列交換所得得的矩陣叫做矩陣A的轉置矩陣。記為At①(AT)T=A②(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT

④（AB）t=BtAt4）方陣的行列式定義：由n階方陣A的元素按原來順序構成的行列式稱為方陣A的行列式。記為IAI或det(Adet(A)。矩陣行式的性質①IAt|=|A|IkAI二knIAI； ③IABI=IBA①IAt|=|A|'10-1、'10、例1已知：a=210，b=31<3 2-<0 2>；求AB。理解逆矩陣的概念，掌握矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴伴隨矩陣求矩陣的逆矩陣。（1）逆矩陣的定義設A是n階方陣，如果存在一個n階方陣B，使得AB=BA=E;則稱矩陣A是可逆的，稱矩陣B是矩陣A的逆矩陣。a的逆矩陣記為a-1，即B二a-12）逆矩陣的性質方陣a可逆na的逆矩陣是唯一的。且AA-1二a-1A二EA可逆nA-1也可逆。且（A-1）-1二Aa可逆，數九h0n九A可逆.且（九A）-1=1A-1九A可逆nAt也可逆，且（At）-1二（A-1）TA可逆,則有IA-1I=IAI-1a、B為同階方陣且均可逆nAB可逆.且（AB）-1二B-1a-1(AAAa)-1二a-1AA-1A-112mm213)矩陣可逆性質的判別A可逆oIAIh0.4）求矩陣的逆矩陣的公式①伴隨矩陣： n階方陣A的行列式IAI的各個元素的代數余子式A構成矩陣ij

(AAAA\11(AAAA\11211nAAAAA*=12222nMMM<A1AAA丿1n2nnn②求矩一陣的逆矩陣的公式若矩陣A可逆，則A-i二稱為矩陣A的伴隨矩陣.|A|（A*為A的伴隨矩陣）.例1判斷A.=32<101是否可逆，如果可逆，求逆矩陣.1丿掌握矩陣的初等變換，了解矩陣秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。1）矩陣的初等變換定義：矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換。(c分cijcxk)(c分cijcxk)i(c+kcij記為A~B.ij倍乘變換：把i行（列）的各元素都乘以非零k常數。 rxki倍加變換：把j行（列）的若干倍，加到i行（列）上。r+krij矩陣A經過有限次初等行變換轉化為矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B等價,（2）矩陣的秩矩陣的k階子式在一個mxn的矩陣A中任意取k行和k列，位于這些行與列相交位置上的元素所構成的一個k階行列式稱為矩陣A的k階子式。矩陣A的k階子式共有Ck?Ck個。mxn mn矩陣的秩的定義在mxn的矩陣A中，一切非零子式的最高階數r稱為矩陣A的秩。也就是說，若矩陣A中至少有一個r階子式不等于零，而所有的r+1階子式（如果有的話）都等于零，則稱矩陣A的秩為r,記為R（A）=r注意：R（A）<min（m,n）。 零矩陣的秩為零；非零矩陣的秩一定不為零。（3）矩陣的秩的求法階梯形矩陣及其秩矩陣A若滿足：（1）零行（元素全為0的行）在矩陣的最下方；（2）各非零行的第1個非零元素的列標隨著行標的遞增而嚴格增大。滿足這樣的條件的矩陣稱為階梯形矩陣。階梯形矩陣的秩為：非全零行的行數。

如矩陣5-如矩陣5-3有三個非全零行，則它的秩為3。矩陣的初等變換不改變矩陣的秩方法：先用初等變換將矩陣變為與它等價的階梯形矩陣，再觀察非全零行的行數，其行數即為矩陣的秩。(3)逆矩陣的求法：(A,E)t(E,A-1)nn將矩陣(A,E)經過一系列的初等變換，將前面的部分變成為單位矩陣后，其后面的部份n就變成了A的逆矩陣。(1 -1 3)例：求矩陣A=2 -1 4的逆矩陣。廠1 2 -4,(三)向量理解n維向量的概念，向量的線性組合與線性表示。n維向量的定義n個數a,a,A,a組成的有序數組(a,a,A,a)稱為n維向量。數a稱為n維向量的第1 2n 1 2n ii個分量。向量中的個數稱為向量的維數。向量一般用小寫黑體的希臘字母a,卩，丫，A表示。行向量：把向量寫成一行；可看成一行n列的矩陣。列向量：把向量寫成一列；可看成n行一列的矩陣。n維向量的運算兩向量相等：兩向量的各分量對應相等。向量的加法：兩向量的各分量對應相加。向量的減法：兩向量的各分量對應相減。數乘向量：將數k乘以向量的各分量。例設^=(2,1,3)，卩=(-2,3,6)，丫=(2,-1,4)，求向量2a+3卩-丫n維向量的線性組合給定向量組A:a,a,A,a，對于任何一組實數k,k,A,k,則稱12m12mka+ka+A+ka1122mm為向量組的一個線性組合。實數k,k,A,k稱為組合系數。12m向量的線性表示一個向量由向量組線性表示給定向量組a,a,A,a，如果存在一組數x,x,A,x使12m12mB=xa+xa+Axa1122mm則稱卩是向量組a,a,A,a的一個線性組合。也稱向是卩可由向量組a,a,A,a線性表12m12m示。x，x，A,x稱為表出系數(組合系數)12mn維標準單位向量組：e=(0,A,0,1,0,A,0)，(i=1,2,A,n)i任何一個向量n維向量a=(a,a,A,a)都可以唯一地由標準單位向量組線性表示。1 2 n線性組合的矩陣方式表示B=xa+xa+Axa=(a,a,A,a)(x,x,A,x)t二AX1122mm12m12m其中A=(a,a,A,a)，X=(x,x,A,x)t12m12m表示系數的求法求表出系數x,x,A,x就是求解線性方程組：AX=P。12m若線性方程組AX=卩有唯一解，則表示法是唯一的。若線性方程組AX=B有無窮多個解，則表示法不是唯一的。若線性方程組AX=卩無解，則B不能由向量組a,a,A,a線性表示。12m例問0二(—1,1,5)t能否表示成a二(1,2,3)t，a二(0,1,4)t，a二(2,3,6)t的線性123組合。理解向量組線性相關或線性無關的定義，掌握判別向量組線性相關的方法。(1)向量組線性相關性的概念向量組線性相關、線性無關的定義：給定向量組a,a,A,a，如果存在不全為零的數k,k,A,k使12m12mka+ka+A+ka=01122mm則稱向量組a,a,A,a是線性相關的，k,k,A,k稱為相關系數。否則稱它線性無關。12m12m向量組線性相關性的判別結論1：含有零向量的向量組一定線性相關。結論2：單個非零向量一定線性無關。實用標準文檔結論3：兩個非零向量線線相關o兩向量的分量對應成比例。結論4：a,a,A,a線性相關o至少存在某個向量a能由其余向量線性表出。12mi結論5：a,a,A,a線性無關o任意一個向量都不能由其余向量線性表出。12 m結論6：a,a,A,a線性無關，添加一個向量后a,a,A,a,p線性相關np一定可由向12 m 12m量組a,a,A,a線性表出，且表示法唯一。12m結論7：a,a,A,a線性相關n添加向量后的向量組也一定線性相關。簡說：部份相關12m則整體相關。結論7：設有兩個向量組，它們的前n個分量對應相同a=(a,a,A,a)，p=(a,a,A,a,a,A,a)，(i=1,2,A,m)i i1i2 in i i1i2 inin+1 in+pa,a,A,a線性無關np,p,A,p線性無關TOC\o"1-5"\h\z12 m 12 mp,p,A,p線性相關na,a,A,a線性相關12 m 12 m簡說：無關組接長后仍無關。相關組截短后仍相關。(2)向量組線性相關的判別方法。設向量a,a,A,a組，如何判別其線性相關性呢?1 2 ma=(a,a,A,a)t， (i=1,2,A,m)i i1i2 in令A=(a,a,A,a)，X=(x,x,A,x)T，1 2 m 1 2ma,a,A,a線性相關o存在不全為零的k,k,A,k使ka+ka+A+ka=01 2 m 1 2m11 22 mmax+ax+A+ax=011 1 12 2 1nmax+ax+A+ax=0 」、二?om個變元的齊次萬程組彳211 222 2mm 有非零解。AAAAAAAAAAAAax+ax+A+ax=0n11 n22 nmmoAX=0是否有非零解。oR(A)<m例1判別向量組a=(1,1,1)，a=(1,1,0)，a=(1,0,0)的線性相關性。123例2判別向量組a=(1,2,3)，a=(—1,1,4)，a=(3,3,2)，a=(4,5,5)的線性相關性。結論1：TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4結論1：|A|=|(a,a,A,a)|=01 2 nn個n|A|=|(a,a,A,a)|=01 2 n1 2 n結論2：當向量組中的向量個數m大于其維數n時n向量組a,a,A,a一定線性相關。1 2m了解有關向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大無關組和秩。(1)向量組的極大線性無關組定義設向量組T由若干個n維向量構成，若存在T的一個部分向量組a,a,A,a滿足以：12r(1)a,a,A,a線性無關；(2)對于任意向量peT,向量組卩，a,a,A,a線性相關。12r12r則稱a,a,A,a是向量組T的一個極大無關組。12r向量組的極大無關組的性質：一個向量組的任意兩個極大無關組所含有的向量個數相同。向量組的秩定義向量組T的任意一個極大無關組中所含向量的個數叫做T的秩。記為：R(T)向量組的秩的性質、結論若向量S可以由向量組T線性表出，則R(S)<R(T)向量組的秩、極大無關組的求法向量組的秩的求法設向量組P,P,A,P是m個n維列向量，現構成一個nxm矩陣TOC\o"1-5"\h\z1 2 mA二(卩,卩，A,卩)，則有R(P,卩，A,卩)二R(A)1 2 m 1 2 m設向量組a,a,A,a是m個n維行向量，現構成一個nxm矩陣1 2 mB=(at,at,A,aT)，則有R(aT,aT,A,aT)=R(B)1 2 m 1 2 m把求向量組的秩的問題轉化為求矩陣的秩的問題。向量組的極大無關組的求法第一步：將向量組構成一個矩陣設S={x,a,A,a}為n維列向量組，現構成nxm矩陣A二(a,a,A,a)1 2 m 1 2 m第二步：用初等行變換將其變為階梯形矩陣A=(a,a,A,a)t(p,p,A,p)二B1 2 m 1 2 m

第三步：考察n維列向量組T=命,P,A,P｝，由于行初等變換不改變矩陣的列秩,12m向量組T=命,P,A,P｝中的極大無關組就對應S=,a,A,a｝中的極大無關組。12m12m注：只用行初等變換，僅求列向量中的極大無關組。例1求出下列向量的一個極大線性無關組。r1「r1「r1「r1]12432a=，a=，a=，a=，a=1123394755<4‘J6丿J3‘JO‘例2求出下行向量的一個極大線性無關組。a=(1,1,一2,7)，a=(一1,—2,2,—9)，a=(-1,1,一6,6)123a=(2,4,4,3)，a=(2,1,4,3)，45四)線性方程組1.掌握克萊姆法則?？巳R姆法則：設含有n個未知數x,x，…，x的n個方程組成的n元線性方程組為:12廠ax+ax+Aax=bTOC\o"1-5"\h\z11 1 12 2 1nn 1ax+ax+Aa x=b211 222 2n2 2AAAAAAAax+ax+Aax=ba11AAAa1nA豐0aAan1nnDD???x= nDnD即D=x=2如果線性方程組的系數行列式D不等于零，即D=x=2如果線性方程組的系數行列式D不等于零，則方程組(1.7)有且僅有唯一解：x=D1D其中D(j=1,2,...,n)是把系數行列式D中的第j列的元素用方程組右端的常數代替后所得jaAabaAa111,j—111,j+11naAabaAa212,j—122,j+12nAAAAAAAaAabaAan1n,j—1nn,j+1nn當常數項全為零時，方程組稱為n元齊次線性方程組。到的階行列式記作D=j

ax+ax+Aax-0iii1221nnax+ax+Aax二0Q2112222nnAAAAAax+ax+Aax二0n11n22nnn齊次線性方程組的系數行列式D豐0o齊次方程組只有零解。

齊次線性方程組的系數行列式D=0o齊次方程組有非零解。例1用克拉默法則解線性方程組x例1用克拉默法則解線性方程組x-x+2x1243x+2x-x-2x12344x+3x-x-x12342x-x13-56002.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。ax+ax+Aax=biiii22inniax+ax+Aax二b設m個方程組n個未知數的齊次線性方程組Q2ii2222nn2AAAAAax+ax+Aax=bmiim22mnnm'aaAa、(aaAab、ii12iniii2inaaAaaaAaA=21222nA=2i222n2AAAAAAAAA、aaAa‘.aaAab丿m1m2mnmim2mnmX=rx)1x2Ab=rb)1bA<x丿me丿m齊次線性方程組R(A)=n時n齊次線性方程組AX二0只有唯一零解；R(A)<n時n齊次線性方程組AX二0有無窮多組非零解。齊次線性方程組R(A)二R(A)oAX二b有解。若R(A)二R(A)二n，則線性方程組AX二b有唯一一組解.若R(A)二R(A)<n，則次線性方程組AX二b有無窮多組解.當AX二b有無窮多解時，其一般解中自由未知量的個數為n-r

若R（A）豐R（A），則非齊次線性方程組AX二b無解了解齊次線性方程組的基礎解系、通解的概念。(1)齊次線性方程組的解向量ax+ax+A+ax=0111 122 1nn設有齊次線性方程組<ax+ax+A+ax=0設有齊次線性方程組<'aaAa、rx)iii2iniaaAax21222n，x=2AAAAM、aa—cAa丿<x”丿記A=mn記A=mnax+am11x+A+ax=0m22 mnn則上述方程組可寫成向量方程Ax二0.若x=g，x=g，A，x=g為方程Ax=0的解,1 112 21n n1a、a為方程Ax=為方程Ax=0的解向量，它也就是向量方程Ax=0的解.21Mn1丿2）齊次線性方程組的基礎解系如果（1）耳，耳,A，耳是Ax二0的一組線性無關的解，（2）Ax二0的任意一個解都可以由12t耳，耳,A，耳線性表示；則稱耳，耳,A，耳為齊次方程組Ax二0的基礎系。12t12t3）齊次線性方程組的基礎解系的確定定理：設A是mxn矩陣，r（A）=r，貝UAx=0的基礎系中解向量的個數為：n-r;Ax=0的任意n—r個線性無關的解向量都是基礎解系。Ax=0只有零解Or（A）=nOAx=0沒有基礎解系；Ax=0有非零解Or（A）<nOAx=0有無窮多個基礎解系。Ax=0的基礎系：⑴必須是Ax=0的解，（2）必須是線性無關向量組，（3）必須有n—r個向量。（4）齊次線性方程組的解的結構如果，耳，A，耳｝為齊次方程組Ax=0的一個基礎系，12 n—r

那么Ax=0的通解可表示為：=kn+kn+A+kn，其中k,k,A,k是任意常數。11 22 n-rn-r 12 n一r了解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。(1)解向量的概念設有非齊次線性方程組q設有非齊次線性方程組qa x+a x +A+a x =b11 1 12 2 1n n 1a x+a x +A+a x =b21 1 22 2 2n n 2AAAAAAAAAAAAax+ax+A+ax=bm1ax+ax+A+ax=bm1mnnm'a11a21AIam1am2a12a22A1 m22簡寫成向量方程Ax二b.稱A為方程組Ax=b的系數矩陣；x為n維未知列向量；b為m維常數向量；A二(A,b)為方程組Ax二b的增廣矩陣;滿足An=b的n維列向量H稱為Ax二b的解向量，簡稱為解。(2)非齊次線性方程組的解的結構非齊次線性方程組解的性質性質1:設n，n都是非齊次方程組Ax=b的解，則n-n是對應齊次方程組Ax=0的1212解。性質2:設n是非齊次方程組Ax=b的解，g是對應對應齊次方程組Ax=0的解，則g+n必是非齊次方程組Ax=b的解。非齊次線性方程組解的結構設A是mxn矩陣，且r(A,b)=r(A)=r，n*是非齊次方程組Ax=b的一個解，屯,gAg｝是對應齊次方程組Ax=0的基礎解系。則非齊次方程組Ax=b的通解為：12 n-rx=n*+kg+kg+A+kg；其中k,k,A,k是任意常數。1122 n-rn-r 12 n-r掌握用矩陣的行初等變換求線性方程組通解的方法。(1)齊次線性方程組的通解的求法用行初等變換將齊次方程組Ax=0的系數矩陣A化為階梯開矩陣T寫出矩陣T對應的齊次方程組Tx=0得出齊次方程組的解，指明自由未知量讓自由未知量取成標準單位向量，得到基礎解系的各向量

(111—1]r10—14]0—1—25(—1)r2—j(1r2>012—510000J10000丿叩(1)『2 >實用標準文檔⑤寫出通解例1求解線性方程組〈3x+2實用標準文檔⑤寫出通解例1求解線性方程組〈3x+2x2x+x-2x+3x=01 2 3 4—x1 2 3+2x=0的通解。4=0(111-1]r111—1]r2+(—2)r121-23—彳|(3)彳>0—1—25132-12J10-1—45丿解：A=x+x+x—x1234Ix—x簡化后的階梯形矩陣T對應的方程組為\ 1 3I—x—2x+5x=0

234x=x-4xx=x-4x即〈 1 3 4Ix=-2x+5x2，這里34x3，x為自由未知量。4x=0得x=141=-2x=1得x=x=1得x=—4，x=54 1 23于是得到原方程組的一個基礎解系:1=(1,-2,1,0)T ，匚1=(-4,5,0,1)T因此所給齊次方程的通解為：匚=k匚+k匚，其中k,k為任意常數。1122122)非齊次線性方程組的通解的求法求給出的非齊次方程組Ax=b的通解，用初等變換將增廣矩陣(A,b)化為行階梯形矩陣(T,d)，這樣Ax=b與Tx=d是同解方程組，于是Tx=d的通解就是Ax=b的通解了。求Ax=b的通解步驟：用行初等變換將增廣矩陣(A,b)化為行階梯形矩陣(T,d)寫出矩陣(T,d)對應的非齊次方程組Tx=d，并得出其解。讓自由未知量都取0得到方程組的